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6: La transformada de Laplace - Matemáticas


La transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales y reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego puede resolverse mediante las reglas formales del álgebra.

  • 6.1: La transformada de Laplace
    La transformada de Laplace resulta ser un método muy eficiente para resolver ciertos problemas de EDO. En particular, la transformada puede tomar una ecuación diferencial y convertirla en una ecuación algebraica. Si la ecuación algebraica se puede resolver, aplicar la transformada inversa nos da la solución deseada.
  • 6.2: Transformaciones de derivadas y EDO
    El procedimiento para las ecuaciones de coeficiente constante lineal es el siguiente. Tomamos una ecuación diferencial ordinaria en la variable de tiempo t. Aplicamos la transformada de Laplace para transformar la ecuación en una ecuación algebraica (no diferencial) en el dominio de la frecuencia. Resolvemos la ecuación para X (s). Luego, tomando la transformada inversa, si es posible, encontramos x (t). Desafortunadamente, no todas las funciones tienen una transformada de Laplace, no todas las ecuaciones pueden resolverse de esta manera.
  • 6.3: Convolución
    La transformación de Laplace de un producto no es el producto de las transformadas. En cambio, introducimos la convolución de dos funciones de t para generar otra función de t.
  • 6.4: Respuesta a impulso y delta de Dirac
    A menudo, en las aplicaciones, estudiamos un sistema físico poniendo un pulso corto y luego viendo lo que hace el sistema. El comportamiento resultante a menudo se denomina respuesta impulsiva.
  • 6.E: La transformada de Laplace (ejercicios)
    Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones diferenciales para ingeniería" de Libl. Este es un libro de texto destinado a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.

Ecuaciones diferenciales n. ° 6: transformadas de Laplace y resolución de ecuaciones diferenciales

En la última publicación, Ecuaciones diferenciales n. ° 5: una introducción a las transformadas de Laplace, presentamos el concepto de tomar transformadas de Laplace y transformadas de Laplace inversas.

Dos transformadas de Laplace de las que debemos tomar nota:
L (f '(t)) = s * F (s) - f (0)
L (f "(t)) = s ^ 2 * F (s) - s * f (0) - f '(0)

La presencia de f (0) y f '(0) indica que se pueden usar las condiciones adecuadas para resolver la ecuación diferencial.

Para resolver la ecuación diferencial usando la transformación de Laplace:

1. Realice una transformada de Laplace en cada término. Recuérdalo
L (y (x)) = F (s)
L (y '(x)) = s * F (s) - y (0)
L (y "(x)) = s ^ 2 * F (s) - s * y (0) - y '(0)

2. Resuelva para F (s). Si es necesario, use la manipulación algebraica para obtener F (s) en forma funcional.

3. Encuentre la transformada de Laplace inversa para F (s). La solución final es:
y (x) = L & # 8315 & # 185 (F (s))

En nuestros ejemplos, voy a acortar F (s) a F.

L (y ') = s * F - y (0) = s * F - 3
L (2 * y) = 2 * F
L (e ^ x) = 1 / (s-1)

Resolviendo para F los rendimientos:
F = 1 / ((s-1) * (s + 3)) + 3 / (s + 3)
= (3 * s - 2) / ((s-1) * (s + 3))
= (1/3) / (s-1) + (8/3) / (s + 3) (por descomposición parcial de fracciones)

Respuesta final y (x) = 1/3 * e ^ -x + 8/3 * e ^ (2 * x)

L (y ") = s ^ 2 * F - s * y (0) - y '(0) = s ^ 2 * F - s
L (-y) = -L (y) = - (s * F - y (0)) = -s * F + 1
L (e ^ x) = 1 / (s-1)

Luego:
s ^ 2 * F - s - s * F + 1 = 1 / (s-1)
F * (s ^ 2 - s) = 1 / (s-1) + s - 1
F = 1 / ((s-1) * (s ^ 2 - s) + (s-1) / (s ^ 2 - s)
F = 1 / (s ^ 3 - 2 * s ^ 2 + s) + (s-1) / (s ^ 3 - 2 * s ^ 2 + s)

Dado que s ^ 3 - 2 * s ^ 2 + s = s * (s ^ 2 - 2 * s + 1) = s * (s - 1) ^ 2,

F = 1 / (s * (s-1) ^ 2) + 1 / s
F = (1 + s ^ 2 - 2 * s + 1) / (s * (s-1) ^ 2)
F = (s ^ 2 - 2 * s + 2) / (s * (s-1) ^ 2)

Por descomposición parcial de fracciones:
F = 2 / s - 1 / (s-1) + 1 / (s-1) ^ 2

Por transformada inversa de Laplace:
L & # 8315 & # 185 (F) = y = 2 - e ^ x + x * e ^ x

L (y ') = s * F - π / 2
L (y) = s * F
L (sen x) = 1 / (s ^ 2 + 1)

(s * F - π / 2) + F = 1 / (s ^ 2 + 1)
(s + 1) * F = 1 / (s ^ 2 + 1) + π / 2
F = 1 / ((s ^ 2 + 1) * (s + 1)) + π / (2 * (s + 1))

Simplificación y descomposición parcial de fracciones:
F = 1/2 * 1 / (s + 1) - 1/2 * (s-1) / (s ^ 2 +1) + π / 2 * 1 / (s + 1)
F = (1/2 + π / 2) * 1 / (s + 1) - 1/2 * 1 / (s ^ 2 + 1) + 1/2 * 1 / (s ^ 2 + 1)

L & # 8315 & # 185 (F) =
(1/2 + π / 2) * e ^ -x - 1/2 * cos x + 1/2 * sin x

s * F - 2 + 2 * F = 2 / s ^ 3
(s + 2) * F = 2 / s ^ 3 + 2
F = (2 + 2 * s ^ 3) / (s ^ 3 * (s + 2))
F = 1 / s ^ 3 - 1/2 * 1 / s ^ 2 + 1/4 * 1 / s + 7/4 * 1 / (s + 2)

y = 1/2 * x ^ 2 - 1/2 * x + 1/4 + 7/4 * e ^ (- 2 * x)

En nuestro próximo blog, veremos cómo las transformadas de Laplace nos ayudarán a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.


Argumentos de entrada

Entrada f & # 8212 expresión simbólica | función simbólica | vector simbólico | matriz simbólica

Entrada, especificada como expresión, función, vector o matriz simbólica.

Var & # 8212 Variable independiente t (predeterminado) | variable simbólica

Variable independiente, especificada como variable simbólica. Esta variable a menudo se denomina "variable de tiempo" o "variable de espacio". Si no especifica la variable, por defecto, laplace usa t. Si f no contiene t, entonces laplace usa la función symvar para determinar la variable independiente.

TransVar & # 8212 Variable de transformación s (predeterminado) | z | variable simbólica | expresión simbólica | vector simbólico | matriz simbólica

Variable de transformación, especificada como variable simbólica, expresión, vector o matriz. Esta variable a menudo se denomina "variable de frecuencia compleja". Si no especifica la variable, entonces, de forma predeterminada, laplace usa s. Si s es la variable independiente de f, entonces laplace usa z.


MATH 307 N: Introducción a las ecuaciones diferenciales

Los miércoles y viernes, los estudiantes trabajarán en grupos pequeños sobre problemas y conceptos y, a veces, toda la clase trabajará en conjunto. Hay varios lunes festivos y cuatro exámenes los lunes. Los lunes restantes también serán de trabajo en grupo. Los jueves se reunirá en grupos más pequeños (secciones de 40 estudiantes) con el asistente de enseñanza del curso, muchos de esos días los dedicará a resolver problemas de práctica, enfocados en la preparación de exámenes.

Debido a esta estructura de clase, los estudiantes deben leer las secciones relevantes del libro antes de cada clase y realizar pruebas de lectura en línea, una o dos por semana. Ven a clase preparado para trabajar el material relacionado con la lectura al final de cada clase, entrega tu trabajo (en un grupo de 2, 3 o 4 personas). También habrá problemas habituales de WebAssign que se entregan en línea.

El horario de una semana típica:

  • Domingo por la noche (o antes): complete los problemas de WebAssign, que están directamente relacionados con
  • Clase del lunes: un examen
  • Miércoles por la mañana (o antes): complete un cuestionario de lectura
  • Clase del miércoles: participe en los problemas y la discusión de ese día.
  • Secciones del jueves: preparación para el examen, repaso, preparación para la tarea, etc.
  • Viernes por la mañana (o antes): complete un cuestionario de lectura
  • Clase del viernes: participe en los problemas y la discusión de ese día.

Materiales del curso:

  • Introducción a las ecuaciones diferenciales, Décima edición, de Boyce & amp DiPrima. Cubriremos los capítulos 1, 2, 3 y 6.
  • WebAssign: debe comprar un código de acceso de WebAssign, por $ 22.95.
  • Mathlets: recurso en línea gratuito.
  • página web general de UW Math 307, incluidos los archivos de exámenes

Horas de oficina:

John Palmieri: PDL C-442, [email protected], 543-1785. Viernes 10: 30-12: 00, visita y cita previa.

TA: Sean Griffin, PDL C-552, [email protected] Lunes 8: 30-9: 20 y viernes 3: 00-4: 00.

Calificación:

  • Pruebas de lectura: 15% (caída más baja)
  • Problemas en clase: 15% (baja dos menos)
  • Problemas de WebAssign: 20% (caída más baja)
  • Exámenes: 30% (caída más baja)
  • Final: 20%

Acceso y alojamiento:

Si ya ha establecido adaptaciones con Disability Resources for Students (DRS), comuníqueme sus adaptaciones aprobadas lo antes posible para que podamos analizar sus necesidades en este curso.

Si aún no ha establecido los servicios a través de DRS, pero tiene una condición de salud temporal o una discapacidad permanente que requiere adaptaciones (las condiciones incluyen, entre otras: salud mental, relacionadas con la atención, aprendizaje, visión, audición, impactos físicos o de salud), usted pueden comunicarse con DRS al 206-543-8924 o [email protected] o disabled.uw.edu. DRS ofrece recursos y coordina adaptaciones razonables para estudiantes con discapacidades y / o condiciones de salud temporales. Las adaptaciones razonables se establecen a través de un proceso interactivo entre usted, su instructor (s) y DRS. Es política y práctica de la Universidad de Washington crear entornos de aprendizaje inclusivos y accesibles de acuerdo con las leyes federales y estatales.

Esquema del curso:

Semanas 1-3: Capítulos 1 y 2, modelado básico y ecuaciones de primer orden. Con más detalle:

  • Semana 1: Secciones 1.1, 1.2
  • Semana 2: Examen 1, Secciones 2.1, 2.3, 2.5
  • Semana 3: Secciones 2.5 (continuación), 2.7

Semanas 4-7: Capítulo 3, ecuaciones lineales de segundo orden. Con más detalle:

  • Semana 4: Examen 2, Sección 3.1
  • Semana 5: lectura de números complejos, Secciones 3.3, 3.4
  • Semana 6: Secciones 3.5, 3.7
  • Semana 7: Examen 3, Secciones 3.7 (continuación), 3.8

Semanas 8-10: Capítulo 6, Transformaciones de Laplace. Con más detalle:

  • Semana 8: Secciones 6.1, 6.2
  • Semana 9: Examen 4, Secciones 6.2 (continuación), 6.3
  • Semana 10: Secciones 6.4, 6.5

Exámenes:

  • 8 de enero: Examen 1. No se permiten notas ni calculadoras.
  • 22 de enero: Examen 2
  • 5 de febrero: Examen 3
  • 26 de febrero: Examen 4
  • 12 de marzo: Examen final (2: 30-4: 20)

Si alguna vez decido permitir calculadoras en los exámenes, solo se permitirán calculadoras científicas (como la TI-30 IIS): no se permitirán calculadoras gráficas, etc.


6: La transformada de Laplace - Matemáticas

Transformada de Laplace. Condiciones de Dirichlet. Función seccionalmente continua (o continua por partes). Función de orden exponencial. Función regular por partes. Transformada inversa de Laplace. Propiedades de las transformadas de Laplace. Teoremas del valor inicial y final. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160

Uso de transformadas de Laplace. Las transformadas de Laplace encuentran un amplio uso en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, ecuaciones integro-diferenciales lineales de coeficientes constantes, ecuaciones integrales de tipo convolución, ecuaciones en diferencias, ecuaciones en diferencias diferenciales y muchos problemas de valores de frontera.

Condiciones de Dirichlet. Las siguientes condiciones de una función definida en un intervalo [a, b] se denominan condiciones de Dirichlet:

(a) es continuo excepto por un número finito de discontinuidades

(b) tiene sólo un número finito de máximos y mínimos. & # 160

Def. Función seccionalmente continua (o continua por partes). Una función F Se dice que (x) es seccionalmente continuo (o por partes continuo) en un intervalo a x b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de intervalos en cada uno de los cuales la función es continua y tiene límites finitos a derecha e izquierda. Consulte la Fig. 1. El requisito de que una función sea seccionalmente continua en algún intervalo [a, b] es equivalente al requisito de que cumpla las condiciones de Dirichlet en el intervalo.

Def. Transformada de Laplace. Sea F (t) una función de valor real de la variable real t definida en la parte positiva del eje real, t 0. Entonces la transformada de Laplace de F (t), denotada por L [F (t)], es definido como

donde, en general, s es real, pero para algunas consideraciones debe considerarse complejo.

& # 160 Para que exista la transformada de Laplace, la integral impropia

debe converger para algún rango de valores de s. Una condición suficiente para que esta integral converja es que F (t) sea de orden exponencial.

Nota. Cuando se habla de la transformada de Laplace de funciones, se asume tácitamente que la función está definida solo en la parte positiva del eje real, t 0, y no está definida o es cero en la parte negativa del eje.

Def. Función de orden exponencial. Se dice que una función F (t) es de orden exponencial si existen constantes reales & # 945, M y T tales que

Si la condición 3) es válida para & # 945 = & # 9451, entonces obviamente se mantendrá para todos los & # 945 & # 8217s mayores que & # 9451. El mayor límite inferior & # 9450 del conjunto de todos los & # 945 & # 8217 para los que se satisface 3) se denomina abscisa de convergencia de F (t). & # 160

De 3) se puede ver que si una función es de orden exponencial, su valor absoluto no necesita permanecer acotado como t & # 8594 & # 8734, pero no debe aumentar más rápidamente que algún múltiplo constante de una función exponencial simple de t.

Def. Función regular por partes. Una función regular por partes es una función definida en el eje real positivo, t 0, que es seccionalmente continua en cada subintervalo finito de ese eje (cada subintervalo finito del eje real positivo 0 t).

Teorema 1. Sea F (t) una función regular a trozos definida en el eje real positivo, t 0. Sea F (x) de orden exponencial. Entonces su transformada de Laplace F(s) existe para todos los s & gt & # 9450, donde & # 9450 es la abscisa de convergencia de F(t).

Transformada inversa de Laplace. Sea F (t) una función regular por partes definida en el eje real positivo, t 0. Sea F (x) de orden exponencial. Entonces la transformada de Laplace

de F (t) existe en el semiplano de la variable compleja s para la cual la parte real de s es mayor que la abscisa de convergencia & # 9450 de F (t) es decir, R (s) & gt & # 9450. Además, la transformación inversa de Laplace L -1 [f (s)] también existe en este semiplano y está dada por

donde & # 945 & gt & # 9450. Este camino de integración representa un camino a la derecha de todas las singularidades de F (s).


Transformada de Laplace

El curso es gratuito para inscribirse y aprender. Pero si desea un certificado, debe registrarse y redactar el examen supervisado que realizamos personalmente en cualquiera de los centros de examen designados.
El examen es opcional por una tarifa de Rs 1000 / - (solo mil rupias).
Fecha y hora de los exámenes: 26 de septiembre de 2021 Sesión de mañana de 9 a 12 h. Sesión de tarde de 14 a 17 h.
URL de registro: los anuncios se realizarán cuando el formulario de registro esté abierto para las inscripciones.
Se debe completar el formulario de registro en línea y se debe pagar la tarifa del examen de certificación. Más detalles estarán disponibles cuando se publique el formulario de registro del examen. Si hay algún cambio, se mencionará entonces.
Consulte el formulario para obtener más detalles sobre las ciudades donde se realizarán los exámenes, las condiciones que acepta al completar el formulario, etc.

CRITERIOS PARA OBTENER UN CERTIFICADO

Puntuación media de la tarea = 25% del promedio de las 3 mejores tareas del total de 4 asignaciones otorgadas en el curso.
Puntaje del examen = 75% del puntaje del examen de certificación supervisado sobre 100

Puntaje final = Puntaje promedio de la tarea + Puntaje del examen

USTED SERÁ ELEGIBLE PARA OBTENER UN CERTIFICADO SOLO SI EL PUNTAJE PROMEDIO DE LA ASIGNACIÓN & gt = 10/25 Y EL PUNTAJE DEL EXAMEN & gt = 30/75. Si no se cumple uno de los 2 criterios, no obtendrá el certificado incluso si la puntuación final & gt = 40/100.

El certificado tendrá su nombre, fotografía y el puntaje en el examen final con la ruptura. Tendrá los logotipos de NPTEL e IIT Madras. Será verificable electrónicamente en nptel.ac.in/noc.

Solo estará disponible el certificado electrónico. No se enviarán copias impresas.

Una vez más, gracias por su interés en nuestros cursos y certificación en línea. Feliz aprendizaje.


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Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una transformada integral ampliamente utilizada con muchas aplicaciones en física e ingeniería. Denotado ( displaystyle mathcal izquierda ), es un operador lineal de una función f (t) con un argumento real t (t ≥ 0) que lo transforma en una función F (s) con un argumento complejo s. Esta transformación es esencialmente biyectiva para la mayoría de los usos prácticos, los respectivos pares de f (t) y F (s) se combinan en tablas. La transformada de Laplace tiene la propiedad útil de que muchas relaciones y operaciones sobre los originales f (t) corresponden a relaciones y operaciones más simples sobre las imágenes F (s). [1] Lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace, quien introdujo la transformación en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad.

La transformada de Laplace está relacionada con la transformada de Fourier, pero mientras que la transformada de Fourier expresa una función o señal como una serie de modos de vibración (frecuencias), la transformada de Laplace resuelve una función en sus momentos. Al igual que la transformada de Fourier, la transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales e integrales. En física e ingeniería se utiliza para el análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo, como circuitos eléctricos, osciladores armónicos, dispositivos ópticos y sistemas mecánicos. En tales análisis, la transformada de Laplace a menudo se interpreta como una transformación del dominio del tiempo, en el que las entradas y salidas son funciones del tiempo, al dominio de la frecuencia, donde las mismas entradas y salidas son funciones de frecuencia angular compleja, en radianes. por unidad de tiempo. Dada una descripción matemática o funcional simple de una entrada o salida a un sistema, la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de analizar el comportamiento del sistema, o en la síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones.

La transformada de Laplace lleva el nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon Laplace, quien utilizó una transformada similar (ahora llamada transformada z) en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad. El uso generalizado actual de la transformación se produjo poco después de la Segunda Guerra Mundial, aunque había sido utilizado en el siglo XIX por Abel, Lerch, Heaviside, Bromwich. La historia anterior de transformaciones similares es la siguiente. Desde 1744, Leonhard Euler investigó integrales de la forma

(z = int X (x) e ^, dx quad text quad z = int X (x) x ^ A , dx )

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó mucho en el tema. [2] Joseph Louis Lagrange era un admirador de Euler y, en su trabajo sobre la integración de funciones de densidad de probabilidad, investigó expresiones de la forma

que algunos historiadores modernos han interpretado dentro de la teoría de la transformada de Laplace moderna. [3] [4]

Estos tipos de integrales parecen haber atraído la atención de Laplace por primera vez en 1782, donde seguía el espíritu de Euler al usar las integrales en sí mismas como soluciones de ecuaciones. [5] Sin embargo, en 1785, Laplace dio el paso crítico cuando, en lugar de buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformaciones en el sentido que luego se popularizaría. Usó una integral de la forma:

similar a una transformada de Mellin, transformar la totalidad de una ecuación en diferencias, para buscar soluciones de la ecuación transformada. Luego pasó a aplicar la transformada de Laplace de la misma manera y comenzó a derivar algunas de sus propiedades, comenzando a apreciar su poder potencial. [6]

Laplace también reconoció que el método de Joseph Fourier de series de Fourier para resolver la ecuación de difusión solo podía aplicarse a una región limitada del espacio ya que las soluciones eran periódicas. En 1809, Laplace aplicó su transformada para encontrar soluciones que se difundieran indefinidamente en el espacio. [7]
Definicion formal

La transformada de Laplace de una función f (t), definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F (s), definida por:

El parámetro s es un número complejo:

(s = sigma + i omega, , ) con números reales σ y ω.

El significado de la integral depende de los tipos de funciones de interés. Una condición necesaria para la existencia de la integral es que f debe ser localmente integrable en [0, ∞). Para funciones localmente integrables que decaen en el infinito o son de tipo exponencial, la integral puede entenderse como una integral de Lebesgue (propia). Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarlo como una integral impropia condicionalmente convergente en ∞. De manera aún más general, la integral puede entenderse en un sentido débil, y esto se trata a continuación.

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida finita de Borel μ mediante la integral de Lebesgue [8]

Un caso especial importante es donde μ es una medida de probabilidad o, incluso más específicamente, la función delta de Dirac. En cálculo operacional, la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida procediera de una función de distribución ƒ. En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe

donde el límite inferior de 0− es una notación abreviada para

Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada por completo por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar ese límite, sí aparece de forma más natural en conexión con la transformada de Laplace-Stieltjes.
Teoría de probabilidad

En probabilidad pura y aplicada, la transformada de Laplace se define mediante un valor esperado. Si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad ƒ, entonces la transformada de Laplace de ƒ está dada por la expectativa

Por abuso del lenguaje, esto se conoce como la transformada de Laplace de la propia variable aleatoria X. Reemplazar s por −t da la función generadora de momentos de X. La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de la probabilidad, incluidos los tiempos de primer paso de procesos estocásticos como las cadenas de Markov y la teoría de renovación.
Transformada bilateral de Laplace
Artículo principal: Transformada de Laplace de dos caras

Cuando se dice "la transformada de Laplace" sin calificar, normalmente se pretende la transformada unilateral o unilateral. La transformada de Laplace se puede definir alternativamente como la transformada de Laplace bilateral o la transformada de Laplace de dos lados ampliando los límites de integración para que sea el eje real completo. Si se hace eso, la transformada unilateral común simplemente se convierte en un caso especial de la transformada bilateral donde la definición de la función que se está transformando se multiplica por la función escalón de Heaviside.

La transformada de Laplace bilateral se define de la siguiente manera:

Transformada inversa de Laplace
Para obtener más detalles sobre este tema, consulte Transformada de Laplace inversa.

La transformada inversa de Laplace viene dada por la siguiente integral compleja, que se conoce con varios nombres (la integral de Bromwich, la integral de Fourier-Mellin y la fórmula inversa de Mellin):

donde gamma es un número real de modo que la trayectoria de integración del contorno está en la región de convergencia de F (s). Una fórmula alternativa para la transformada inversa de Laplace viene dada por la fórmula de inversión de Post.
Región de convergencia

Si f es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace F (s) de f converge siempre que el límite

existe. La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral

existe (como una integral de Lebesgue propiamente dicha). La transformada de Laplace generalmente se entiende como condicionalmente convergente, lo que significa que converge en el primer sentido en lugar del segundo.

El conjunto de valores para los que F (s) converge absolutamente es de la forma Re & gt a o bien Re ≥ a, donde a es una constante real extendida, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Esto se deriva del teorema de la convergencia dominada). La constante a se conoce como la abscisa de la convergencia absoluta y depende del comportamiento de crecimiento de ƒ (t). [9] De manera análoga, la transformada de dos lados converge absolutamente en una franja de la forma a & lt Re & lt b, y posiblemente incluyendo las líneas Re = a o Re = b. [10] El subconjunto de valores de s para el cual la transformada de Laplace converge absolutamente se llama región de convergencia absoluta o dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos caras, a veces se le llama franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta.

De manera similar, el conjunto de valores para los que F (s) converge (condicional o absolutamente) se conoce como la región de convergencia condicional, o simplemente la región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en s = s0, entonces converge automáticamente para todos los s con Re & gt Re. Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma Re & gt a, posiblemente incluyendo algunos puntos de la línea límite Re = a. En la región de convergencia Re & gt Re, la transformada de Laplace de ƒ se puede expresar integrando por partes como la integral

Es decir, en la región de convergencia F (s) puede expresarse efectivamente como la transformada de Laplace absolutamente convergente de alguna otra función. En particular, es analítico.

Existe una variedad de teoremas, en forma de teoremas de Paley-Wiener, relacionados con la relación entre las propiedades de desintegración de f y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.

En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada acotada produce una salida acotada. Esto es equivalente a la convergencia absoluta de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso en la región Re ≥ 0. Como resultado, los sistemas LTI son estables siempre que los polos de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso tengan parte real negativa.
Propiedades y teoremas

La transformada de Laplace tiene una serie de propiedades que la hacen útil para analizar sistemas dinámicos lineales. La ventaja más significativa es que la diferenciación y la integración se convierten en multiplicación y división, respectivamente, por s (de manera similar a los logaritmos que cambian la multiplicación de números por la suma de sus logaritmos). Debido a esta propiedad, la variable de Laplace s también se conoce como variable de operador en el dominio L: ya sea operador derivado o (para s − 1) operador de integración. La transformada convierte ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales en ecuaciones polinómicas, que son mucho más fáciles de resolver. Una vez resuelto, el uso de la transformada inversa de Laplace vuelve al dominio del tiempo.

Dadas las funciones f (t) y g (t), y sus respectivas transformadas de Laplace F (s) y G (s):

la siguiente tabla es una lista de propiedades de la transformada de Laplace unilateral: [11]

Propiedades de la transformada unilateral de Laplace
Dominio del tiempo dominio 's' Comentario
Linealidad (una f (t) + segundo g (t) ) (a F (s) + b G (s) ) Puede demostrarse utilizando reglas básicas de integración.
Diferenciación de frecuencia (t f (t) ) (- F '(s) ) (F ', ) es la primera derivada de (F , )
Diferenciación de frecuencia (t ^ f (t) ) ( -1)^ F ^ <(n)> (s) ) Forma más general, norte ésima derivada de F (s).
Diferenciación (f '(t) ) (F (s) - f (0) ) ƒ se supone que es una función diferenciable, y se supone que su derivada es de tipo exponencial. Esto luego se puede obtener mediante la integración por partes
Segunda diferenciación (f '' (t) ) (s ^ 2 F (s) - s f (0) - f '(0) ) ƒ se supone que es dos veces diferenciable y que la segunda derivada es de tipo exponencial. Sigue aplicando la propiedad de diferenciación a (f '(t) , )
Diferenciación general (f ^ <(n)> (t) ) (s ^ n F (s) - s ^ f (0) - cdots - f ^ <(n - 1)> (0) ) ƒ se supone que es norte-veces diferenciables, con norte derivada de tipo exponencial. Siga por inducción matemática.
Integración de frecuencia ( frac ) ( int_s ^ infty F ( sigma) , d sigma )
Integración ( int_0 ^ t f ( tau) , d tau = (u * f) (t) ) (<1 sobre s> F (s) u (t) ) (u (t) ) es la función de paso de Heaviside. Nota ((u * f) (t) ) es la convolución de (u (t) ) y (f (t) )
Escala de tiempo ( grasa) ) ( frac <1> <| a |> F left ( derecho ))
Cambio de frecuencia (e ^ f (t) ) (F (s - a) )
Cambio de hora (f (t - a) u (t - a) ) (e ^ <-as> F (s) ) (u (t) ) es la función de paso de Heaviside
Multiplicación (f (t) g (t) ) ( frac <1> <2 pi i> lim_En t_^F ( sigma) G (s- sigma) , d sigma ) la integración se realiza a lo largo de la línea vertical (Re ( sigma) = c ) que se encuentra completamente dentro de la región de convergencia de F. [12]
Circunvolución ( (f * g) (t) = int_0 ^ t f ( tau) g (t- tau) , d tau) (F (s) cdot G (s) ) ƒ(t) y gramo(t) se amplían en cero para t & lt 0 en la definición de convolución.
Conjugación compleja (f ^ * (t) ) (F ^ * (s ^ *) )
Correlación cruzada (f (t) star g (t) ) (F ^ * (- s ^ *) cdot G (s) )
Función periódica (f (t) ) (<1 over 1 - e ^ <-Ts>> int_0 ^ T e ^ <-st> f (t) , dt ) (f (t) ) es una función periódica del período (T ) de modo que (f (t) = f (t + T), forall t ge 0. ) Este es el resultado de la propiedad de desplazamiento temporal y la serie geométrica.

(f ( infty) = lim_ ), si todos los polos de sF (s) están en el semiplano izquierdo.
El teorema del valor final es útil porque da el comportamiento a largo plazo sin tener que realizar descomposiciones de fracciones parciales u otro álgebra difícil. Si los polos de una función están en el plano de la derecha (por ejemplo, e ^ t o sin (t)), el comportamiento de esta fórmula no está definido.

Prueba de la transformada de Laplace de la derivada de una función

A menudo es conveniente utilizar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para encontrar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica para una transformada de Laplace de la siguiente manera:

y en el caso bilateral,

donde fn es la n-ésima derivada de f, se puede establecer con un argumento inductivo.
Evaluar integrales impropias

Deje ( mathcalizquierda= F (s), ) luego (ver la tabla de arriba)

Dejando (s a 0, ) obtenemos la identidad

Otro ejemplo es la integral de Dirichlet.
Relación con otras transformaciones
Transformada de Laplace-Stieltjes

La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función g: R → R está definida por la integral de Lebesgue-Stieltjes

Se supone que la función g es de variación acotada. Si g es la antiderivada de ƒ:

entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de gy la transformada de Laplace de f coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a g. Entonces, en la práctica, la única distinción entre las dos transformadas es que se piensa que la transformada de Laplace opera en la función de densidad de la medida, mientras que se piensa que la transformada de Laplace-Stieltjes opera en su función de distribución acumulativa. [13]
Transformada de Fourier

La transformada de Fourier continua es equivalente a evaluar la transformada de Laplace bilateral con el argumento imaginario s = iω o s = 2πfi:

Esta expresión excluye el factor de escala (1 / sqrt <2 pi> ), que a menudo se incluye en las definiciones de la transformada de Fourier. Esta relación entre las transformadas de Laplace y Fourier se usa a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o sistema dinámico.

La relación anterior es válida como se indica si y solo si la región de convergencia (ROC) de F (s) contiene el eje imaginario, σ = 0. Por ejemplo, la función f (t) = cos (ω0t) tiene una transformada de Laplace F (s) = s / (s2 + ω02) cuya ROC es Re (s) & gt 0. Como s = iω es un polo de F (s), sustituir s = iω en F (s) no produce la transformada de Fourier de f (t) u (t), que es proporcional a la función delta de Dirac δ (ω-ω0).

Sin embargo, una relación de la forma

se mantiene en condiciones mucho más débiles. Por ejemplo, esto es válido para el ejemplo anterior siempre que el límite se entienda como un límite débil de medidas (ver topología imprecisa). Las condiciones generales que relacionan el límite de la transformada de Laplace de una función en el límite con la transformada de Fourier toman la forma de los teoremas de Paley-Wiener.
Transformada de Mellin

La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada de Laplace de dos lados mediante un simple cambio de variables. Si en la transformación de Mellin

establecemos θ = e-t obtenemos una transformada de Laplace de dos lados.
Transformada Z

La transformada Z unilateral o unilateral es simplemente la transformada de Laplace de una señal muestreada idealmente con la sustitución de

donde (T = 1 / f_s ) es el período de muestreo (en unidades de tiempo, por ejemplo, segundos) y (f_s ) es la frecuencia de muestreo (en muestras por segundo o hercios)

ser un tren de impulsos de muestreo (también llamado peine de Dirac) y

( empezar x_q (t) y amp stackrel < mathrm> <=> x (t) Delta_T (t) = x (t) sum_^ delta(t - n T) & = sum_^ x(n T) delta(t - n T) = sum_^ x[n] delta(t - n T) end )

be the continuous-time representation of the sampled ( x(t) )

( x[n] stackrel><=> x(nT) ) are the discrete samples of ( x(t) ) .

The Laplace transform of the sampled signal x_q(t) is

( egin X_q(s) & = int_<0^->^infty x_q(t) e^ <-s t>,dt & = int_<0^->^infty ( sum_^infty x[n] delta(t - n T) e^ <-s t>, dt & = sum_^infty x[n] int_<0^->^infty ( delta(t - n T) e^ <-s t>, dt & = sum_^infty x[n] e^<-n s T>. final )

This is precisely the definition of the unilateral Z-transform of the discrete function ( x[n] )

with the substitution of z leftarrow ( e^ . )

Comparing the last two equations, we find the relationship between the unilateral Z-transform and the Laplace transform of the sampled signal:

The similarity between the Z and Laplace transforms is expanded upon in the theory of time scale calculus.
Borel transform

The integral form of the Borel transform

is a special case of the Laplace transform for ƒ an entire function of exponential type, meaning that

for some constants A and B. The generalized Borel transform allows a different weighting function to be used, rather than the exponential function, to transform functions not of exponential type. Nachbin's theorem gives necessary and sufficient conditions for the Borel transform to be well defined.
Fundamental relationships

Since an ordinary Laplace transform can be written as a special case of a two-sided transform, and since the two-sided transform can be written as the sum of two one-sided transforms, the theory of the Laplace-, Fourier-, Mellin-, and Z-transforms are at bottom the same subject. However, a different point of view and different characteristic problems are associated with each of these four major integral transforms.
Table of selected Laplace transforms

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable[14][15]. For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table.

Because the Laplace transform is a linear operator:

The Laplace transform of a sum is the sum of Laplace transforms of each term.

The Laplace transform of a multiple of a function is that multiple times the Laplace transformation of that function.

Using this linearity, and various trigonometric, hyperbolic, and Complex number (etc.) properties and/or identities, some Laplace transforms can be obtained from others quicker than by using the definition directly.

The unilateral Laplace transform takes as input a function whose time domain is the non-negative reals, which is why all of the time domain functions in the table below are multiples of the Heaviside step function, u(t). The entries of the table that involve a time delay τ are required to be causal (meaning that τ > 0). A causal system is a system where the impulse response h(t) is zero for all time t prior to t = 0. In general, the region of convergence for causal systems is not the same as that of anticausal systems.

  • ( u(t) ,) represents the Heaviside step function.
  • ( delta(t) ,) represents the Dirac delta function.
  • ( Gamma (z) ,) represents the Gamma function.
  • ( gamma ,) is the Euler–Mascheroni constant.
  • ( t , ), a real number, typically represents hora,
    although it can represent alguna independent dimension.
  • (s , ) is the complex angular frequency, and ( extrm < s >) is its real part.
  • ( alpha ,), ( eta , ), ( au , ), and (omega , ) are real numbers.
  • ( n) is an integer.

s-Domain equivalent circuits and impedances

The Laplace transform is often used in circuit analysis, and simple conversions to the s-Domain of circuit elements can be made. Circuit elements can be transformed into impedances, very similar to phasor impedances.

Here is a summary of equivalents:

Note that the resistor is exactly the same in the time domain and the s-Domain. The sources are put in if there are initial conditions on the circuit elements. For example, if a capacitor has an initial voltage across it, or if the inductor has an initial current through it, the sources inserted in the s-Domain account for that.

The equivalents for current and voltage sources are simply derived from the transformations in the table above.
Examples: How to apply the properties and theorems

The Laplace transform is used frequently in engineering and physics the output of a linear time invariant system can be calculated by convolving its unit impulse response with the input signal. Performing this calculation in Laplace space turns the convolution into a multiplication the latter being easier to solve because of its algebraic form. For more information, see control theory.

The Laplace transform can also be used to solve differential equations and is used extensively in electrical engineering. The Laplace transform reduces a linear differential equation to an algebraic equation, which can then be solved by the formal rules of algebra. The original differential equation can then be solved by applying the inverse Laplace transform. The English electrical engineer Oliver Heaviside first proposed a similar scheme, although without using the Laplace transform and the resulting operational calculus is credited as the Heaviside calculus.
Example 1: Solving a differential equation

In nuclear physics, the following fundamental relationship governs radioactive decay: the number of radioactive atoms N in a sample of a radioactive isotope decays at a rate proportional to N. This leads to the first order linear differential equation

where λ is the decay constant. The Laplace transform can be used to solve this equation.

Rearranging the equation to one side, we have

Next, we take the Laplace transform of both sides of the equation:

( left( s ilde(s) - N_o ight) + lambda ilde(s) = 0 )

Finally, we take the inverse Laplace transform to find the general solution

which is indeed the correct form for radioactive decay.
Example 2: Deriving the complex impedance for a capacitor

In the theory of electrical circuits, the current flow in a capacitor is proportional to the capacitance and rate of change in the electrical potential (in SI units). Symbolically, this is expressed by the differential equation

where C is the capacitance (in farads) of the capacitor, i = i(t) is the electric current (in amperes) through the capacitor as a function of time, and v = v(t) is the voltage (in volts) across the terminals of the capacitor, also as a function of time.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain

( I(s) = C left( s V(s) - V_o ight) )

The definition of the complex impedance Z (in ohms) is the ratio of the complex voltage V divided by the complex current I while holding the initial state Vo at zero:

Using this definition and the previous equation, we find:

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor.
Example 3: Method of partial fraction expansion

Consider a linear time-invariant system with transfer function

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function:

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding H(s) using the method of partial fraction expansion:

The unknown constants P and R are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Each residue represents the relative contribution of that singularity to the transfer function's overall shape. By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. To find the residue P, we multiply both sides of the equation by s + α to get

Then by letting s = −α, the contribution from R vanishes and all that is left is

Similarly, the residue R is given by

and so the substitution of R and P into the expanded expression for H(s) gives

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Item #3 in the Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of H(s) to obtain:

which is the impulse response of the system.

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of 1/(s+a) and 1/(s+b). That is, the inverse of

Example 4: Mixing sines, cosines, and exponentials
Time function Laplace transform
( e^<-alpha t>left[cos<(omega t)>+left(frac<eta-alpha> ight)sin<(omega t)> ight]u(t) frac <(s+alpha)^2+omega^2>)

Starting with the Laplace transform

we find the inverse transform by first adding and subtracting the same constant α to the numerator:

By the shift-in-frequency property, we have

Finally, using the Laplace transforms for sine and cosine (see the table, above), we have

Starting with the Laplace transform,

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

We can apply similar logic to find that

Example 6: Inferring spatial structure of astronomical object from frequency spectrum

The wide and general applicability of the Laplace transform and its inverse is illustrated by an application in astronomy which provides some information on the spatial distribution of matter of an astronomical source of radiofrequency thermal radiation too distant to resolve as more than a point, given its flux density spectrum, rather than relating the time domain with the spectrum (frequency domain).

Assuming certain properties of the object, e.g. spherical shape and constant temperature, calculations based on carrying out an inverse Laplace transformation on the spectrum of the object can produce the only possible model of the distribution of matter in it (density as a function of distance from the center) consistent with the spectrum[18]. When independent information on the structure of an object is available, the inverse Laplace transform method has been found to be in good agreement.
See also

Pierre-Simon Laplace
Laplace transform applied to differential equations
Moment-generating function
Z-transform (discrete equivalent of the Laplace transform)
Fourier transform
Sumudu transform or Laplace–Carson transform
Analog signal processing
Continuous-repayment mortgage
Hardy–Littlewood tauberian theorem
Bernstein's theorem on monotone functions
Symbolic integration

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Laplace Transform



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Calculating a Laplace Transform
The definition of the Laplace Transform and use it to find the Laplace Transform of f(t) = e t .

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Laplace Transform of Function cos ωt is

Laplace Transform of cosine wave Function cos ωt is:

  1. s/( s 2 + ω 2 )
  2. s/( s 2 – ω 2 )
  3. ω/( s 2 + ω 2 )
  4. ω/( s 2 – ω 2 )

Correct answer: 1. s/( s 2 + ω 2 )

Laplace Transform of cos Function cos ωt is s/( s 2 + ω 2 )


Ver el vídeo: 6 Resolución de ecuaciones diferenciales de orden dos, mediante transformada de Laplace. (Enero 2022).