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7.8: Las propiedades de los números reales (ejercicios) - Matemáticas


7.1 - Números racionales e irracionales

En los siguientes ejercicios, escribe como la razón de dos números enteros.

  1. 6
  2. −5
  3. 2.9
  4. 1.8

En los siguientes ejercicios, determina cuál de los números es racional.

  1. 0.42, 0. ( Overline {3} ), 2.56813…
  2. 0,75319…, 0. ( Overline {16} ), 1,95

En los siguientes ejercicios, identifica si cada número dado es racional o irracional.

  1. (a) 49 (b) 55
  2. (a) 72 (b) 64

En los siguientes ejercicios, enumere (a) números enteros, (b) enteros, (c) números racionales, (d) números irracionales, (e) números reales para cada conjunto de números.

  1. −9, 0, 0.361 ...., ( dfrac {8} {9}, sqrt {16} ), 9
  2. −5, (- 2 dfrac {1} {4}, - sqrt {4}, 0. overline {25}, dfrac {13} {5} ), 4

7.2 - Propiedades conmutativas y asociativas

En los siguientes ejercicios, use la propiedad conmutativa para reescribir la expresión dada.

  1. 6 + 4 = ____
  2. −14 • 5 = ____
  3. 3n = ____
  4. a + 8 = ____

En los siguientes ejercicios, use la propiedad asociativa para reescribir la expresión dada.

  1. (13 • 5) • 2 = _____
  2. (22 + 7) + 3 = _____
  3. (4 + 9x) + x = _____
  4. ( dfrac {1} {2} ) (22y) = _____

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión para el valor dado.

  1. Si y = ( dfrac {11} {12} ), evalúe:
    1. y + 0,7 + (- y)
    2. y + (- y) + 0,7
  2. Si z = (- dfrac {5} {3} ), evalúe:
    1. z + 5,39 + (- z)
    2. z + (- z) + 5,39
  3. Si k = 65, evalúe:
    1. ( dfrac {4} {9} left ( dfrac {9} {4} k right) )
    2. ( left ( dfrac {4} {9} cdot dfrac {9} {4} right) k )
  4. Si m = −13, evalúe:
    1. (- dfrac {2} {5} left ( dfrac {5} {2} m right) )
    2. ( left (- dfrac {2} {5} cdot dfrac {5} {2} right) m )

En los siguientes ejercicios, simplifique el uso de las propiedades conmutativas y asociativas.

  1. 6 años + 37 + (−6 años)
  2. ( dfrac {1} {4} + dfrac {11} {15} + left (- dfrac {1} {4} right) )
  3. ( dfrac {14} {11} cdot dfrac {35} {9} cdot dfrac {14} {11} )
  4. −18 • 15 • ( dfrac {2} {9} )
  5. ( left ( dfrac {7} {12} + dfrac {4} {5} right) + dfrac {1} {5} )
  6. (3,98 d + 0,75 d) + 1,25 d
  7. −12 (4 m)
  8. 30 ( izquierda ( dfrac {5} {6} q derecha) )
  9. 11x + 8 años + 16x + 15 años
  10. 52m + (−20n) + (−18m) + (−5n)

7.3 - Propiedad distributiva

En los siguientes ejercicios, simplifique utilizando la propiedad distributiva.

  1. 7 (x + 9)
  2. 9 (menos de 4)
  3. −3 (6 m - 1)
  4. −8 (−7a - 12)
  5. ( dfrac {1} {3} ) (15n - 6)
  6. (y + 10) • p
  7. (a - 4) - (6a + 9)
  8. 4 (x + 3) - 8 (x - 7)

En los siguientes ejercicios, evalúe usando la propiedad distributiva.

  1. Si u = 2, evalúe
    1. 3 (8u + 9) y
    2. 3 • 8u + 3 • 9 para mostrar que 3 (8u + 9) = 3 • 8u + 3 • 9
  2. Si n = 7 8, evalúe
    1. 8 ( left (n + dfrac {1} {4} right) ) y
    2. 8 • n + 8 • ( dfrac {1} {4} ) para mostrar que 8 ( left (n + dfrac {1} {4} right) ) = 8 • n + 8 • ( dfrac {1} {4} )
  3. Si d = 14, evalúe
    1. −100 (0,1 d + 0,35) y
    2. −100 • (0.1d) + (−100) (0.35) para mostrar que −100 (0.1d + 0.35) = −100 • (0.1d) + (−100) (0.35)
  4. Si y = −18, evalúe
    1. - (y - 18) y
    2. −y + 18 para mostrar que - (y - 18) = - y + 18

7.4 - Propiedades de identidades, inversos y cero

En los siguientes ejercicios, identifica si cada ejemplo usa la propiedad de identidad de la suma o la multiplicación.

  1. −35(1) = −35
  2. 29 + 0 = 29
  3. (6x + 0) + 4x = 6x + 4x
  4. 9 • 1 + (−3) = 9 + (−3)

En los siguientes ejercicios, encuentre el inverso aditivo.

  1. −32
  2. 19.4
  3. ( dfrac {3} {5} )
  4. (- dfrac {7} {15} )

En los siguientes ejercicios, encuentre el inverso multiplicativo.

  1. ( dfrac {9} {2} )
  2. −5
  3. ( dfrac {1} {10} )
  4. (- dfrac {4} {9} )

En los siguientes ejercicios, simplifique.

  1. 83 • 0
  2. ( dfrac {0} {9} )
  3. ( dfrac {5} {0} )
  4. 0 ÷ ( dfrac {2} {3} )
  5. 43 + 39 + (−43)
  6. (n + 6,75) + 0,25
  7. ( dfrac {5} {13} cdot 57 cdot dfrac {13} {5} )
  8. ( dfrac {1} {6} ) • 17 • 12
  9. ( dfrac {2} {3} cdot 28 cdot dfrac {3} {7} )
  10. 9 (6x - 11) + 15

7.5 - Sistemas de medida

En los siguientes ejercicios, convierta entre unidades estadounidenses. Redondea a la décima más cercana.

  1. Un cenador floral mide 7 pies de alto. Convierte la altura a pulgadas.
  2. Un marco de fotos mide 42 pulgadas de ancho. Convierte el ancho en pies.
  3. Kelly mide 5 pies 4 pulgadas de alto. Convierte su altura a pulgadas.
  4. Un patio de recreo tiene 45 pies de ancho. Convierte el ancho en yardas.
  5. La altura del monte Shasta es 14,179 pies. Convierte la altura a millas.
  6. Shamu pesa 4,5 toneladas. Convierta el peso en libras.
  7. La obra duró (1 dfrac {3} {4} ) horas. Convierta el tiempo en minutos.
  8. ¿Cuántas cucharadas hay en un cuarto de galón?
  9. El bebé de Naomi pesó 5 libras 14 onzas al nacer. Convierte el peso a onzas.
  10. Trinh necesita 30 tazas de pintura para su proyecto de arte de la clase. Convierta el volumen a galones.

En los siguientes ejercicios, resuelve y expresa tu respuesta en unidades mixtas.

  1. John atrapó 4 langostas. Los pesos de las langostas fueron 1 libra 9 onzas, 1 libra 12 onzas, 4 libras 2 onzas y 2 libras 15 onzas. ¿Cuál fue el peso total de las langostas?
  2. Todos los días de la semana pasada, Pedro registró la cantidad de tiempo que pasó leyendo. Leyó durante 50, 25, 83, 45, 32, 60 y 135 minutos. ¿Cuánto tiempo, en horas y minutos, pasó Pedro leyendo?
  3. Fouad mide 6 pies y 2 pulgadas de alto. Si se para en un peldaño de una escalera de 8 pies y 10 pulgadas de alto, ¿a qué altura del suelo está la parte superior de la cabeza de Fouad?
  4. Dalila quiere hacer fundas para almohadas. Cada funda tiene 30 pulgadas de tela. ¿Cuántas yardas y pulgadas de tela necesita para 4 fundas de almohada?

En los siguientes ejercicios, convierta entre unidades métricas.

  1. Donna mide 1,7 metros de altura. Convierte su altura a centímetros.
  2. El monte Everest tiene 8.850 metros de altura. Convierte la altura a kilómetros.
  3. Una taza de yogur contiene 488 miligramos de calcio. Convierta esto a gramos.
  4. Una taza de yogur contiene 13 gramos de proteína. Convierta esto a miligramos.
  5. Sergio pesó 2,9 kilogramos al nacer. Convierta esto a gramos.
  6. Una botella de agua contenía 650 mililitros. Convierta esto en litros.

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. Minh mide 2 metros de altura. Su hija mide 88 centímetros de altura. ¿Cuánto más alto, en metros, es Minh que su hija?
  2. Selma tenía una botella de agua de 1 litro. Si bebió 145 mililitros, ¿cuánta agua, en mililitros, quedó en la botella?
  3. Una porción de jugo de arándano contiene 30 gramos de azúcar. ¿Cuántos kilogramos de azúcar hay en 30 porciones de jugo de arándano?
  4. Una onza de tofu proporciona 2 gramos de proteína. ¿Cuántos miligramos de proteína aportan 5 onzas de tofu?

En los siguientes ejercicios, convierta entre unidades métricas y estadounidenses. Redondea a la décima más cercana.

  1. Majid mide 69 pulgadas de alto. Convierte su altura en centímetros.
  2. Una cancha de baloncesto universitaria mide 84 pies de largo. Convierte esta longitud a metros.
  3. Caroline caminó 2,5 kilómetros. Convierte esta longitud en millas.
  4. Lucas pesa 78 kilogramos. Convierte su peso en libras.
  5. El auto de Steve tiene 55 litros de gasolina. Convierta esto en galones.
  6. Una caja de libros pesa 25 libras. Convierta este peso a kilogramos.

En los siguientes ejercicios, convierta las temperaturas Fahrenheit a grados Celsius. Redondea a la décima más cercana.

  1. 95 ° F
  2. 23 ° F
  3. 20 ° F
  4. 64 ° F

En los siguientes ejercicios, convierta las temperaturas Celsius a grados Fahrenheit. Redondea a la décima más cercana.

  1. 30 ° C
  2. −5 ° C
  3. −12 ° C
  4. 24 ° C

EXAMEN DE PRÁCTICA

  1. Para los números 0.18349…, 0. ( Overline {2} ), 1.67, enumere (a) números racionales y (b) números irracionales.
  2. ¿Es ( sqrt {144} ) racional o irracional?
  3. De los números −4, (- 1 dfrac {1} {2} ), 0, ( dfrac {5} {8} ), ( sqrt {2} ), 7, que son (a) números enteros (b) racionales (c) irracionales (d) números reales?
  4. Reescribe usando la propiedad conmutativa: x • 14 = _________
  5. Reescribe la expresión usando la propiedad asociativa: (y + 6) + 3 = _______________
  6. Reescribe la expresión usando la propiedad asociativa: (8 · 2) · 5 = ___________
  7. Evalúe ( dfrac {3} {16} left ( dfrac {16} {3} n right) ) cuando n = 42.
  8. Para el número ( dfrac {2} {5} ) encuentre el (a) inverso aditivo (b) inverso multiplicativo.

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.

  1. ( dfrac {3} {4} ) (- 29) ( left ( dfrac {4} {3} right) )
  2. −3 + 15 años + 3
  3. (1,27q + 0,25q) + 0,75q
  4. ( left ( dfrac {8} {15} + dfrac {2} {9} right) + dfrac {7} {9} )
  5. −18 ( izquierda ( dfrac {3} {2} n derecha) )
  6. 14 años + (−6z) + 16 años + 2z
  7. 9 (q + 9)
  8. 6 (5x - 4)
  9. −10 (0,4 n + 0,7)
  10. ( dfrac {1} {4} ) (8a + 12)
  11. m (n + 2)
  12. 8 (6p - 1) + 2 (9p + 3)
  13. (12a + 4) - (9a + 6)
  14. ( dfrac {0} {8} )
  15. ( dfrac {4.5} {0} )
  16. 0 ÷ ( left ( dfrac {2} {3} right) )

En los siguientes ejercicios, resuelve usando las conversiones de unidades apropiadas.

  1. Azize caminó (4 dfrac {1} {2} ) millas. Convierta esta distancia a pies. (1 milla = 5280 pies).
  2. Una taza de leche contiene 276 miligramos de calcio. Convierta esto a gramos. (1 miligramo = 0,001 gramo)
  3. Larry recibió 5 llamadas telefónicas de clientes ayer. Las llamadas duraron 28, 44, 9, 75 y 55 minutos. ¿Cuánto tiempo, en horas y minutos, pasó Larry al teléfono? (1 hora = 60 minutos)
  4. Janice corrió 15 kilómetros. Convierta esta distancia a millas. Redondea a la centésima de milla más cercana. (1 milla = 1,61 kilómetros)
  5. Yolie mide 63 pulgadas de alto. Convierte su altura a centímetros. Redondea al centímetro más cercano. (1 pulgada = 2,54 centímetros)
  6. Usa la fórmula F = ( dfrac {9} {5} ) C + 32 para convertir 35 ° C a grados F.

Propiedades de los números reales

Hay una serie de propiedades que se pueden utilizar para ayudarnos a trabajar con números reales.

Recuerde que los números reales se componen de todos los números racionales e irracionales. Las propiedades nos ayudan a sumar, restar, multiplicar, dividir y varias otras operaciones matemáticas.

Aquí hay un breve vistazo a varias de las propiedades:

Conmutativo: a + b = b + a & ab = ba

Esta propiedad tiene que ver con el pedido. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, la respuesta no es casual.

Ejemplos: 3 x 4 = 4 x 3 y 3 + 4 = 4 + 3
12 = 12 7 = 7

a (bc) = (ab) c & a + (b + c) = (a + b) + c

Esta propiedad tiene que ver con los grupos. Observe que la ubicación de los paréntesis se puede cambiar y la respuesta sigue siendo la misma.

Ejemplos: (5 + 6) + 3 = 5 + (6 + 3) y (3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

Distributivo: a (b + c) = ab + ac

Esta propiedad se trata de tratar con un número fuera del paréntesis cuando hay una suma o diferencia dentro. Vea cómo se puede usar el número de afuera.

Ejemplos: 4 (3 + 5) = 4 (3) + 4 (5) o 4 (8 - 7) = 4 (8) - 4 (7)

Propiedad de multiplicación del cero: m * 0 = 0

¿Alguna vez has notado esta pequeña y práctica propiedad? Cada vez que multiplicas algo por cero, obtienes cero. No importa cuál sea el número real, si multiplicas por cero, ¡obtienes cero!

Ejemplos: 4 x 0 = 0, 15 x 0 = 0, 1 1/2 x 0 = 0, -32 x 0 = 0

Propiedad de identidad: a + 0 = a & a * 1 = a

Además, esta propiedad dice que puede sumar 0 y no cambiar el valor del número. Entonces 4 + 0 = 4 o -13 + 0 = -13.

¡La identidad aditiva es 0!

Para la multiplicación, esta propiedad dice que puedes multiplicar por 1 y no cambiar el valor del número. Entonces 4 x 1 = 4 y -13 x 1 = -13.

¡La identidad multiplicativa es 1!

Inversa: a + (-a) = 0 y a * = 1
La propiedad inversa se trata de deshacer.

Para "deshacer" puede agregar el aditivo inverso. En otras palabras, cuando sumas un número y su opuesto o inverso aditivo, obtienes 0.

Ejemplos: 4 + (-4) = 0 o -5,8 + 5,8 = 0

También puede multiplicar por el recíproco o multiplicativo inverso para obtener 1.

Ejemplos: 8 x = 1 o -15 x = 1

* Tenga en cuenta que dividir por 0 no está definido.

Esta propiedad tiene que ver con las respuestas que obtiene. Si hace algo con dos números reales y siempre obtiene una respuesta de número real, podría decir que los números reales están cerrados bajo esa operación.

Si suma dos números reales cualesquiera, obtendrá una suma de números reales. Por lo tanto, los números reales se cierran bajo la suma.

Además, si multiplica dos números reales cualesquiera, obtendrá un producto de números reales. Por lo tanto, los números reales se cierran mediante multiplicación.

El uso de estas propiedades lo ayudará a realizar y simplificar muchas otras operaciones o problemas matemáticos más complejos. Úselos para ayudarlo a aprender sus operaciones matemáticas aún más rápido.

Para vincular a esto Propiedades de los números reales página, copie el siguiente código en su sitio:


Conjuntos, sistema de números reales y lógica.

Entonces, $ overline << rm>> $ = U & ndash (AUB) = U & ndash U = ɸ.

(i) Los conjuntos si elementos que son primos o impares = A U B = <2, 3, 5, 7> U <1, 3, 5, 7, 9> =

(ii) Los conjuntos si los elementos tanto primos como impares = A U B = <2, 3, 5, 7> & cap <1, 3, 5, 7, 9> =

(iii) Los conjuntos si los elementos que son primos pero no impares = A & ndash B = <2, 3, 5, 7> & ndash <1, 3, 5, 7, 9> =

Por lo tanto, A U (B & cap C) = (A U B) & cap (A U C)

Por eso. A & cap (B U C) = (A & capB) U (A & cap C)

(ii) n (A & ndash B) = n (A) & ndash n (A & capB) = 75 & ndash 35 = 40

(iii) $ overline << rm> izquierda (<< rm>> derecha)> $ = n (U) & ndash n (A U B) = 100 & ndash 80 = 20

Sea B = baloncesto, V = voleibol

Por lo tanto, el número de estudiantes que juegan al menos un juego,

n (BUV) = n (B) + n (V) & ndash n (B & capV) = 32 + 25 & ndash 13 = 44.

Aquí, sea N = nepalí, Ne = newari,

Entonces, n (N) = 60%, n (Ne) = 50%, n (N u Ne) = 100%.

Soln: Aquí, sea M = Matemáticas, S = estadística,

Entonces, n (U) = 65, n (T) = 38, n (T & ndash C) = 20

n (C & ndash T) =? [primero tenemos que encontrar n (C)]

Entonces, n (C & ndash T) = n (C) & ndash n (T & cap C) = 30 & ndash 18 = 12.

Sea M = matemáticas, S = estadística

Falló en el examen, n (MUS) =?

Tenemos, n (MUS) = n (M) + n (S) & ndash n (M & capS)

Aprobado en ambas materias, $ overline << rm> izquierda (<< rm>> derecha)> $ = 100% & ndash 52% = 48%.


Numeros reales



Ejemplos, soluciones y videos que explicarán qué son los números reales y algunas de sus propiedades.

El siguiente diagrama muestra que los números reales están formados por números racionales, números enteros, números enteros y números irracionales. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre números reales y sus propiedades.

Introducción a los números reales
Al analizar datos, graficar ecuaciones y realizar cálculos, la mayoría de las veces trabajamos con números reales. Los números reales son el conjunto de todos los números que se pueden expresar como un decimal o que están en la recta numérica. Los números reales tienen ciertas propiedades y diferentes clasificaciones, incluyendo naturales, enteros, enteros, racionales e irracionales.
Este video repasa los conceptos básicos del sistema de números reales que se usa principalmente en Álgebra. El video cubre números racionales y números irracionales.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Clave de respuestas detallada

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

Todos los números enteros son & # xa0 enteros. Todos los enteros son números racionales.

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

Todos los enteros son números racionales.

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

5 es la raíz cuadrada. Es un número entero, pero no un cuadrado perfecto. & # Xa0

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

-56.12 es un número racional.

No es un número entero & # xa0porque es negativo. No es un número entero porque & # xa0 hay dígitos distintos de cero después del punto decimal.

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

Tenemos 3 en raíz cuadrada. 3 es un número entero, pero no es un cuadrado perfecto. & # Xa0

Ya sabemos el hecho, si un número irracional se multiplica por un número racional, el producto es irracional. & # Xa0

Entonces, 2 √3 es irracional.

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

No es un número entero, & # xa0porque es una fracción de un número entero. No es & # xa0un entero porque no es un número entero o el & # xa0opuesto de un número entero.

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

102.353535. es un número racional.

Desde 102.353535. es un decimal recurrente, se puede convertir en fracción. Y tampoco es un número entero o entero, & # xa0 porque es una fracción. & # Xa0

Clasifique el número que se indica a continuación nombrando el conjunto o conjuntos a los que pertenece.

25 está en la raíz cuadrada. 25 es un número entero y también es un cuadrado perfecto. & # Xa0

Entonces, & # xa0 √25 es entero, entero, racional

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

También puede visitar las siguientes páginas web sobre diferentes temas de matemáticas. & # Xa0


Metas y objetivos de aprendizaje

Haga que los estudiantes vean el video en parejas y luego lo discutan, junto con el texto restante en la Apertura.

Indique a los estudiantes que busquen y busquen elementos particulares que ayuden a los estudiantes a comprender el contenido del video y los rsquos. Proporcione una lista de ideas clave para que los estudiantes las revisen antes de verlas. Muestre el video tantas veces como sea necesario.

ELL: Cuando vea el video, asegúrese de que los ELL puedan seguir las explicaciones. Recuerde a los estudiantes que pueden "cortar" el video haciendo una pausa en momentos clave para dar tiempo a procesar la información. Haga que los estudiantes vean el video nuevamente si es necesario. Haga preguntas para verificar la comprensión antes de pasar a la discusión. Si nota que los estudiantes ELL no comprenden partes importantes del video, muéstrelo una vez más y pídales que identifiquen todo el lenguaje matemático.


Representar y comparar números (N)

Parte A (lecciones 1 a 7)
Los temas incluyen representar y comparar números racionales positivos (números enteros, fracciones y decimales), encontrar múltiplos y factores de números enteros positivos y determinar el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo factor común (MCD) de un par de números enteros positivos.

Parte B (Lecciones 8-12)
Los temas incluyen la representación de fracciones negativas y decimales negativos, la comparación de los valores de dos números racionales cualesquiera, la notación exponencial y el uso de árboles de factores y factorizaciones primas para encontrar el MCM o el MCD de un par de números enteros positivos.

Esta lección examina tres sistemas numéricos diferentes: números enteros, enteros y números racionales. Las conexiones entre diferentes sistemas numéricos se destacan para sentar las bases para las comparaciones y operaciones.

Los matemáticos a menudo usan la recta numérica para resolver problemas. En esta lección, repasaremos la recta numérica, enfocándonos en graficar fracciones.

En matemáticas, los símbolos son importantes para la comunicación. En esta lección, revisamos los símbolos "mayor que" y "menor que". Además, presentamos dos técnicas utilizadas para comparar fracciones.

Los números racionales se pueden escribir como fracciones o decimales. En esta lección, discutimos las conexiones entre las representaciones fraccionarias y las representaciones decimales, específicamente, cuando se trata de graficar números en la recta numérica.

En esta lección, revisamos cómo generar una lista de múltiplos de un número entero. Usando nuestras listas, identificamos múltiplos comunes de dos números enteros, prestando especial atención al mínimo común múltiplo (MCM).

Los factores, como los múltiplos, tienen que ver con la multiplicación. En esta lección, resolvemos problemas identificando factores de números enteros positivos.

Ampliando la lección de factores, comparamos los factores de dos números enteros positivos para encontrar factores comunes específicamente, a menudo estamos interesados ​​en identificar el máximo factor común (MCD). Concluimos resolviendo problemas verbales que requieren que apliquemos factores a diferentes contextos.

Las cantidades fraccionarias pueden ser positivas o negativas. Al igual que los números enteros negativos, las fracciones negativas se encuentran a la izquierda del cero en la recta numérica. En esta lección, trazamos fracciones negativas en la recta numérica para ayudarnos a comprender y comparar los valores de estos números.

Los números racionales se pueden escribir como fracciones o decimales. En esta lección, comparamos números decimales negativos trazándolos en la recta numérica. Luego comparamos fracciones negativas con decimales negativos. Se determinan los equivalentes decimales de las fracciones comunes y se muestran las estrategias para convertir una fracción en decimal. Finalmente, aprendemos a comparar dos números racionales cualesquiera.

En esta lección, aprendemos a representar multiplicaciones repetidas usando notación exponencial. Luego, la notación exponencial se usa para representar números enteros en forma expandida usando potencias de diez. Se investigan los números cuadrados y los números cúbicos.

En esta lección, repasaremos los números primos y compuestos. Aprendemos cómo representar un número compuesto como un producto de sus factores primos usando un árbol de factores.

Las factorizaciones primas se pueden utilizar para determinar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de un par de números enteros positivos. Exploramos cómo se puede hacer esto y usamos estas estrategias para resolver problemas de palabras.

Operaciones (N)

Parte A (lecciones 1 a 11)
Los temas incluyen sumar y restar números racionales, multiplicar y dividir un número entero por un número racional positivo y evaluar expresiones usando el orden de operaciones.

Parte B (Lecciones 12-19)
Los temas incluyen multiplicar y dividir números enteros, fracciones y decimales, aproximar raíces cuadradas de números enteros positivos y evaluar expresiones que incluyen exponentes usando el orden de operaciones.

Comenzamos nuestra discusión sobre la suma estudiando cómo se pueden usar las rectas numéricas para mostrar la suma. En esta lección, nos enfocamos en la suma de números enteros, específicamente en cómo se pueden sumar números positivos y negativos usando una recta numérica.

Podemos sumar enteros sin usar una calculadora o una recta numérica. En esta lección, ampliamos nuestra discusión anterior sobre la suma de enteros y examinamos las estrategias para realizar la suma de enteros mentalmente.

Esta lección explora las fracciones equivalentes en preparación para cuando debamos sumar y restar fracciones. En el proceso de encontrar fracciones equivalentes, se le dará la oportunidad de practicar cómo encontrar múltiplos comunes, usar fracciones impropias y números mixtos, trazar en la recta numérica y comparar números racionales.

En esta lección, nos basamos en nuestra comprensión de la suma para incluir números racionales. Para hacer esto, revisamos la recta numérica e incorporamos nuestras estrategias para graficar números racionales para que podamos encontrar su suma.

Esta lección presenta estrategias para la suma de fracciones sin el uso de una recta numérica. Usamos líneas numéricas como motivación para encontrar un denominador común, luego pasamos a sumar fracciones sin el uso de ayudas visuales.

Comenzamos nuestra discusión sobre la resta centrándonos en los números enteros. En esta lección, repasamos la operación de resta, mostramos la resta en la recta numérica y aprendemos a restar números enteros con y sin recta numérica.

Continuando con nuestra discusión sobre la resta, en esta lección exploramos estrategias para restar fracciones. Nuestro objetivo es usar fracciones equivalentes para resolver problemas de resta sin el uso de una calculadora o la recta numérica.

Esta lección explora estrategias para multiplicar números enteros por fracciones y decimales. Resolvemos ejemplos y resaltamos reglas para realizar cálculos sin usar una calculadora.

La multiplicación es la operación que se utiliza para escalar o cambiar el tamaño de una cantidad. En esta lección, exploramos los factores de escala y discutimos por qué debemos comenzar a pensar en la multiplicación en términos de escala.

En esta lección, aprendemos a resolver cálculos que involucran la división de números enteros por fracciones y decimales. A través de ejemplos, destacamos las reglas para realizar estos cálculos sin una calculadora.

El orden de las operaciones se revisa y se utiliza para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales. Además, exploramos la importancia de los corchetes cuando se necesitan y cuando se pueden quitar de una expresión. Concluimos usando la propiedad distributiva para simplificar los cálculos.

En esta lección, aprendemos a multiplicar números enteros mentalmente. Específicamente, observamos cómo el signo de cada número entero en un producto impacta el signo del producto.

La división es la operación opuesta a la multiplicación, por lo que las estrategias que aprendamos para dividir números enteros serán similares a las que usamos al multiplicar números enteros. En esta lección, examinamos cómo los signos del dividendo y el divisor impactan el signo del cociente.

Comenzamos esta lección repasando cómo multiplicar una fracción por un número entero. Luego ampliamos nuestra comprensión para incluir la multiplicación de dos fracciones cualesquiera. Además, se presta especial atención a la estimación de los valores de los productos.

En esta lección, repasaremos cómo dividir un número entero por una fracción. Luego exploramos cómo adaptar esta estrategia para dividir una fracción por otra fracción, sin el uso de una calculadora.

Comenzamos esta lección examinando la multiplicación de números decimales por potencias de diez, incluida una discusión sobre la notación científica. Luego aprendemos a multiplicar dos números decimales, primero convirtiendo los números en fracciones y segundo, trabajando con los números decimales.

En esta lección, desarrollamos estrategias para evaluar expresiones de división que involucran números enteros y decimales. También ampliamos estas estrategias para analizar la división con dos números decimales.

Esta lección se enfoca en la relación entre elevar un número al cuadrado y sacar la raíz cuadrada de un número. Discutimos los cuadrados perfectos y examinamos cómo aproximar la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto.

En esta lección, revisaremos el orden de las operaciones aritméticas. Resolvemos problemas de números enteros, fracciones y decimales, prestando especial atención a los exponentes.

Razones, tasas y proporciones (N)

Parte A (lecciones 1 a 5)
Los temas incluyen escribir e interpretar razones, encontrar razones equivalentes, convertir fracciones, decimales y porcentajes, convertir entre unidades de medida y resolver problemas que involucran tasas unitarias.

Parte B (lecciones 6 a 10)
Los temas incluyen el reconocimiento de situaciones proporcionales en problemas verbales, tablas y gráficos que conectan unidades relacionadas con relaciones proporcionales y sus representaciones en tablas, gráficos y ecuaciones y porcentajes fraccionarios y porcentajes superiores al 100 por ciento.

Esta lección analiza el significado de una razón y explica cómo escribir e interpretar razones. Concluimos resolviendo problemas que requieren aplicar una razón a grandes cantidades.

Comenzamos nuestra discusión sobre razones equivalentes usando diagramas y explorando cómo dos razones pueden representar la misma relación entre dos cantidades. Luego, desarrollamos estrategias para encontrar proporciones equivalentes numéricamente. Esta lección concluye con la resolución de problemas de razón.

En esta lección, definimos un porcentaje y exploramos las relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Concluimos resolviendo algunos problemas verbales que involucran porcentajes.

Esta lección explora estrategias para convertir entre diferentes unidades métricas de longitud, masa y capacidad. Luego aplicamos estas estrategias para convertir entre unidades de tiempo y unidades de área.

En esta lección, aprendemos sobre tasas que son comparaciones de dos medidas con diferentes unidades. Nos enfocamos en cómo escribir tasas unitarias y cómo se pueden usar las tasas unitarias para resolver problemas verbales. También se incluyen algunos ejemplos sobre cómo convertir una tasa en diferentes unidades.

En esta lección, exploramos la noción de proporcionalidad utilizando ejemplos como ampliación de imagen y mezcla de pintura. Exploramos las relaciones proporcionales entre dos cantidades y aprendemos a reconocer cuándo una situación es proporcional y cuándo no.

En esta lección, examinamos cómo reconocer una relación proporcional entre dos cantidades cuando los datos se muestran en una tabla o un gráfico.

La relación entre cantidades proporcionales a menudo se da en forma de tasa unitaria. En esta lección, exploramos cómo esta tasa unitaria se manifiesta en una ecuación, una tabla o un gráfico que representa la relación entre las dos cantidades.

En esta lección, analizamos los porcentajes fraccionarios y los porcentajes superiores al 100 por ciento. Se presta cierta atención a dónde aparecen los porcentajes en la vida cotidiana y cómo la estimación puede ser útil cuando se trabaja con porcentajes.

Las situaciones proporcionales se pueden presentar de muchas formas, entre las que se incluyen: tasas unitarias, tablas, gráficos o ecuaciones. En esta lección, practicamos la comparación de relaciones proporcionales que se presentan de diferentes maneras.

Bisectrices y propiedades de formas (G)

Parte A (lecciones 1 a 6)
Los temas incluyen construcciones de bisectrices de ángulos y bisectrices perpendiculares, y las diversas propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos más generales. En particular, los diferentes polígonos se clasifican en función de las longitudes de sus lados y las medidas de los ángulos.

Parte B (Lecciones 7 a 10)
Los temas incluyen diagonales de cuadriláteros, terminología y construcción de círculos, y aplicaciones de círculos en el mundo real.

Esta lección presenta la terminología y la notación de objetos geométricos básicos, con un enfoque en la comunicación escrita y oral.

Revisamos cómo clasificar triángulos según la longitud de los lados y las medidas de los ángulos. Luego investigamos la relación entre ángulos y lados en triángulos. Esta lección concluye con una aplicación de las propiedades de los triángulos para construir un ángulo de 60 grados usando una brújula.

Se puede usar una brújula y una regla para dividir un ángulo por la mitad perfectamente sin tener que tomar una medida. En esta lección, discutimos las propiedades de las bisectrices de los ángulos y cómo usar estas propiedades para construir una bisectriz de un ángulo dado usando solo un compás y una regla no graduada. Extendemos nuestra discusión a los triángulos y exploramos la relación de las tres bisectrices de los ángulos en cualquier triángulo.

Continuando con nuestra discusión sobre construcciones, miramos las propiedades de las bisectrices perpendiculares y cómo usar estas propiedades para construir una bisectriz perpendicular de un segmento de línea dado usando solo un compás y una regla. Extendemos nuestra discusión a los triángulos y exploramos la relación de las tres bisectrices perpendiculares en cualquier triángulo.

En esta lección, miramos las propiedades de seis cuadriláteros especiales. Examinamos las similitudes y diferencias entre cada uno y usamos un diagrama para representar todas las relaciones que discutimos.

Ampliando cuadriláteros, en esta lección discutimos las propiedades de los polígonos generales. En particular, investigamos la suma de los ángulos interiores de un polígono y cómo los polígonos están conectados a los prismas. Esta lección concluye con una extensión que explora cómo se pueden cortar los prismas para producir varias caras poligonales.

En esta lección, investigamos varias propiedades de las diagonales en cuadriláteros. En particular, consideramos cuándo las diagonales se bisecan entre sí, son perpendiculares entre sí o tienen la misma longitud. Luego usamos estas propiedades para ayudarnos a clasificar cuadriláteros.

Esta lección comienza con una discusión sobre cómo describir un círculo. Dado que los círculos son muy diferentes de los polígonos, introducimos una nueva terminología para usar al estudiar círculos. En particular, definimos el centro, radio, diámetro y circunferencia de un círculo. También exploramos cómo usar polígonos para ayudarnos a estimar la circunferencia y el área encerrada por un círculo.

En esta lección, discutimos estrategias para dibujar círculos precisos. Específicamente, nos fijamos en dibujar círculos cuando se les da un centro y un radio, un centro y un punto que debe estar en el círculo, y también se dan dos o más puntos que deben estar todos en el círculo. Discutimos dónde aparecen los círculos más grandes en el mundo real y qué herramientas y estrategias se pueden usar para crearlos.

En esta lección, tomamos la aplicación de círculos más allá de la rueda y discutimos el papel de los círculos en el diseño de rotondas, el uso de círculos en el diseño de estructuras y cómo los círculos de diferentes diámetros interactúan en máquinas que usan engranajes.

Área, volumen y ángulos (G)

Parte A (lecciones 1 a 5)
Topics include calculating the area of parallelograms, triangles, trapezoids, and composite shapes calculating the surface area, volume, and capacity of prisms and representing 3D objects in different ways.

Part B (Lessons 6–10)
Topics include calculating the circumference and area of circles calculating the volume and surface area of cylinders and properties of angles formed by intersecting lines including parallel lines and transversals.

This lesson reviews the definition of area and how to calculate the area of a rectangle. We then develop and apply the formulas for finding the areas of parallelograms, triangles, and trapezoids.

Continuing our discussion on area, we explore how to decompose and calculate the area of composite shapes.

In this lesson, we learn how to visualize the surface of a 3D solid using a net. We then calculate the surface area of prisms and solve word problems involving surface area.

In this lesson, we develop and apply the formula for finding the volume of a prism. We relate volume and capacity, and explore how to convert between units of volume.

We wrap up our discussion on prisms and composite solids by learning how to draw them on triangular dot paper. We also learn how to recognize and sketch different 2D views of a 3D object.

In this lesson, we review the circumference and area of circles. We then develop and apply the formulas for calculating the circumference and the area of a circle given the radius (or diameter) of the circle.

We begin our discussion on cylinders by comparing cylinders to prisms. We develop and apply the formula for finding the volume of a cylinder and solve word problems involving the volume or the capacity of a cylinder.

Continuing our discussion on cylinders, in this lesson, we explore the net of a cylinder and use the net to develop a formula for the surface area of a cylinder. We then calculate the surface area of cylinders and solve word problems involving surface area.

In this lesson, we begin our discussion of intersecting lines by exploring the properties of angles formed by two intersecting lines. We define supplementary, complementary, and opposite angles, and use angle relationships to find unknown angles in a diagram.

Continuing our discussion on intersecting lines, in this lesson we explore the angles formed by parallel lines and transversals. We define corresponding, alternate, and co-interior angles, and use angle relationships to solve for unknown angles in a diagram.

Transformations of Shapes (G)

Part A (Lessons 1–7)
Topics include congruence of polygons, triangle congruence rules, plotting points on the Cartesian plane, the image of a polygon on the Cartesian plane under translations, reflections and/or rotations on the Cartesian plane, and tessellations.

Part B (Lessons 8–11)
Topics include similarity of polygons, triangle similarity rules, dilatations of polygons, and indirect measurements.

In this lesson, we review the definition of congruence and match the sides and angles of two congruent polygons. We also take a look at the perimeter and area of congruent polygons.

Continuing our discussion on congruence, in this lesson, we explore congruence rules for triangles. Our goal is to show two triangles are congruent by matching only three corresponding parts.

This lesson introduces the Cartesian plane. We examine how to construct the Cartesian coordinate system, how to plot points on the Cartesian plane, as well as examine the vertical/horizontal distances between two points on the Cartesian plane.

In this lesson, we begin our discussion on transformations by exploring the translations of polygons. We learn how to draw the image of a polygon under a translation and relate the definition of congruence to translations.

Continuing our discussion on transformations, we now explore reflections of polygons. In this lesson, we learn how to graph the image of a polygon under a reflection on the Cartesian plane and explain how the image is congruent to the original polygon.

In this lesson, we learn how to graph the image of a polygon under a rotation. We also combine all three transformations and graph the image of a polygon under a translation, reflection, and rotation on the Cartesian plane.

This lesson explores the art of tessellations. We define a tessellation and explore what polygons can tessellate the plane. Then, using polygons that we know tessellate the plane, we explore how to create interesting designs that tessellate.

In geometry, the word “similar” is used to indicate when two objects have the same shape, but not necessarily the same size. In this lesson, we learn the precise definition of similar polygons, explore the scale factor between two similar polygons, and learn how to use the scale factor to solve problems.

Every triangle has three angles and three sides, but it turns out that we do not need to know the measures of each to determine the shape of the triangle. In this lesson, we explore the minimum conditions needed to verify that two triangles are similar. We learn the Angle-Angle, Side-Side-Side, and Side-Angle-Side similarity rules and practise constructing similar triangles.

In this lesson, we explore how to draw similar polygons without measuring any angles. This can be done by performing a particular type of transformation: a dilatation.

Indirect measurements allow us to find unknown lengths without actually measuring line segments. In this lesson, we explore how to use the triangle similarity rules to make indirect measurements in different scenarios.

Representing Patterns (A)

Part A (Lessons 1–6)
Topics include representing sequences using tables, general terms and graphs, describing patterns using variables and expressions, extending sequences, and solving problems involving unknown quantities.

Part B (Lessons 7–11)
Topics include equivalent expressions for the general term of a sequence, describing relationships and patterns using equations, and decreasing and naturally occurring sequences.

We begin our discussion of patterning by examining number and image sequences. In this lesson, we focus on stating the pattern rule which describes how to generate the next term in a sequence.

This lesson explores the relationship between the term number and the term value, that is, the relationship between a term in a sequence and its position in that sequence. We then use the general term to find the value of a term in a sequence given its term number.

We continue to find the general term of sequences, with emphasis on how to use a variable to represent an unknown quantity. This lesson concludes with a discussion on substitution, where we evaluate expressions by substituting a number for a variable in the general term.

In this lesson, we encounter sequences that have a different type of relationship than what we have previously seen. You will continue to practise finding the general term of a sequence, concluding the lesson with some application problems.

In this lesson, we explore how to represent a sequence graphically. With a sequence represented on a graph, we then use the graph to determine the term number that corresponds to a given term in the sequence. Finally, you will practise how to find the general term of a sequence given its graph.

In this lesson, we connect the different sequences that we have studied so far. We continue using tables, graphs, and general terms to study the patterns that sequences represent.

In this lesson, we review how to represent a sequence using a table, a general term, or a graph. Emphasis is put on determining which of these three representations is most appropriate in a particular problem-solving situation.

In this lesson, we analyze different patterns that generate the same sequence of numbers. We generate various expressions to represent the different interpretations of a pattern, and learn how to determine whether two expressions are equivalent.

In this lesson, we learn the difference between an expression and an equation, and explore how each can be used when describing patterns. In particular, we use expressions for the general term of a sequence to form equations to represent relationships in sequences.

In this lesson, we define and explore decreasing sequences. You are challenged to consider how strategies for finding the general terms of increasing sequences can be used to write an equation representing a decreasing sequence. We also examine how some sequences of numbers that arise from physical situations cannot continue forever due to real-world boundaries.

In this lesson, we look beyond the typical sequences discussed in this unit and explore more naturally occurring sequences. The examples focus on popular puzzles and real-life growth and depreciation scenarios. We conclude by discussing, through an example, how apparent patterns can sometimes be deceiving.

Equations and the Pythagorean Theorem (A)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include using variables in expressions and equations, identifying and exploring linear relationships, and solving equations by inspection, trial and error, and using visual models.

Part B (Lessons 6–10)
Topics include solving equations using algebraic techniques, comparing the differences between evaluating an expression and solving an equation, exploring equations with multiple variables, and the Pythagorean Theorem.

In this lesson, we review variables and expressions. We discuss common notation for operations in algebra and practice translating English phrases to mathematical expressions.

In this lesson, we explore linear relationships between two quantities. We learn how to identify a linear relationship represented in a graph, in a table of values, or in an equation.

In this lesson, we use expressions and equations to model and solve real-world problems.

In this lesson, we use graphs and a visual model of weights on a scale to help solve equations. We also practise solving simple equations by inspection.

In this lesson, we practise solving equations by trial and error. These methods are applied to solve word problems and to solve equations that have fractional solutions.

In this lesson, we visualize equations using weights and a balanced scale. We solve equations with one operation using algebraic techniques and learn how to verify a solution of an equation.

We continue to solve equations using algebra by extending our strategies to solve equations with more than one operation.

This lesson explores the forwards and backwards movement through a math machine, and makes connections to the differences between evaluating an expression and solving an equation.

In this lesson, we find solutions to equations with two or more unknown quantities using trial and error and algebra.

In this lesson, we investigate the relationship between the side lengths of a right triangle. We will develop the Pythagorean Theorem and use it to solve for the missing side length of a right triangle.

Data Collection and Graphs (D)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include different types of data population, sample and census bias in data collection arising from question wording, accepted answers and choice of sample group frequency and relative frequency tables and graphs reading and creating circle graphs choosing an appropriate graph type for a data set bias in data representation arising from the chosen graph type, graph structure and shape, and axis labels and scales.

Part B (Lessons 6–9)
Topics include organizing continuous data into stem-and-leaf plots and frequency tables with intervals as well as creating and reading histograms, and scatter plots.

In this lesson, we discuss different types of data including primary, secondary, categorical, and numerical data. We discuss the terms population, sample, and census and learn the difference between discrete and continuous numerical data.

In this lesson, we explore how data can be influenced by the wording of survey questions, the types of answers accepted in a survey, and the sample group that is being used in the survey to represent the population.

In this lesson, we learn how to organize data into frequency tables, calculate relative frequencies, and create and compare frequency and relative frequency graphs.

In this lesson, we focus on reading and creating circle graphs (or pie charts). We also discuss the appropriate graph types (circle, bar, or line) that can be used to display various data sets.

In this lesson, we explore how choices made while creating a graph can lead to a misrepresentation of the underlying data. In particular, we discuss how the type of graph, the structure and shape of the graph, or the axis labels and scales of the graph can potentially mislead the viewer.

In this lesson, we focus on working with continuous data sets. We explore different ways in which continuous data might be organized and graphed as well as discuss how to display paired data sets.

In this lesson, we study different ways to organize numerical data sets into intervals. We start by organizing data using stem-and-leaf plots and then exploring how frequency tables can be used if we divide the data into intervals. We discuss the advantages and disadvantages of these organization tools and practise choosing appropriate intervals for given data sets.

Standard bar graphs are not always an appropriate way to display a given numerical data set. A histogram is a similar type of graph in which numerical data are first grouped into ranges and then the frequency of each range is plotted using a bar. In this lesson, we discuss the features of a histogram and practise creating histograms from numerical data sets. We discuss what information might be gained or lost by presenting data in a histogram, and explore the effects of interval choice on the shape of the graph.

A scatter plot is a graph consisting of points which are formed using the values of two variable quantities. Scatter plots are used to display a relationship between the two variables in question. In this lesson, we discuss the features of a scatter plot and practise creating scatter plots from paired data sets. We discuss the roles that the two variables play in a scatter plot and explore what information might be revealed when we consider the shape formed by the data points as a whole.

Data Analysis (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include determining the mean, median, and mode of data sets studying the effects of adding data to a data set or removing data from a data set exploring the effect of outliers on the mean, median, and mode and practising drawing conclusions and making predictions from data in graphs.

Part B (Lessons 5–8)
Topics include interpreting data, histograms, and scatter plots and drawing conclusions from these graphs describing relationships between the two variables in a scatter plot estimating rates of change associated with scatter plots making predictions supported by the data in histograms and scatter plots and using appropriate measures of central tendency to compare two data sets.

It can be helpful to use a single value to summarize the information in a large data set. Measures of central tendency, like the mean, median, and mode, attempt to summarize data by measuring the middle (or centre) of a data set. In this lesson, we will learn how to determine the mean, median, and mode of different data sets and discuss how they can be used to analyze data.

In this lesson, we discuss the effects of adding data to (or removing data from) a data set. We focus on how this might affect the mean, median, and mode in different ways.

Some data sets contain outliers, which is data that is separated from the rest of the values in the data set. In this lesson, we discuss the effect of outliers on the mean, median, and mode of data sets, and explore different contexts in which one particular measure might be the most appropriate for summarizing the given data.

In this lesson, we practise interpreting the underlying data displayed in different graphs. We discuss the difference between statements that can be verified using the information in a graph and predictions that are supported by the trends in the graph but cannot be verified using the graph alone.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a histogram, and drawing conclusions supported by the histogram. We also explore how the interval size of a histogram can affect the conclusions drawn by someone who is analyzing the data in a histogram.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a scatter plot, and drawing conclusions supported by the scatter plot. We explore how to identify and describe a general relationship that might exist between the two variables in a scatter plot.

Scatter plots are often used to identify and study a relationship between two variables. When the data points in a scatter plot seem to roughly follow the path of a line, we can use our knowledge of linear patterns to study the data and make predictions. In this lesson, we explore drawing lines that approximate the trend observed in a scatter plot, and estimating rates of change associated to scatter plots. We compare rates of change of different scatter plots and use them to make predictions.

In this lesson, we practise using measures of central tendency to compare two data sets, draw conclusions, and discuss factors that might influence which measure of central tendency is most appropriate for a particular comparison. We also explore how to compare data presented in histograms.

Probability (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include random experiments, outcomes, and events calculating theoretical probabilities of single events comparing probabilities of different events independent events experimental probability and using probabilities to make predictions.

Part B (Lessons 5&ndash8)
Topics include comparing theoretical probabilities and experimental probabilities exploring how the number of trials impacts probability estimates complementary events setting up and running simulations using probability models and revisiting independent events.

A random experiment is an experiment where the set of possible outcomes is known but the actual outcome cannot be predicted with any certainty. Probability theory is the study of random experiments including different ways to measure the likelihood that a particular outcome or event will occur. In this lesson, we review the notion of probability and practise calculating theoretical probabilities of different events in various experiments.

Often random experiments include more than one object, for example, an experiment might include tossing a fair coin and rolling a standard die. In this lesson, we explore how to calculate the probability that two independent events occur, for example, the probability that a head is tossed and an even number is rolled. We define and identify independent events and use tables and tree diagrams to systematically list all outcomes of an experiment in order to calculate probabilities of various events.

Theoretical probability is a ratio that describes what we expect to happen in an experiment and experimental probability is a ratio that describes what actually happened during trials of an experiment. In this lesson, we calculate experimental probabilities of different events and explore how these compare to known theoretical probabilities. We also explore situations where experimentation is our only option for studying probabilities.

If you can determine the chances that a particular event will occur in an experiment, then you can use this information to make predictions involving this experiment. In this lesson, we use theoretical and experimental probabilities to make predictions. We discuss how reliable, or unreliable, our predictions might be and explore how we might design experiments in a way that makes our predictions as reliable as possible.

In this lesson, we compare theoretical probabilities to probability estimates found through experimentation, and explore how the number of trials performed in an experiment might impact probability estimates.

In this lesson, we define and explore the notion of complementary events. We learn how identifying complementary events can be helpful when calculating probabilities.

For many real-world situations involving probabilities, it can be difficult to collect data directly by running real experiments. In these situations, mathematicians often run simulations that resemble the real situation in terms of probabilities. In this lesson, we will learn how to choose appropriate models for simulations and practise running simulations to obtain probability estimates.

In this lesson, we review how to determine probabilities of independent events using lists, tables, and tree diagrams to display all possible outcomes. We also explore how to count the number of possible outcomes and favourable outcomes without explicitly writing them down. These skills can be helpful for experiments with too many outcomes to list efficiently.


Free Math Worksheets for Grade 7

This is a comprehensive collection of free printable math worksheets for grade 7 and for pre-algebra, organized by topics such as expressions, integers, one-step equations, rational numbers, multi-step equations, inequalities, speed, time & distance, graphing, slope, ratios, proportions, percent, geometry, and pi. They are randomly generated, printable from your browser, and include the answer key. The worksheets support any seventh grade math program, but go especially well with IXL's 7th grade math curriculum.

The worksheets are randomly generated each time you click on the links below. You can also get a new, different one just by refreshing the page in your browser (press F5).

You can print them directly from your browser window, but first check how it looks like in the "Print Preview". If the worksheet does not fit the page, adjust the margins, header, and footer in the Page Setup settings of your browser. Another option is to adjust the "scale" to 95% or 90% in the Print Preview. Some browsers and printers have "Print to fit" option, which will automatically scale the worksheet to fit the printable area.

All worksheets come with an answer key placed on the 2nd page of the file.

In seventh grade, students will study pre-algebra topics, such as integer arithmetic, simplifying expressions, the distributive property, and solving equations & inequalities. They continue studying ratio and percent and learn about proportions. Please note that these free worksheets do not cover all 7th grade topics most notably, they do not include problem solving.

Introduction to algebra

The worksheets in this introductory section correspond with Math Mammoth Grade 7, Chapter 1, and don't involve negative numbers.

  • Evaluate simple expressions
  • Simplify expressions (by combining like terms no negative numbers)
  • Multiply using the distributive property
  • Factor the expressions (for example 4w + 2w o C · 3 · C · C · 7)

Integers

Number line graphs and simple inequalities involving integers

Addition and subtraction

  • Add two integers (-10 to 10)
  • Add two integers (-30 to 30)
  • Add three integers
  • Add four integers
  • Add integers: missing number (easy)
  • Add integers: missing number (medium)
  • Subtract two integers (-10 to 10)
  • Subtract three integers (-30 to 30)
  • Subtract integers: missing number
  • Subtract three integers
  • Subtract four integers

Multiplication & Division

Primary Grade Challenge Math by Edward Zaccaro

A good book on problem solving with very varied word problems and strategies on how to solve problems. Includes chapters on: Sequences, Problem-solving, Money, Percents, Algebraic Thinking, Negative Numbers, Logic, Ratios, Probability, Measurements, Fractions, Division. Each chapter&rsquos questions are broken down into four levels: easy, somewhat challenging, challenging, and very challenging.

One-step equations

Rational numbers

Convert decimals to fractions and vice versa

Decimal Addition and Subtraction

    (includes negative decimals) (includes negative decimals) (includes negative decimals) (includes negative decimals)

Decimal Multiplication and division

  • Multiply two decimals &mdash mental math (includes negative decimals)
  • Multiply three decimals &mdash mental math (includes negative decimals)
  • Multiply two decimals using the multiplication algorithm (includes negative decimals)

Key to Decimals Workbooks

This is a workbook series by Key Curriculum Press that begins with basic concepts and operations on decimals. Then the books cover real-world uses of decimals in pricing, sports, metrics, calculators, and science.

The set includes books 1-4.

Fraction addition and subtraction

Fraction multiplication and division

Key to Fractions Workbooks

These workbooks by Key Curriculum Press feature a number of exercises to help your child learn about fractions. Book 1 teaches fraction concepts, Book 2 teaches multiplying and dividing, Book 3 teaches adding and subtracting, and Book 4 teaches mixed numbers. Each book has a practice test at the end.

    - up to 8-digit numbers - up to 12-digit numbers

Equations and inequalities

    - constants and coefficients are non-negative whole numbers - constants and coefficients may be negative integers
  • Challenge: the constants and coefficients are "larger" numbers (have a larger absolute value)
  • Solve inequalities - easier
  • Solve inequalities - medium

Key to Algebra Workbooks

Key to Algebra offers a unique, proven way to introduce algebra to your students. New concepts are explained in simple language, and examples are easy to follow. Word problems relate algebra to familiar situations, helping students to understand abstract concepts. Students develop understanding by solving equations and inequalities intuitively before formal solutions are introduced. Students begin their study of algebra in Books 1-4 using only integers. Books 5-7 introduce rational numbers and expressions. Books 8-10 extend coverage to the real number system.

Constant speed, time, and distance

Graphing & Slope

  • Graph linear equations - easy (slope is a whole number)
  • Graph linear equations - medium (slope can be a fraction)
    (slope is a whole number) (slope can be a fraction)
  • Graph a line with a given slope and point on it (slope is a whole number)
  • Graph a line with a given slope and point on it (slope may be a fraction)

Real World Algebra by Edward Zaccaro

Algebra is often taught abstractly with little or no emphasis on what algebra is or how it can be used to solve real problems. Just as English can be translated into other languages, word problems can be "translated" into the math language of algebra and easily solved. Real World Algebra explains this process in an easy to understand format using cartoons and drawings. This makes self-learning easy for both the student and any teacher who never did quite understand algebra. Includes chapters on algebra and money, algebra and geometry, algebra and physics, algebra and levers and many more. Designed for children in grades 4-9 with higher math ability and interest but could be used by older students and adults as well. Contains 22 chapters with instruction and problems at three levels of difficulty.

Ratio

Proportions

Percent

Key to Percents Workbooks

Key to Percents first emphasizes mental computation and estimation skills--since most work with percents is done without pencil and paper. Then students are taught to solve percent problems using equal fractions and decimal multiplication. Finally, percents are used to solve word problems in a variety of applications. Key to Percents assumes only a knowledge of fraction and decimal computation. Book 1 covers Percent Concepts. Book 2 covers Percents and Fractions. Book 3 covers Percents and Decimals.

Geometry

Area- these worksheets are done in the coordinate grid.

Volume & surface area

Since these worksheets below contain images of variable sizes, please first check how the worksheet looks like in print preview before printing. If it doesn't fit, you can either print it scaled (such as at 90%), or make another one by refreshing the worksheet page (F5) until you get one that fits.

  • Find the volume of a rectangular prism with fractional edge lengths
    (halves, thirds, and fourths the whole number part is max 2)
  • Find the volume of a rectangular prism with fractional edge lengths (challenge: fractions up till sixths)
  • Find the volume or surface area of rectangular prisms (easy)
  • Find the volume or surface area of rectangular prisms (using decimals)
  • Problem solving: find the volume/surface area/edge length of cube when surface area or volume is given

Key to Geometry Workbooks

Here is a non-intimidating way to prepare students for formal geometry. Key to Geometry workbooks introduce students to a wide range of geometric discoveries as they do step-by-step constructions. Using only a pencil, compass, and straightedge, students begin by drawing lines, bisecting angles, and reproducing segments. Later they do sophisticated constructions involving over a dozen steps-and are prompted to form their own generalizations. When they finish, students will have been introduced to 134 geometric terms and will be ready to tackle formal proofs.

Circle & Pi

If you wish to have more control on the options such as number of problems or font size or spacing of problems, or range of numbers, just click on these links to use the worksheet generators yourself:


Free math worksheets for basic operations

This worksheet generator allows you to make worksheets for addition, subtraction, division, and multiplication of whole numbers and integers, including both horizontal and vertical forms (long division etc.), and simple equations with variables.

You can make worksheets for.

  • basic addition/subtraction facts
  • mental addition and subtraction (for example, whole hundreds)
  • multiplication tables, including missing factors
  • basic division facts, including with remainders
  • mental multiplication and division (for example, by powers of ten)
  • column-form addition and subtraction, including subtraction with or without regrouping
  • column-form multiplication (long multiplication)
  • long division
  • simple equations using either an empty line or a variable (choose missing addend/subtrahend/minuend/factor/dividend/divisor). This is usable from first grade up to pre-algebra/algebra 1!

All of this can be done either with positive whole numbers or integers (negative numbers) by choosing the range of numbers used. Experiment with the options to customize the worksheets as you like!

For example, you can add any amount of extra space for working out the problems, put a border around each problem, and choose the font and font size, which allows customizing the worksheets for students with visual problems or ADHD.


Maryland College and Career Ready Math Standards

Learning Domain: Mathematical Practices

Standard: Mathematical practices

Indicator: Look for and express regularity in repeated reasoning. Mathematically proficient students notice if calculations are repeated, and look both for general methods and for shortcuts. Upper elementary students might notice when dividing 25 by 11 that they are repeating the same calculations over and over again, and conclude they have a repeating decimal. By paying attention to the calculation of slope as they repeatedly check whether points are on the line through (1, 2) with slope 3, middle school students might abstract the equation (y - 2)/(x -1) = 3. Noticing the regularity in the way terms cancel when expanding (x - 1)(x + 1), (x - 1)(x^2 + x + 1), and (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) might lead them to the general formula for the sum of a geometric series. As they work to solve a problem, mathematically proficient students maintain oversight of the process, while attending to the details. They continually evaluate the reasonableness of their intermediate results.