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Prefacio - Matemáticas


Este es un texto para un curso de dos semestres en análisis real introductorio para estudiantes de matemáticas de tercer o cuarto año y estudiantes de ciencias con un interés serio en las matemáticas. Los futuros educadores o estudiantes de secundaria dotados en matemáticas también pueden beneficiarse de la madurez matemática que se puede obtener de un curso introductorio de análisis real.

El libro está diseñado para llenar los vacíos que quedan en el desarrollo del cálculo tal como se presenta generalmente en un curso elemental, y para proporcionar los antecedentes necesarios para comprender los cursos más avanzados de matemáticas puras y aplicadas. La secuencia de cálculo elemental estándar es el único prerrequisito específico para los capítulos 1 a 5, que tratan con funciones con valores reales. (Sin embargo, otros cursos orientados al análisis, como ecuación diferencial elemental, también proporcionan una experiencia preparatoria útil.) Los capítulos ~ 6 y 7 requieren un conocimiento práctico de determinantes, matrices y transformaciones lineales, típicamente disponibles en un primer curso de álgebra lineal. Se puede acceder al Capítulo ~ 8 después de completar los Capítulos ~ 1–5.

Sin tomar una posición a favor o en contra de las reformas actuales en la enseñanza de las matemáticas, creo que es justo decir que la transición de cursos elementales como cálculo, álgebra lineal y ecuaciones diferenciales a un curso de análisis real riguroso es un paso más grande hoy de lo que parece. fue hace solo unos años. Para dar este paso, los estudiantes de hoy necesitan más ayuda que sus predecesores, y deben ser entrenados y alentados más. Por lo tanto, mientras me esforcé por mantener un alto nivel de rigor, he tratado de escribir de la manera más clara e informal posible. En este sentido, me parece útil dirigirme al alumno en segunda persona. He incluido 295 ejemplos completamente resueltos para ilustrar y aclarar todos los teoremas y definiciones principales.

He enfatizado enunciados cuidadosos de definiciones y teoremas y he tratado de ser completo y detallado en las demostraciones, excepto por omisiones dejadas para los ejercicios. Doy un tratamiento completo de las funciones con valores reales antes de considerar las funciones con valores vectoriales. Al hacer la transición de una a varias variables y de funciones con valores reales a funciones con valores vectoriales, le dejé al estudiante algunas demostraciones que son esencialmente repeticiones de teoremas anteriores. Creo que trabajar con los detalles de generalizaciones sencillas de resultados más elementales es una buena práctica para el estudiante.

  • El capítulo 1 se ocupa del sistema de números reales. La sección ~ 1.1 comienza con una breve discusión de los axiomas para un campo ordenado completo, pero no se intenta desarrollar los reales a partir de ellos; más bien, se asume que el estudiante está familiarizado con las consecuencias de estos axiomas, excepto por una: integridad. Dado que la diferencia entre un tratamiento riguroso y no riguroso del cálculo puede describirse en gran medida en términos de la actitud adoptada hacia la completitud, he dedicado un esfuerzo considerable a desarrollar sus consecuencias. La sección ~ 1.2 trata sobre la inducción. Aunque esto puede parecer fuera de lugar en un curso de análisis real, he descubierto que el típico estudiante principiante de análisis real simplemente no puede hacer una prueba de inducción sin revisar el método. La sección ~ 1.3 está dedicada a la teoría de conjuntos elemental y la topología de la línea real, terminando con los teoremas de Heine-Borel y Bolzano-Weierstrass.
  • El capítulo ~ 2 cubre el cálculo diferencial de funciones de una variable: límites, continuidad, diferenciabilidad, regla de L'Hospital y teorema de Taylor. El énfasis está en la presentación rigurosa de los principios; no se intenta desarrollar las propiedades de funciones elementales específicas. Aunque esto puede no hacerse con rigor en la mayoría de los cursos de cálculo contemporáneos, creo que es mejor invertir el tiempo del estudiante en principios que en restablecer fórmulas y relaciones familiares.
  • El capítulo ~ 3 está dedicado a la integral de Riemann de funciones de una variable. En la sección ~ 3.1, la integral se define de la manera estándar en términos de sumas de Riemann. Las integrales superior e inferior también se definen allí y se utilizan en la Sección ~ 3.2 para estudiar la existencia de la integral. La sección ~ 3.3 está dedicada a las propiedades de la integral. Las integrales impropias se estudian en la Sección ~ 3.4. Creo que mi tratamiento de las integrales impropias es más detallado que en la mayoría de los libros de texto comparables. En la sección ~ 3.5 se da una mirada más avanzada a la existencia de la integral de Riemann adecuada, que concluye con el criterio de existencia de Lebesgue. Esta sección se puede omitir sin comprometer la preparación del estudiante para las secciones posteriores.
  • El capítulo ~ 4 trata las secuencias y las series. Las secuencias de constantes se analizan en la Sección ~ 4.1. He optado por hacer que los conceptos de límite inferior y límite superior sean partes de este desarrollo, principalmente porque esto permite una mayor flexibilidad y generalidad, con poco esfuerzo extra, en el estudio de series infinitas. La sección ~ 4.2 proporciona una breve introducción a la forma en que se pueden estudiar la continuidad y la diferenciabilidad por medio de secuencias. Las secciones ~ 4.3–4.5 tratan series infinitas de constantes, secuencias y series infinitas de funciones y series de potencias, nuevamente con mayor detalle que en la mayoría de los libros de texto comparables. El instructor que opte por no cubrir estas secciones por completo puede omitir los temas menos estándar sin perder en las secciones posteriores.
  • El capítulo ~ 5 está dedicado a las funciones de valor real de varias variables. Comienza con una discusión de la topología de ( mathbb {R} ^ {n} ) en la Sección ~ 5.1. La continuidad y la diferenciabilidad se discuten en las Secciones ~ 5.2 y 5.3. La regla de la cadena y el teorema de Taylor se analizan en la sección ~ 5.4.
  • El capítulo ~ 6 cubre el cálculo diferencial de funciones con valores vectoriales de varias variables. En la sección ~ 6.1 se revisan las matrices, los determinantes y las transformaciones lineales, que son partes integrales del cálculo diferencial como se presenta aquí. En la sección ~ 6.2, el diferencial de una función con valores vectoriales se define como una transformación lineal y la regla de la cadena se analiza en términos de la composición de tales funciones. El teorema de la función inversa es el tema de la sección ~ 6.3, donde se introduce la noción de ramas de una inversa. En la Sección ~ 6.4. el teorema de la función implícita está motivado considerando primero las transformaciones lineales y luego enunciado y probado en general.
  • El capítulo ~ 7 cubre el cálculo integral de funciones de valor real de varias variables. Las integrales múltiples se definen en la Sección ~ 7.1, primero sobre paralelepípedos rectangulares y luego sobre conjuntos más generales. La discusión trata de la integral múltiple de una función cuyas discontinuidades forman un conjunto de contenido de Jordan cero. La sección ~ 7.2 trata de la evaluación mediante integrales iteradas. La sección ~ 7.3 comienza con la definición de la mensurabilidad de Jordan, seguida de una derivación de la regla para el cambio de contenido bajo una transformación lineal, una formulación intuitiva de la regla para el cambio de variables en integrales múltiples y, finalmente, un enunciado cuidadoso y una prueba de la regla. La prueba es complicada, pero esto es inevitable.
  • El capítulo ~ 8 trata de los espacios métricos. El concepto y las propiedades de un espacio métrico se presentan en la Sección ~ 8.1. La sección ~ 8.2 discute la compacidad en un espacio métrico, y la sección ~ 8.3 discute funciones continuas en espacios métricos.

Las correcciones, matemáticas y tipográficas, son bienvenidas y se incorporarán cuando se reciban.


Prefacio Prefacio

Este texto tiene como objetivo dar una introducción a temas selectos en matemáticas discretas en un nivel apropiado para las especialidades de matemáticas de primer o segundo año de pregrado, especialmente aquellos que tienen la intención de enseñar matemáticas en la escuela media y secundaria. El libro comenzó como un conjunto de notas para el curso de Matemáticas Discretas de la Universidad del Norte de Colorado. Este curso sirve como una encuesta de los temas en matemáticas discretas y como el curso "puente" para los estudiantes de matemáticas, ya que UNC no ofrece un curso separado de "introducción a las pruebas". La mayoría de los estudiantes que toman el curso planean enseñar, aunque hay un puñado de estudiantes que pasarán a la escuela de posgrado o estudiarán matemáticas aplicadas o ciencias de la computación. Para estos estudiantes, es de esperar que el texto actual siga siendo de interés, pero la intención no es proporcionar una base matemática sólida para la informática, a diferencia de la mayoría de los libros de texto sobre el tema.

Otra diferencia entre este texto y la mayoría de los otros libros de matemáticas discretos es que este libro está diseñado para usarse en una clase que se enseñe utilizando métodos orientados a problemas o basados ​​en la investigación. Cuando enseño la clase, asignaré secciones para lectura. después primero presentándolos en clase usando una combinación de trabajo en grupo y discusión en clase sobre algunos problemas interesantes. El texto está destinado a consolidar lo que descubrir en clase y sirven como referencia para los estudiantes a medida que dominan los conceptos y técnicas cubiertos en la unidad. No obstante, se ha hecho todo lo posible para que el texto sea suficiente para el estudio personal, de una manera que, con suerte, imite un aula basada en la indagación.

Los temas cubiertos en este texto fueron elegidos para satisfacer las necesidades de los estudiantes que enseño en la UNC. Las principales áreas de estudio son combinatoria, secuencias, lógica y demostraciones, y teoría de grafos, en ese orden. La inducción se cubre al final del capítulo sobre secuencias. La mayoría de los libros discretos ponen la lógica en primer lugar como preliminar, lo que ciertamente tiene sus ventajas. Sin embargo, quería discutir la lógica y las pruebas juntas, y descubrí que hacer ambas cosas antes que cualquier otra cosa era abrumador para mis estudiantes dado que aún no tenían el contexto de otros problemas en la materia. Además, después de pasar un par de semanas en pruebas, difícilmente usaríamos eso cuando cubrimos la combinatoria, por lo que gran parte del progreso que hicimos se perdió rápidamente. En cambio, hay una breve sección de introducción sobre enunciados matemáticos, que debería proporcionar suficiente lenguaje común para discutir el contenido lógico de la combinatoria y las secuencias.

Dependiendo de la velocidad de la clase, podría ser posible incluir material adicional. En semestres pasados ​​he incluido funciones de generación (después de secuencias) y algo de teoría numérica básica (ya sea después del capítulo de lógica y pruebas o al final del curso). Estos temas adicionales se tratan en el último capítulo.

Si bien (actualmente) creo que esta selección y orden de temas es óptimo, debe sentirse libre de omitir lo que le interese. En ocasiones, hay ejemplos y ejercicios que se basan en material anterior, pero he tratado de mantenerlos al mínimo y, por lo general, se pueden omitir o comprender sin mucho estudio adicional. Si es un instructor, no dude en editar la fuente XML de L a T e X o Mathbook para que se adapte a sus necesidades.

Ediciones anteriores y futuras

Esta segunda edición actual trae algunas mejoras importantes, así como lotes de correcciones menores. Los aspectos más destacados incluyen:

  • Parte del material del capítulo 3 (sobre lógica) es ahora parte de una sección de introducción sobre enunciados matemáticos.
  • El contenido de la sección sobre funciones de conteo (anteriormente 1.7) ahora está integrado con el resto del capítulo 1.
  • Para acomodar a los instructores, se eliminaron algunas de las soluciones a los ejercicios, y los problemas más complicados de “tarea” se integraron en los ejercicios principales. Se agregaron nuevos ejercicios y ejemplos. Actualmente hay alrededor de 360 ​​ejercicios de los cuales aproximadamente 2/3 tienen soluciones o respuestas.
  • Detrás de escena, la fuente del texto pasó de L a T e X a Mathbook XML, lo que permite la conversión a L a T e X, así como la creación de una versión interactiva en línea.

El anterior Edición de otoño de 2015 fue esencialmente la primera edición del libro. Anteriormente había compilado muchas de las secciones en un formato de libro para facilitar la distribución, pero en su mayoría eran solo notas de clase y ejercicios (no había índices o problemas de investigación, muy poco en la forma de formato coherente).

Mi intención es compilar una nueva edición antes de cada semestre de otoño que incorpore adiciones y correcciones sugeridas por los instructores y estudiantes que usaron el texto los semestres anteriores. Por lo tanto, le animo a que envíe cualquier sugerencia y comentario que tenga.


MAT 112 Matemáticas antiguas y contemporáneas

Siguiendo la premisa de Kronecker, asumimos el conocimiento de los números enteros junto con las operaciones de suma (más), resta (menos) y multiplicación (veces).

Los humanos son curiosos y no se contentan con esto. Empiezan a hacer más preguntas sobre los números enteros. Con estas preguntas comienza el trabajo de los humanos y así comienza la matemática. Una pregunta natural que se debe hacer es: "¿Cuántos números enteros hay?" Encontramos que no podemos nombrar un número entero mayor, ya que cada vez que tenemos un candidato para el mayor número entero, podemos sumarle uno y así obtener un número entero mayor. Esto conduce al concepto de infinito. Los enteros positivos también exhiben la propiedad de que siempre podemos encontrar un entero positivo mayor. La siguiente pregunta es: "¿Hay infinitos números enteros positivos?" El trabajo de los humanos continúa en forma de proceso creativo. Se introduce una noción para colecciones de números (y otros objetos) que tienen el mismo "tamaño" (infinito). Con esa noción, hay tantos enteros positivos como enteros. Daremos los detalles sobre esto al final de la Parte II.


Lógica para las matemáticas y la informática

La lógica matemática ha sido, en buena parte, desarrollada y perseguida con la esperanza de proporcionar herramientas algorítmicas prácticas para hacer razonamientos, tanto en la vida cotidiana como en las matemáticas, primero por medios manuales o mecánicos, y luego por computadoras electrónicas. En este texto, la lógica tradicional elemental se presenta al lado de sus aspectos algorítmicos, es decir, la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden hasta la completitud y la compacidad, y los desarrollos en el teorema que demuestran que se inspiraron en las posibilidades de usar computadoras. Aquí nos referimos a la demostración del teorema de resolución de Robinson y al procedimiento de Knuth-Bendix para obtener sistemas de reescritura de términos, ambos usando la idea clave de unificación (más general).

Por lo tanto, consideramos que la elección de temas es importante y accesible para una amplia gama de estudiantes en las ciencias matemáticas. Estos temas son ricos en algoritmos básicos, lo que brinda a los estudiantes una experiencia práctica deseable. No se asume ningún antecedente en álgebra abstracta o análisis, sin embargo, el material es definitivamente lógica matemática, lógica para matemáticas e informática que se desarrolla y analiza utilizando métodos matemáticos.

Un tema simple es que en realidad existen varios sistemas de prueba autónomos de interés para la lógica matemática, algunos más adecuados que otros para tipos particulares de preguntas. Sin contar los silogismos de Aristóteles, los Capítulos 1-5 correspondientes a los cinco sistemas lógicos que consideramos, y el Capítulo 6 es la continuación del Capítulo 5.

El capítulo 1 revisa brevemente los silogismos de Aristóteles que dominaron la lógica durante dos milenios y luego presenta el trabajo de Boole sobre el álgebra de la lógica. El trabajo de Boole inauguró la lógica matemática moderna. Boole dijo que había reducido el razonamiento lógico al razonamiento sobre ecuaciones relativas a clases de objetos, y para este último empleó métodos análogos a los métodos bien conocidos de trabajar con ecuaciones en álgebra elemental. El álgebra de la lógica aplicada en el cálculo de clases fue la forma principal de lógica matemática durante medio siglo y atrajo a personas tan conocidas como Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas.

El capítulo 2 examina la lógica proposicional con considerable detalle. La lógica proposicional es similar al cálculo de clases, pero aquí el foco está en el razonamiento sobre proposiciones, no sobre clases de objetos. En los tratamientos modernos de la lógica matemática, ha reemplazado por completo el cálculo de clases, en buena parte porque proporciona un trampolín conveniente para el estudio de la lógica de primer orden (donde se le permite cuantificar sobre elementos). El cálculo de clases conduce más naturalmente al cálculo de relaciones. Luego, mediante la adición de cuantificadores sobre relaciones, se convierte esencialmente en una lógica de segundo orden. La lógica de segundo orden es bastante difícil de estudiar, ya que carece de un conjunto decente de axiomas y reglas de inferencia, por lo que tendremos poco que decir al respecto.

Después de estudiar la noción de verdad y equivalencia de verdad en la lógica proposicional, examinamos PC, un sistema de prueba al estilo de Frege-Hilbert. PC está diseñado para que sea razonablemente fácil de aprender y trabajar, y para proporcionar muchos ejercicios sencillos a los estudiantes. Está relacionado con el sistema RS (Sistema de Rosser) utilizado por Copi en su texto `` Lógica simbólica '', un sistema que derivó del trabajo anterior de Rosser. Sin embargo, PC es significativamente diferente de RS ya que no se basa en la deducción natural y tiene un axioma de reemplazo muy restringido.

A continuación, examinamos una versión de resolución de la lógica proposicional porque la demostración del teorema de resolución es un pilar de la demostración automatizada moderna de teoremas. Se explican tanto el algoritmo de Davis-Putnam como la demostración del teorema de resolución general. El capítulo concluye con ejemplos de conjuntos de cláusulas que se han utilizado para mostrar limitaciones a la velocidad de demostración del teorema de resolución general.

Estas notas son inusuales por el detalle con el que miran la lógica proposicional. Esta elección se ha hecho porque la lógica proposicional es un buen campo de entrenamiento para los estudiantes. Y también porque es un área de interés en la demostración de teoremas automatizados modernos, por dos razones. Primero, el trabajo de L & # 246wenheim, Skolem y Herbrand demostró que se puede reducir cualquier pregunta matemática a una pregunta sobre la satisfacibilidad de una secuencia de fórmulas proposicionales que se pueden generar algorítmicamente a partir de la pregunta matemática. Veremos cómo hacer esto en el capítulo 5. Y la segunda razón es que los problemas bastante modestos en lógica proposicional pueden ser muy difíciles para las computadoras. (Esto está directamente relacionado con la pregunta abierta pendiente de si el tiempo polinomial es o no lo mismo que el tiempo polinomial no determinista, es decir, ¿P = NP?)

El capítulo 3 pasa a la lógica de las ecuaciones. Razonar con ecuaciones es una de las habilidades más básicas que aprendemos en matemáticas. Y, como ya se mencionó, el cálculo de clases de Boole se basó en el razonamiento sobre ecuaciones. En este capítulo, primero mostramos que las reglas que uno aprende en la escuela secundaria son todo lo que necesita para hacer pruebas con ecuaciones. Esto fue probado rigurosamente por primera vez por G. Birkhoff a mediados de la década de 1930. Sin embargo, desde el punto de vista computacional, esto no es particularmente útil para encontrar una prueba de que una ecuación se sigue de algunas otras ecuaciones. Esto nos lleva al estudio de los sistemas de reescritura de términos, una propuesta de Knuth de utilizar "ecuaciones dirigidas" para acelerar la búsqueda de demostraciones en lógica ecuacional. En esta sección aprendemos uno de los algoritmos fundamentales de la demostración automatizada de teoremas, a saber, cómo encontrar el unificador más general de dos términos. Esto luego se usa en el procedimiento de Knuth-Bendix, un procedimiento para convertir ecuaciones en ecuaciones dirigidas.

El capítulo 4 analiza el teorema de resolución que demuestra la lógica de la cláusula de predicado según lo desarrolló Robinson a mediados de la década de 1960. Su objetivo era cortocircuitar el método de L & # 246wenheim, Skolem y Herbrand deteniéndose en un paso intermedio de su procedimiento (para reducir un enunciado matemático a una secuencia de fórmulas proposicionales), es decir, en un paso en el que se tienen cláusulas, y luego aplique resolución a las cláusulas para llegar a la prueba deseada. Fue en este trabajo que Robinson utilizó la mayoría de los unificadores generales, también empleados por Knuth unos años más tarde en su trabajo sobre sistemas de reescritura de términos. Uno de los lenguajes de programación lógica más conocidos, Prolog, incorpora la demostración del teorema de resolución.

El capítulo 5 vuelve a la lógica tradicional de primer orden. Hay una introducción pausada a la expresión de ideas matemáticas en lógica de primer orden en dos contextos familiares, a saber, el de los números naturales y el de los gráficos. Luego se formula la lógica general de primer orden, se estudian las equivalencias fundamentales y se da el método de poner una fórmula en forma prenex. A continuación, sigue la técnica crucial de la skolemización, un procedimiento para convertir una fórmula en una fórmula libre de cuantificadores estrechamente relacionada. Skolemization proporciona la herramienta final necesaria para formular el método de L & # 246wenheim, Skolem y Herbrand de reducir una oración de primer orden a un conjunto de cláusulas para la demostración del teorema de resolución, así como a una secuencia de fórmulas proposicionales. Estas reducciones llevan a la conclusión de que cualquiera de estos sistemas es teóricamente adecuado para abordar problemas de alto rendimiento en matemáticas.

En todos los sistemas de prueba presentados aquí estamos interesados ​​en formular un conjunto simple de axiomas y reglas de inferencia para probar teoremas, y hacemos un punto especial en cada caso de probar la solidez, es decir, que los axiomas son verdaderos y las reglas conducen para corregir las conclusiones y la completitud, es decir, que tenemos suficientes axiomas y reglas para probar todos los teoremas de la lógica en consideración. Las demostraciones de completitud tienden a ser bastante diferentes en los diferentes sistemas de prueba, siendo el teorema de completitud de G & # 246del para la lógica de primer orden el más difícil.

El capítulo 6 proporciona una demostración detallada del teorema de completitud de G & # 246del para un sistema de prueba de primer orden en particular, utilizando la técnica de Henkin de sumar fórmulas testigo. Para mayor claridad, a cada paso clave de la prueba se le asigna su propia sección.

Otra característica común de estas lógicas es que tienen un teorema de compacidad. La compacidad básicamente dice que algo se mantiene en una situación infinita si si se mantiene en sus partes finitas, por ejemplo, un gráfico infinito es 3-coloreable si cada subgrafo finito es 3-coloreable. Los teoremas de compacidad se derivan fácilmente de los teoremas de completitud. Sin embargo, nuestro enfoque también muestra que uno puede simplemente arrancar el teorema de la compacidad de la lógica proposicional a la lógica de la cláusula de predicado a la lógica de primer orden. Esta secuencia proporciona una prueba bastante simple de compacidad para la lógica de primer orden.

Hay cuatro apéndices. El Apéndice A ofrece un calendario simple para el desarrollo de la lógica matemática y la computación. El Apéndice B es una hoja de trabajo que detalla los pasos en un desarrollo lógico de los números naturales a partir de los axiomas de Peano. Me gusta que mis estudiantes estén familiarizados con este trabajo clásico antes de graduarse, y es una excelente revisión de la inducción matemática. Por lo general, doy una parte de esto en la primera asignación del problema. El Apéndice C tiene sugerencias explícitas para escribir definiciones y demostraciones por inducción sobre fórmulas proposicionales. El Apéndice D es otra hoja de trabajo, que proporciona una prueba detallada de la integridad del elegante sistema de prueba proposicional de Frege y Lukasiewicz.

Hay un recurso de notación utilizado en este texto que no es tan común, a saber, el uso de dos símbolos para la igualdad y =. Comenzando con el Capítulo 3, Lógica de ecuaciones, usamos el primer símbolo cuando trabajamos con ecuaciones en un sistema lógico particular, y el último en cualquier contexto para significar "es lo mismo que". Por ejemplo, la expresión debe leerse: F (x, y) es la ecuación.

Estas notas han sido diseñadas para brindar al estudiante una comprensión de las ideas más básicas de la lógica matemática, a saber, una introducción a la sintaxis y semántica de los sistemas formales de prueba, integridad y compacidad, así como conexiones significativas con la demostración automatizada de teoremas. Esperamos que esta introducción y los comentarios históricos hechos a lo largo de las notas ayuden al lector a ver el desarrollo natural de las ideas.

El lector encontrará texto complementario y acceso al software en el sitio World Wide Web:


Los principios de las matemáticas (1903)

El presente trabajo tiene dos objetivos principales. Uno de ellos, la prueba de que toda la matemática pura trata exclusivamente con conceptos definibles en términos de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones son deducibles de un número muy pequeño de principios lógicos fundamentales, se aborda en la Parte I. –VII. de este Volumen, y se establecerá mediante un estricto razonamiento simbólico en el Volumen II. La demostración de esta tesis tiene, si no me equivoco, toda la certeza y precisión de que son capaces las demostraciones matemáticas. Como la tesis es muy reciente entre los matemáticos, y los filósofos la niegan casi universalmente, me he propuesto, en este volumen, defender sus diversas partes cuando surgiera la ocasión, contra las teorías adversas que parecían más ampliamente aceptadas o más difíciles de refutar. También me he esforzado por presentar, en un lenguaje lo menos técnico posible, las etapas más importantes de las deducciones mediante las cuales se establece la tesis (Prefacio ¶ 1).

El otro objeto de este trabajo, que ocupa la Parte I., es la explicación de los conceptos fundamentales que las matemáticas aceptan como indefinibles. Ésta es una tarea puramente filosófica, y no puedo jactarme de haber hecho más que indicar un vasto campo de investigación y dar una muestra de los métodos mediante los cuales se puede realizar la investigación. La discusión de los indefinibles - que forma la parte principal de la lógica filosófica - es el esfuerzo por ver claramente, y hacer que otros vean claramente, las entidades involucradas, a fin de que la mente pueda tener ese tipo de conocimiento con ellas que ha tenido. con enrojecimiento o sabor a piña. Cuando, como en el caso presente, lo indefinible se obtiene principalmente como el residuo necesario en un proceso de análisis, a menudo es más fácil saber que debe haber tales entidades que percibirlas realmente, hay un proceso análogo al que resultó. en el descubrimiento de Neptuno, con la diferencia de que la etapa final, la búsqueda con un telescopio mental de la entidad que se ha inferido, es a menudo la parte más difícil de la empresa. En el caso de las clases, debo confesar, no he podido percibir ningún concepto que cumpliera las condiciones requeridas para la noción de clase . Y la contradicción discutida en el Capítulo X prueba que algo anda mal, pero hasta ahora no he podido descubrir qué es esto (Prefacio ¶ 2).

El segundo volumen, en el que he tenido la gran suerte de conseguir la colaboración del señor AN Whitehead, estará dirigido exclusivamente a matemáticos y contendrá cadenas de deducciones, desde las premisas de la lógica simbólica pasando por la aritmética, finita e infinita, hasta la geometría. , en un orden similar al adoptado en el presente volumen, también contendrá varios desarrollos originales, en los que el método del profesor Peano, complementado por la Lógica de las relaciones, se ha mostrado como un poderoso instrumento de investigación matemática (Prefacio ¶ 3 )

El presente volumen, que puede considerarse como un comentario o como una introducción al segundo volumen, está dirigido en igual medida al filósofo y al matemático, pero algunas partes serán más interesantes para uno, otras para el otro. . Debo aconsejar a los matemáticos, a menos que estén especialmente interesados ​​en la lógica simbólica, que comiencen con la Parte IV y solo se refieran a las partes anteriores cuando surja la ocasión. Las siguientes porciones son más especialmente filosóficas: Parte I. (omitiendo el Capítulo II.) Parte II., Capítulos XI., XV., XVI., XVII. Parte III. Parte IV., § 207, Capítulos XXVI., XXVII., XXXI. Parte V., Capítulos LII., LIV., LV., LVII., LVIII. y los dos Apéndices, que pertenecen a la Parte I., y deben leerse en relación con ella. El trabajo del profesor Frege, que se anticipa en gran medida al mío, me era desconocido en su mayor parte cuando comenzó la impresión del presente trabajo. Había visto su Grundgesetze der Arithmetik, pero, debido a la gran dificultad de su simbolismo, no había logrado comprender su importancia o para comprender su contenido. El único método, en una etapa tan tardía, de hacer justicia a su trabajo, era dedicarle un Apéndice y en algunos puntos las opiniones contenidas en el Apéndice difieren de las del Capítulo VI., Especialmente en los §§ 71, 73, 74. Sobre las preguntas discutidas en estas secciones, descubrí errores después de pasar las hojas para la prensa estos errores, de los cuales el principal es la negación de la clase nula, y la identificación de un término con la clase cuyo único miembro es, se rectifican en los Apéndices. Los temas tratados son tan difíciles que siento poca confianza en mis opiniones actuales y considero cualquier conclusión que pueda ser defendida como esencialmente hipótesis (Prefacio, párrafo 4).

Algunas palabras sobre el origen del presente trabajo pueden servir para mostrar la importancia de las cuestiones discutidas. Hace unos seis años, comencé una investigación sobre la filosofía de la dinámica. Me encontré con la dificultad de que, cuando una partícula está sujeta a varias fuerzas, ninguna de las aceleraciones componentes ocurre realmente, sino solo la aceleración resultante, de la cual no son partes, este hecho hizo ilusoria la causación de los particulares como se afirma, a primera vista, por la ley de la gravitación. También parecía que la dificultad con respecto al movimiento absoluto es insoluble en una teoría relacional del espacio. De estas dos preguntas fui conducido a un reexamen de los principios de la Geometría, de allí a la filosofía de la continuidad y del infinito, y de allí, con miras a descubrir el significado de la palabra. alguna , a la lógica simbólica. El resultado final, en lo que respecta a la filosofía de la dinámica, es quizás más bien esbelto, la razón de esto es que casi todos los problemas de la dinámica me parecen empíricos y, por lo tanto, fuera del alcance de un trabajo como el presente. Se han tenido que omitir muchas preguntas muy interesantes, especialmente en las Partes VI. y VII., ya que no es relevante para mi propósito, que, por temor a malentendidos, sería bueno explicar en esta etapa (Prefacio ¶ 5).

Cuando se cuentan los objetos reales, o cuando la geometría y la dinámica se aplican al espacio real o la materia real, o cuando, de cualquier otra forma, el razonamiento matemático se aplica a lo que existe, el razonamiento empleado tiene una forma que no depende de los objetos a los que se aplica. se aplica siendo solo aquellos objetos que son, pero solo cuando tienen ciertas propiedades generales. En matemáticas puras, los objetos reales en el mundo de la existencia nunca estarán en cuestión, sino solo los objetos hipotéticos que tienen esas propiedades generales de las que depende cualquier deducción que se esté considerando y estas propiedades generales siempre serán expresables en términos de los conceptos fundamentales que tengo. llamadas constantes lógicas. Así, cuando se habla de espacio o movimiento en matemáticas puras, no se habla de espacio real o movimiento real, como los conocemos en la experiencia, sino de cualquier entidad que posea esas propiedades generales abstractas de espacio o movimiento que se emplean en el proceso. razonamientos de geometría o dinámica. La cuestión de si estas propiedades pertenecen, de hecho, al espacio real o al movimiento real, es irrelevante para las matemáticas puras y, por lo tanto, para el presente trabajo, siendo, en mi opinión, una cuestión puramente empírica, que debe investigarse en el laboratorio. u observatorio. Indirectly, it is true, the discussions connected with pure mathematics have a very important bearing upon such empirical questions, since mathematical space and motion are held by many, perhaps mos, philosophers to be self-contradictory, and therefore necessarily different from actual space and motion, whereas, if the views advocated in the following pages be valid, no such self-contradictions are to be found in mathematical space and motion. But extra-mathematical considerations of this kind have been almost wholly excluded from the present work.(Preface ¶ 6)

On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non-existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. Before learning these views from him, I found myself completely unable to construct any philosophy of arithmetic, whereas their acceptance brought about an immediate liberation from a large number of difficulties which I believe to be otherwise insuperable. The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. But I must leave it to my readers to judge how far the reasoning assumes these doctrines, and how far it supports them. Formally, my premises are simply assumed but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour.(Preface ¶ 7)

In Mathematics, my chief obligations, as is indeed evident, are to Georg Cantor and Professor Peano. If I had become acquainted sooner with the work of Professor Frege, I should have owed a great deal to him, but as it is I arrived independently at many results which he had already established. At every stage of my work, I have been assisted more than I can express by the suggestions, the criticisms, and the generous encouragement of Mr A. N. Whitehead he also has kindly read my proofs, and greatly improved the final expression of a very large number of passages. Many useful hints I owe also to Mr W. E. Johnson and in the more philosophical parts of the book I owe much to Mr G. E. Moore besides the general position which underlies the whole.(Preface ¶ 8)

In the endeavour to cover so wide a field, it has been impossible to acquire an exhaustive knowledge of the literature. There are doubtless many important works with which I am unacquainted but where the labour of thinking and writing necessarily absorbs so much time, such ignorance, however regrettable, seems not wholly avoidable.(Preface ¶ 9)

Many words will be found, in the course of discussion, to be defined in senses apparently departing widely from common usage. Such departures, I must ask the reader to believe, are never wanton, but have been made with great reluctance. In philosophical matters, they have been necessitated mainly by two causes. First, it often happens that two cognate notions are both to be considered, and that language has two names for the one, but none for the other. It is then highly convenient to distinguish between the two names commonly used as synonyms, keeping one for the usual, the other for the hitherto nameless sense. The other cause arises from philosophical disagreement with received views. Where two qualities are commonly supposed inseparably conjoined, but are here regarded as separable, the name which has applied to their combination will usually have to be restricted to one or other. For example, propositions are commonly regarded as (1) true or false, (2) mental. Holding, as I do, that what is true or false is not in general mental, I require a name for the true or false as such, and thisn ame can scarcely be other than proposition . In such a case, the departure from usage is in no degree arbitrary. As regards mathematical terms, the necessity for establishing the existence-theorem in each case--i.e. the proof that there are entities of the kind in question--has led to many definitions which appear widely different from the notions usually attached to the terms in question. Instances of this are the definitions of cardinal, ordinal, and complex numbers. In the two former of these, and in many other cases, the definition as a class, derived from the principle of abstraction, is mainly recommended by the fact that it leaves no doubt as to the existence-theorem. But in many instances of such apparent departure from usage, it may be doubted whether more has been done than to give precision to a notion which had hitherto been more or less vague.(Preface ¶ 10)

For publishing a work containing so many unsolved difficulties, my apology is, that investigation revealed no near prospect of adequately resolving the contradiction discussed in Chapter X., or of acquiring a better insight into the nature of classes. The repeated discovery of errors in solutions which for a time had satisfied me caused these problems to appear such as would have been only concealed by any seemingly satisfactory theories which a slightly longer reflection might have produced it seemed better, therefore, merely to state the difficulties, than to wait until I had become persuaded of the truth of some almost certainly erroneous doctrine.(Preface ¶ 11)

My thanks are due to the Syndics of the University Press, and to their Secretary, Mr R. T. Wright, for their kindness and courtesy in regard to the present volume.(Preface ¶ 12)

The Principles of Mathematics was written by Bertrand Russell, and published in in 1903. It is now available in the Public Domain.


Preface Preface

MATH 203 Contemporary Mathematics is designed for students who are not majoring in mathematics and is intended to serve as a general education math class. The standard high school progression of algebra - geometry - more algebra - precalculus - calculus can leave many students with a distaste for math, partly because it gives the impression that mathematics is all about algebraic manipulations, and partly because it omits many areas of interesting mathematics needed for personal use or informed citizenship. MATH 203 tries to fill those gaps by covering a wide range of mathematical topics, of which algebra is only a small piece. The mathematical content that we hope students will find both interesting and useful has been divided into four units: statistics, social choice (such as voting theory and fair division), growth and finance, and graph theory.

The text is intended to be supplemented for the Math 203 Course Manual available for purchase at the UNL Bookstore.


Lit 2 Go

Smith, David Eugene. "Author's Preface." History of Modern Mathematics. Lit2Go Edition. 1906. Web. https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1725/authors-preface/ >. July 01, 2021.

David Eugene Smith, "Author's Preface," History of Modern Mathematics, Lit2Go Edition, (1906), accessed July 01, 2021, https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1725/authors-preface/ .

This little work was published about ten years ago as a chapter in Merriman and Woodward&rsquos Higher Mathematics. It was written before the numerous surveys of the development of science in the past hundred years, which appeared at the close of the nineteenth century, and it therefore had more reason for being then than now, save as it can now call attention, to these later contributions. The conditions under which it was published limited it to such a small compass that it could do no more than present a list of the most prominent names in connection with a few important topics. Since it is necessary to use the same plates in this edition, simply adding a few new pages, the body of the work remains substantially as it first appeared. The book therefore makes no claim to being history, but stands simply as an outline of the prominent movements in mathematics, presenting a few of the leading names, and calling attention to some of the bibliography of the sub ject. It need hardly be said that the field of mathematics is now so extensive that no one can longer pretend to cover it, least of all the specialist in any one department. Furthermore it takes a century or more to weigh men and their discoveries, thus making the judgment of contemporaries often quite worthless. In spite of these facts, however, it is hoped that these pages will serve a good purpose by offering a point of departure to students desiring to investigate the movements of the past hundred years. The bibliography in the foot-notes and in Articles 19 and 20 will serve at least to open the door, and this in itself is a sufficient excuse for a work of this nature.

Teachers College, Columbia University, December, 1905.

This collection of children's literature is a part of the Educational Technology Clearinghouse and is funded by various grants.


Preface

This linear algebra textbook was originally designed to be presented as twenty five, fifty minute lectures suitable for sophomores likely to use the material for applications but still requiring a solid foundation in this fundamental branch of mathematics. The main idea of the course is to emphasize the concepts of vector spaces and linear transformations as mathematical structures that can be used to model the world around us. Once ``persuaded'' of this truth, students learn explicit skills such as Gaussian elimination and diagonalization in order that vectors and linear transformations become calculational tools, rather than abstract mathematics.

In practical terms, the course aims to produce students who can perform computations with large linear systems while at the same time understand the concepts behind these techniques. Often-times when a problem can be reduced to one of linear algebra it is ``solved''. These notes do not devote much space to applications (there are already a plethora of textbooks with titles involving some permutation of the words ``linear'', ``algebra'' and ``applications''). Instead, they attempt to explain the fundamental concepts carefully enough that students will realize for their own selves when the particular application they encounter in future studies is ripe for a solution via linear algebra.

The notes are designed to be used in conjunction with a set of online homework exercises which help the students read the lecture notes and learn basic linear algebra skills. Interspersed among the lecture notes are links to simple online problems that test whether students are actively reading the notes. In addition there are two sets of sample midterm problems with solutions as well as a sample final exam. There are also a set of ten online assignments which are collected weekly. The first assignment is designed to ensure familiarity with some basic mathematic notions (sets, functions, logical quantifiers and basic methods of proof). The remaining nine assignments are devoted to the usual matrix and vector gymnastics expected from any sophomore linear algebra class. These exercises are all available here.
Webwork is an open source, online homework system which originated at the University of Rochester. It can efficiently check whether a student has answered an explicit, typically computation-based, problem correctly. The problem sets chosen to accompany these notes could contribute roughly 20% of a student's grade, and ensure that basic computational skills are mastered. Most students rapidly realize that it is best to print out the Webwork assignments and solve them on paper before entering the answers online. Those who do not tend to fare poorly on midterm examinations. We have found that there tend to be relatively few questions from students in office hours about the Webwork assignments. Instead, by assigning 20% of the grade to written assignments drawn from problems chosen randomly from the review exercises at the end of each lecture, the student's focus was primarily on understanding ideas. They range from simple tests of understanding of the material in the lectures to more difficult problems, all of them require thinking, rather than blind application of mathematical "recipes". Office hour questions reflected this and offered an excellent chance to give students tips how to present written answers in a way that would convince the person grading their work that they deserved full credit!

  • "Introductory Linear Algebra, An Applied First Course", B. Kolman and D. Hill, Pearson 2001.
  • "Linear Algebra and Its Applications", David C. Lay, Addison--Weseley 2011.
  • "Introduction to Linear Algebra", Gilbert Strang, Wellesley Cambridge Press 2009.
  • "Linear Algebra Done Right", S. Axler, Springer 1997.
  • "Algebra and Geometry", D. Holten and J. Lloyz, CBRC, 1978.
  • "Schaum's Outline of Linear Algebra", S. Lipschutz and M. Lipson, McGraw-Hill 2008.

There are still many errors in the notes, as well as awkwardly explained concepts. An army of 400 students, Fu Liu, Stephen Pon and Gerry Puckett have already found many of them. Rohit Thomas has spent a great deal of time editing these notes and has improved them immeasurably. We also thank Captain Conundrum for providing us his solutions to the sample midterm and final questions. The review exercises would provide a better survey of what linear algebra really is if there were more ``applied'' questions. We welcome your contributions!


Lit 2 Go

Smith, David Eugene. "Editor's Preface." History of Modern Mathematics. Lit2Go Edition. 1906. Web. https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1724/editors-preface/ >. July 01, 2021.

David Eugene Smith, "Editor's Preface," History of Modern Mathematics, Lit2Go Edition, (1906), accessed July 01, 2021, https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1724/editors-preface/ .

The volume called Higher Mathematics, the first edition of which was published in 1896, contained eleven chapters by eleven authors, each chapter being independent of the others, but all supposing the reader to have at least a mathematical training equivalent to that given in classical and engineering colleges. The publication of that volume is now discontinued and the chapters are issued in separate form. In these reissues it will generally be found that the monographs are enlarged by additional articles or appendices which either amplify the former presentation or record recent advances. This plan of publication has been arranged in order to meet the demand of teachers and the convenience of classes, but it is also thought that it may prove advantageous to readers in special lines of mathematical literature.

It is the intention of the publishers and editors to add other monographs to the series from time to time, if the call for the same seems to warrant it. Among the topics which are under consideration are those of elliptic functions, the theory of numbers, the group theory, the calculus of variations, and non-Euclidean geometry possibly also monographs on branches of astronomy, mechanics, and mathematical physics may be included. It is the hope of the editors that this form of publication may tend to promote mathematical study and research over a wider field than that which the former volume has occupied.

This collection of children's literature is a part of the Educational Technology Clearinghouse and is funded by various grants.


Acknowledgments

I am especially grateful to Isidore Fleischer, Mai Gehrke, Paul Howard, and Constantine Tsinakis, who helped with innumerable questions about algebra and logic. I am also grateful to many other mathematicians who helped or tried to help with many different questions: Richard Ball, Howard Becker, Lamar Bentley, Dan Biles, Andreas Blass, Douglas Bridges, Norbert Brunner, Gerard Buskes, Chris Ciesielski, John Cook, Matthew Foreman, Doug Hardin, Peter Johnstone, Bjarni Jonsson, William Julian, Keith Kearnes, Darrell Kent, Menachem Kojman, Ralph Kopperman, Wilhelmus Luxemburg, Hans van Maaren, Roman Manka, Peter Massopust, Ralph McKenzie, Charles Megibben, Norm Megill, Michael Mihalik, Zuhair Nashed, Neil Nelson, Michael Neumann, Jeffrey Norden, Simeon Reich, Fred Richman, Saharon Shelah, Stephen Simons, Steve Tschantz, Stan Wagon, and others too numerous to list here. I am also grateful to many students who read through earlier versions of parts of this book. Of course, any mistakes that remain in this book are my own.

This work was supported in part by a Summer Award from the Vanderbilt University Research Council. I would also like to thank John Cook, Mark Ellingham, Martin Fryd, Bob Messer, Ruby Moore, Steve Tschantz, John Williams, and others for their help with TeX. This book was composed using several different computers and wordprocessors. It was typeset using LaTeX, with some fonts and symbols imported from AmSTeX.

I am also grateful to my family for their support of this project.


Ver el vídeo: V. completa. Las matemáticas nos hacen más libres y menos manipulables. Eduardo Sáenz de Cabezón (Enero 2022).