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6.2: Integración por partes - Matemáticas


Aquí hay una integral simple que aún no podemos evaluar:

$$ int x cos x , dx. ]

Es una cuestión simple tomar la derivada del integrando usando la regla del producto, pero no hay una regla del producto para integrales. Sin embargo, esta sección presenta Integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para derivados. Nos permitirá evaluar esta integral.

La regla del producto dice que si (u ) y (v ) son funciones de (x ), entonces ((uv) '= u'v + uv' ). Para simplificar, hemos escrito (u ) para (u (x) ) y (v ) para (v (x) ). Supongamos que integramos ambos lados con respecto a (x ). Esto da

$$ int (uv) ', dx = int (u'v + uv') , dx. ]

Según el Teorema fundamental del cálculo, el lado izquierdo se integra a (uv ). El lado derecho se puede dividir en dos integrales, y tenemos

$$ uv = int u'v , dx + int uv ', dx. ]

Resolviendo para la segunda integral tenemos

$$ int uv ', dx = uv - int u'v , dx. ]

Usando notación diferencial, podemos escribir (du = u '(x) dx ) y (dv = v' (x) dx ) y la expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

$$ int u , dv = uv - int v , du. ]

Esta es la fórmula de Integración por partes. A modo de referencia, lo expresamos en un teorema.

Teorema ( PageIndex {1} ): Integración por partes

Sean (u ) y (v ) funciones diferenciables de (x ) en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (b ). Luego

[ int u dv = uv - int v du, ]

y integración por partes

[ int_ {x = a} ^ {x = b} u dv = uv Big | _a ^ b - int_ {x = a} ^ {x = b} v du. ]

Probemos un ejemplo para comprender nuestra nueva técnica.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Integración mediante Integración por partes

Evalúa ( displaystyle int x cos {x} dx ).

Solución

La clave para la integración por partes es identificar parte del integrando como " (u )" y parte como " (dv )". La práctica regular ayudará a hacer buenas identificaciones, y luego presentaremos algunos principios que ayudan. Por ahora, sean (u = x ) y (dv = cos {x} dx ).

Generalmente es útil hacer una pequeña tabla de estos valores como se hace a continuación. En este momento solo conocemos (u ) y (dv ) como se muestra a la izquierda de la Figura ( PageIndex {1} ); a la derecha, completamos el resto de lo que necesitamos. Si (u = x ), entonces (du = dx ). Dado que (dv = cos x dx ), (v ) es una antiderivada de ( cos x ). Elegimos (v = sin x ).

Figura ( PageIndex {1} ): Configuración de la integración por partes.

Ahora sustituya todo esto en la fórmula Integración por partes, dando

$$ int x cos x , dx = x sin x - int sin x , dx. ]

Entonces podemos integrar ( sin x ) para obtener (- cos x + C ) y en general nuestra respuesta es

$$ int x cos x dx = x sin x + cos x + C. ]

Observe cómo la antiderivada contiene un producto, (x sin x ). Este producto es lo que hace necesaria la integración por piezas.

El ejemplo anterior demuestra cómo funciona la integración por partes en general. Intentamos identificar (u ) y (dv ) en la integral que se nos da, y la clave es que normalmente queremos elegir (u ) y (dv ) de modo que (du ) es más simple que (u ) y (v ) con suerte no es mucho más complicado que (dv ). Esto significará que la integral del lado derecho de la fórmula de Integración por partes, ( int v , du ) será más simple de integrar que la integral original ( int u , dv ).

En el ejemplo anterior, elegimos (u = x ) y (dv = cos x , dx ). Entonces (du = dx ) era más simple que (u ) y (v = sin x ) no es más complicado que (dv ). Por lo tanto, en lugar de integrar (x cos x , dx ), podríamos integrar ( sin x , dx ), lo cual sabíamos cómo hacer.

Un mnemónico útil para ayudar a determinar (u ) es "LIATE", donde

[L = textbf {L} ogarítmico, I = textbf {I} nverse Trig., A = textbf {A} lgebraic (polinomios), ]

[T = textbf {T} rigonométrico y E = textbf {E} xponencial. ]

Si el integrando contiene un término tanto logarítmico como algebraico, en general, dejar que (u ) sea el término logarítmico funciona mejor, como lo indica L antes de A en LIATE.

Consideremos ahora otro ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Integración mediante Integración por partes

Evalúa ( displaystyle int x e ^ x , dx ).

Solución

El integrando contiene un Atérmino lgebraico ( (x )) y un textbf {E} término xponencial ( (e ^ x )). Nuestro mnemónico sugiere dejar que (u ) sea el término algebraico, por lo que elegimos (u = x ) y (dv = e ^ x , dx ). Luego (du = dx ) y (v = e ^ x ) como se indica en las tablas siguientes.

Figura ( PageIndex {2} ): Configuración de la integración por partes.

Vemos que (du ) es más simple que (u ), mientras que no hay ningún cambio al pasar de (dv ) a (v ). Esto es bueno. La fórmula de integración por partes da

$$ int x e ^ x , dx = xe ^ x - int e ^ x , dx. ]

La integral de la derecha es simple; nuestra respuesta final es

$$ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C. ]

Observe nuevamente cómo las antiderivadas contienen un término de producto.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Integración mediante Integración por partes

Evalúa ( displaystyle int x ^ 2 cos x , dx ).

Solución

El mnemónico sugiere dejar (u = x ^ 2 ) en lugar de la función trigonométrica, por lo tanto (dv = cos x , dx ). Luego (du = 2x , dx ) y (v = sin x ) como se muestra a continuación.

Figura ( PageIndex {3} ): Configuración de la integración por partes.

La fórmula de integración por partes da

$$ int x ^ 2 cos x , dx = x ^ 2 sin x - int 2x sin x , dx. ]

En este punto, la integral de la derecha es de hecho más simple que la que comenzamos, pero para evaluarla, necesitamos hacer Integración por partes nuevamente. Aquí elegimos (u = 2x ) y (dv = sin x ) y completamos el resto a continuación.

Figura ( PageIndex {4} ): Configuración de la integración por partes.

La integral de la derecha es ahora algo que podemos evaluar. Se evalúa como (- 2 sin {x} ). Luego, pasando y simplificando, teniendo cuidado de mantener todos los signos rectos, nuestra respuesta es
$$ int x ^ 2 cos x dx = x ^ 2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C. ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Integración usando Integración por partes

Evalúa ( displaystyle int e ^ x cos x , dx ).

Solución

Este es un problema clásico. Nuestro mnemónico sugiere dejar que (u ) sea la función trigonométrica en lugar de la exponencial. En este ejemplo en particular, se puede hacer que (u ) sea ( cos x ) o (e ^ x ); para demostrar que no tenemos que seguir a LIATE, elegimos (u = e ^ x ) y por lo tanto (dv = cos x , dx ). Luego (du = e ^ x , dx ) y (v = sin x ) como se muestra a continuación.

Figura ( PageIndex {5} ): Configuración de la integración por partes.

Observe que (du ) no es más simple que (u ), yendo en contra de nuestra regla general (pero tenga paciencia con nosotros). La fórmula de integración por partes produce

$$ int e ^ x cos x dx = e ^ x sin x - int e ^ x sin x , dx. ]

La integral de la derecha no es muy diferente a la que comenzamos, por lo que parece que no hemos llegado a ninguna parte. Sigamos trabajando y apliquemos Integración por partes a la nueva integral, usando (u = e ^ x ) y (dv = sin x , dx ). Esto nos lleva a lo siguiente:

Figura ( PageIndex {6} ): Configuración de la integración por partes.

La fórmula de Integración por partes da entonces:

[ begin {align *} int e ^ x cos x , dx & = e ^ x sin x - left (-e ^ x cos x - int -e ^ x cos x , dx right) & = e ^ x sin x + e ^ x cos x - int e ^ x cos x dx. end {align *} ]

Parece que estamos de vuelta justo donde empezamos, ya que el lado derecho contiene ( int e ^ x cos x , dx ). Pero esto es realmente bueno.

Agrega ( int e ^ x cos x dx ) a ambos lados. Esto da

[ begin {align *} 2 int e ^ x cos x dx & = e ^ x sin x + e ^ x cos x text {Ahora divide ambos lados por 2:}
int e ^ x cos x dx & = frac {1} {2} big (e ^ x sin x + e ^ x cos x big). end {align *} ]

Simplificando un poco y sumando la constante de integración, nuestra respuesta es entonces

$$ int e ^ x cos x dx = frac12e ^ x left ( sin x + cos x right) + C. ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Integración usando Integración por partes: antiderivada de ( ln x )

Evalúa ( displaystyle int ln x , dx ).

Solución

Uno puede haber notado que tenemos reglas para integrar las funciones trigonométricas familiares y (e ^ x ), pero aún no hemos dado una regla para integrar ( ln x ). Esto se debe a que ( ln x ) no se puede integrar fácilmente con ninguna de las reglas que hemos aprendido hasta este momento. Pero podemos encontrar su antiderivada mediante una aplicación inteligente de Integración por partes. Establezca (u = ln x ) y (dv = dx ). Este es un truco bueno y astuto para aprender, ya que puede ayudar en otras situaciones. Esto determina (du = (1 / x) , dx ) y (v = x ) como se muestra a continuación.

Figura ( PageIndex {7} ): Configuración de la integración por partes.

Poniendo todo esto junto en la fórmula Integración por partes, las cosas funcionan muy bien:

$$ int ln x , dx = x ln x - int x , frac1x , dx. ]

La nueva integral se simplifica a ( int 1 , dx ), que es tan simple como las cosas. Su integral es (x + C ) y nuestra respuesta es

$$ int ln x dx = x ln {x} - x + C. ]

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Integración usando Int. por partes: antiderivada de ( arctan x )

Evalúa ( displaystyle int arctan x , dx ).

Solución

El mismo truco furtivo que usamos anteriormente funciona aquí. Sea (u = arctan x ) y (dv = dx ). Entonces (du = 1 / (1 + x ^ 2) , dx ) y (v = x ). La fórmula de integración por partes da

[ int arctan x , dx = x arctan x - int frac x {1 + x ^ 2} , dx. ]

La integral de la derecha se puede resolver mediante sustitución. Tomando (u = 1 + x ^ 2 ), obtenemos (du = 2x , dx ). La integral luego se convierte en

[ int arctan x , dx = x arctan x - frac12 int frac 1 {u} , du. ]

La integral de la derecha se evalúa como ( ln | u | + C ), que se convierte en ( ln (1 + x ^ 2) + C ). Por tanto, la respuesta es

[ int arctan x dx = x arctan x - ln (1 + x ^ 2) + C. ]

Sustitución antes de la integración

Al tomar derivadas, era común emplear varias reglas (como el uso de las reglas del cociente y de la cadena). Entonces no debería sorprender que algunas integrales se evalúen mejor combinando técnicas de integración. En particular, aquí ilustramos cómo hacer una sustitución "inusual" primero antes de usar Integración por partes.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Integración por partes después de la sustitución

Evalúa ( displaystyle int cos ( ln x) dx ).

Solución

El integrando contiene una composición de funciones, lo que nos lleva a pensar que la sustitución sería beneficiosa. Dejando (u = ln x ), tenemos (du = 1 / x dx ). Esto parece problemático, ya que no tenemos (1 / x ) en el integrando. Pero considere:

[du = frac 1x dx Rightarrow x cdot du = dx. ]

Dado que (u = ln x ), podemos usar funciones inversas y concluir que (x = e ^ u ). Por lo tanto tenemos eso

[ begin {align *} dx & = x cdot du & = e ^ u du. end {align *} ]

Por tanto, podemos reemplazar ( ln x ) con (u ) y (dx ) con (e ^ u du ). Así reescribimos nuestra integral como

[ int cos ( ln x) dx = int e ^ u cos u du. ]

Evaluamos esta integral en el Ejemplo ( PageIndex {4} ). Usando el resultado allí, tenemos:

[ begin {align *} int cos ( ln x) dx & = int e ^ u cos u du & = frac12e ^ u big ( sin u + cos u grande) + C & = frac12e ^ { ln x} grande ( sin ( ln x) + cos ( ln x) grande) + C & = frac12x grande ( sin ( ln x) + cos ( ln x) big) + C. end {align *} ]

Integrales definidas e integración por partes

Hasta ahora nos hemos centrado solo en evaluar integrales indefinidas. Por supuesto, también podemos usar Integración por partes para evaluar integrales definidas, como dice el Teorema ( PageIndex {1} ). Lo hacemos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Integración definida usando Integración por partes

Evalúa ( displaystyle int_1 ^ 2 x ^ 2 ln x , dx ).

Solución

Nuestro mnemónico sugiere dejar (u = ln x ), por lo tanto (dv = x ^ 2 , dx ).

Luego obtenemos (du = (1 / x) , dx ) y (v = x ^ 3/3 ) como se muestra a continuación.

Figura ( PageIndex {8} ): Configuración de la integración por partes.

La fórmula de integración por partes da

[ begin {align *} int_1 ^ 2 x ^ 2 ln x , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - int_1 ^ 2 frac {x ^ 3} {3} , frac 1x , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - int_1 ^ 2 frac {x ^ 2} {3} , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - frac {x ^ 3} {9} bigg | _1 ^ 2 & = left ( frac { x ^ 3} 3 ln x - frac {x ^ 3} {9} right) bigg | _1 ^ 2 & = left ( frac83 ln 2 - frac89 right) - left ( frac13 ln 1 - frac19 right) & = frac83 ln 2 - frac79 & approx 1.07. end {align *} ]

En general, Integración por partes es útil para integrar ciertos productos de funciones, como ( int x e ^ x , dx ) o ( int x ^ 3 sin x , dx ). También es útil para integrales que involucran logaritmos y funciones trigonométricas inversas.

Como se indicó anteriormente, la integración es generalmente más difícil que la derivación. Estamos desarrollando herramientas para manejar una gran variedad de integrales, y la experiencia nos dirá cuándo una herramienta es preferible / necesaria sobre otra. Por ejemplo, considere las tres integrales de aspecto similar

$$ int xe ^ x , dx, qquad int x e ^ {x ^ 2} , dx qquad text {y} qquad int xe ^ {x ^ 3} , dx. ]

Mientras que el primero se calcula fácilmente con Integración por partes, el segundo se aborda mejor con Sustitución. Yendo un paso más allá, la tercera integral no tiene respuesta en términos de funciones elementales, por lo que ninguno de los métodos que aprendemos en cálculo nos dará la respuesta exacta.

La integración por partes es un método muy útil, solo superado por la sustitución. En las siguientes secciones de este capítulo, continuamos aprendiendo otras técnicas de integración. La siguiente sección se centra en el manejo de integrales que contienen funciones trigonométricas.


Integración tabular por partes DI Método para integración repetida con ejemplos y fórmulas

Integración tabular por partes en cálculo no es más que una técnica corta para resolver el problema integral rápidamente aplicando repetidamente la fórmula por partes.

La ventaja del método de integración tabular es que puede ahorrar mucho tiempo en la resolución del problema que el método tradicional de integración por partes. Pero funciona en variedades limitadas de funciones.

Este método también se denomina método DI de integración por partes.

¿Cuándo puedo utilizar el método DI tabular para la integración?

  • Cuando Integrand es producto de tiempos polinomiales y algo que puede integrarse repetidamente. (∫ x³.sin x dx)
  • Integrando múltiplo de función de potencia y función exponencial. (∫x².e x dx)
  • Integrando múltiplo de una función exponencial y trigonometría. (∫e x. pecado x dx)
  • Múltiplo integrante de la función de potencia y una función de trigonometría. (∫x³.tan x dx)

¿Cómo utilizar o aplicar el método de integración tabular por partes y sus fórmulas?

Dejemos entender tomando el ejemplo de la función integral

Firmar (alternativa) F (x) Diferenciar Integración F (y)
+ pecado t
2t -costo
+ 2 -sin t
0 + cos t

Ahora mira esta tabla para encontrar la integral de una función dada

No Señor. F (x) Diferenciar Integración F (y)
1 + t² pecado t
2 - 2t -costo
3 + 2 -sin t
4 0 + cos t

  1. Multiplica F (x) con la primera integración de F (y)
  2. Multiplica la primera derivada de F (x) con la segunda integración de F (y) ……… y así sucesivamente.
  3. Añádelos todos

Entonces, int _ <> ^ <> t ^ <2> cos t dt = t² (-cost) + (-2t) (- sint) + 2cost + C


Cálculo APEX

Es una cuestión simple tomar la derivada del integrando usando la regla del producto, pero no existe una regla del producto para integrales. Sin embargo, esta sección presenta Integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para derivados. Nos permitirá evaluar esta integral.

Figura 6.2.1. Video de introducción a la Sección 6.2

La regla del producto dice que si (u ) y (v ) son funciones de (x text <,> ) entonces ((uv) '= u'v + uv' text <.> ) Para simplificar, hemos escrito (u ) para (u (x) ) y (v ) para (v (x) text <.> ) Supongamos que integramos ambos lados con respecto a (x text <.> ) Esto da

Según el Teorema fundamental del cálculo, el lado izquierdo se integra a (uv text <.> ) El lado derecho se puede dividir en dos integrales, y tenemos

Resolviendo para la segunda integral tenemos

Usando notación diferencial, podemos escribir (du = u '(x) dx ) y (dv = v' (x) dx ) y la expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Esta es la fórmula de Integración por partes. A modo de referencia, lo expresamos en un teorema.

Teorema 6.2.2. Integración por partes.

Sean (u ) y (v ) funciones diferenciables de (x ) en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (b text <.> ) Entonces

La fórmula de integración por partes también se puede escribir como

para funciones diferenciables (f ) y (g text <.> )

Probemos un ejemplo para comprender nuestra nueva técnica.

Ejemplo 6.2.3. Integración mediante Integración por partes.

Evaluar ( ds int x cos (x) , dx text <.> )

La clave para la integración por partes es identificar parte del integrando como “ (u )” y parte como “ (dv text <.> )” La práctica regular ayudará a hacer buenas identificaciones, y luego presentaremos algunos principios que ayudan. Por ahora, sean (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> )

Generalmente es útil hacer una pequeña tabla de estos valores como se hace a continuación. En este momento solo sabemos (u ) y (dv ) como se muestra a la izquierda de la Figura 6.2.4 a la derecha, completamos el resto de lo que necesitamos. Si (u = x text <,> ) entonces (du = dx text <.> ) Desde (dv = cos (x) , dx text <,> ) (v ) es una antiderivada de ( cos (x) text <.> ) Elegimos (v = sin (x) text <.> )

Ahora sustituya todo esto en la fórmula Integración por partes, dando

Entonces podemos integrar ( sin (x) ) para obtener (- cos (x) + C ) y en general nuestra respuesta es

Observe cómo la antiderivada contiene un producto, (x sin (x) text <.> ) Este producto es lo que hace necesaria la integración por partes.

Podemos comprobar nuestro trabajo tomando la derivada:

Quizás se pregunte qué habría pasado en el ejemplo 6.2.3 si hubiéramos elegido (u ) y (dv ) de manera diferente. Si hubiéramos elegido (u = cos (x) ) y (dv = x , dx ) entonces (du = - sin (x) , dx ) y (v = x ^ 2 / 2 text <.> ) Nuestra segunda integral no es más simple que la primera que tendríamos

La única forma de abordar esta segunda integral sería otra integración por partes.

El ejemplo 6.2.3 demuestra cómo funciona la integración por partes en general. Intentamos identificar (u ) y (dv ) en la integral que se nos da, y la clave es que normalmente queremos elegir (u ) y (dv ) de modo que (du ) es más simple que (u ) y (v ) con suerte no es mucho más complicado que (dv text <.> ) Esto significará que la integral en el lado derecho de la fórmula de Integración por Partes, ( int v , du ) será más sencillo de integrar que la integral original ( int u , dv text <.> )

En el ejemplo anterior, elegimos (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) era más simple que (u ) y (v = sin (x) ) no es más complicado que (dv text <.> ) Por lo tanto, en lugar de integrar (x cos (x) , dx text <,> ) podríamos integrar ( sin (x) , dx text <,> ) lo cual sabíamos cómo hacer.

Un mnemónico útil para ayudar a determinar (u ) es "LIATE", donde

L = Logarítmico, I = IDisparo inverso, A = Algebraico (polinomios, raíces, funciones de potencia), T = Trigonométrica y E = miexponencial.

Si el integrando contiene tanto un término logarítmico como un término algebraico, en general, dejar que (u ) sea el término logarítmico funciona mejor, como lo indica L antes de A en LIATE.

Consideremos ahora otro ejemplo.

Ejemplo 6.2.5. Integración mediante Integración por partes.

Evalúa ( displaystyle int x e ^ x , dx text <.> )

El integrando contiene un Atérmino lgebraico ( (x )) y un mitérmino xponencial ( (e ^ x )). Nuestro mnemónico sugiere dejar que (u ) sea el término algebraico, por lo que elegimos (u = x ) y (dv = e ^ x , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) y (v = e ^ x ) como se indica en las tablas siguientes.

Vemos que (du ) es más simple que (u text <,> ) mientras que no hay ningún cambio al pasar de (dv ) a (v text <.> ) Esto es bueno. La fórmula de integración por partes da

La integral de la derecha es simple, nuestra respuesta final es

Observe nuevamente cómo las antiderivadas contienen un término de producto.

Ejemplo 6.2.7. Integración mediante Integración por partes.

Evalúa ( displaystyle int x ^ 2 cos (x) , dx text <.> )

El mnemónico sugiere dejar (u = x ^ 2 ) en lugar de la función trigonométrica, por lo tanto (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = 2x , dx ) y (v = sin (x) ) como se muestra a continuación.


Cálculo APEX

Es una cuestión simple tomar la derivada del integrando usando la regla del producto, pero no hay una regla del producto para integrales. Sin embargo, esta sección presenta Integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para derivados. Nos permitirá evaluar esta integral.

La regla del producto dice que si (u ) y (v ) son funciones de (x text <,> ) entonces ((uv) '= u'v + uv' text <.> ) Para simplificar, hemos escrito (u ) para (u (x) ) y (v ) para (v (x) text <.> ) Supongamos que integramos ambos lados con respecto a (x text <.> ) Esto da

Según el Teorema fundamental del cálculo, el lado izquierdo se integra a (uv text <.> ) El lado derecho se puede dividir en dos integrales, y tenemos

Resolviendo para la segunda integral tenemos

Usando notación diferencial, podemos escribir (du = u '(x) dx ) y (dv = v' (x) dx ) y la expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Esta es la fórmula de Integración por partes. A modo de referencia, lo expresamos en un teorema.

Teorema 6.2.2. Integración por partes.

Sean (u ) y (v ) funciones diferenciables de (x ) en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (b text <.> ) Entonces

La fórmula de integración por partes también se puede escribir como

para funciones diferenciables (f ) y (g text <.> )

Probemos un ejemplo para comprender nuestra nueva técnica.

Ejemplo 6.2.3. Integración mediante Integración por partes.

Evaluar ( ds int x cos (x) , dx text <.> )

La clave para la integración por partes es identificar parte del integrando como “ (u )” y parte como “ (dv text <.> )” La práctica regular ayudará a hacer buenas identificaciones, y luego presentaremos algunos principios que ayudan. Por ahora, sean (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> )

Generalmente es útil hacer una pequeña tabla de estos valores como se hace a continuación. En este momento solo sabemos (u ) y (dv ) como se muestra a la izquierda de la Figura 6.2.4 a la derecha, completamos el resto de lo que necesitamos. Si (u = x text <,> ) entonces (du = dx text <.> ) Desde (dv = cos (x) , dx text <,> ) (v ) es una antiderivada de ( cos (x) text <.> ) Elegimos (v = sin (x) text <.> )

Ahora sustituya todo esto en la fórmula Integración por partes, dando

Entonces podemos integrar ( sin (x) ) para obtener (- cos (x) + C ) y en general nuestra respuesta es

Observe cómo la antiderivada contiene un producto, (x sin (x) text <.> ) Este producto es lo que hace necesaria la integración por partes.

Podemos comprobar nuestro trabajo tomando la derivada:

Quizás se pregunte qué habría sucedido en el ejemplo 6.2.3 si hubiéramos elegido (u ) y (dv ) de manera diferente. Si hubiéramos elegido (u = cos (x) ) y (dv = x , dx ) entonces (du = - sin (x) , dx ) y (v = x ^ 2 / 2 text <.> ) Nuestra segunda integral no es más simple que la primera que tendríamos

La única forma de abordar esta segunda integral sería otra integración por partes.

El ejemplo 6.2.3 demuestra cómo funciona la integración por partes en general. Intentamos identificar (u ) y (dv ) en la integral que se nos da, y la clave es que normalmente queremos elegir (u ) y (dv ) de modo que (du ) es más simple que (u ) y (v ) con suerte no es mucho más complicado que (dv text <.> ) Esto significará que la integral en el lado derecho de la fórmula de Integración por Partes, ( int v , du ) será más sencillo de integrar que la integral original ( int u , dv text <.> )

En el ejemplo anterior, elegimos (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) era más simple que (u ) y (v = sin (x) ) no es más complicado que (dv text <.> ) Por lo tanto, en lugar de integrar (x cos (x) , dx text <,> ) podríamos integrar ( sin (x) , dx text <,> ) lo cual sabíamos cómo hacer.

Un mnemónico útil para ayudar a determinar (u ) es "LIATE", donde

Si el integrando contiene un término tanto logarítmico como algebraico, en general, dejar que (u ) sea el término logarítmico funciona mejor, como lo indica L antes de A en LIATE.

Consideremos ahora otro ejemplo.

Ejemplo 6.2.5. Integración mediante Integración por partes.

Evalúa ( displaystyle int x e ^ x , dx text <.> )

El integrando contiene un Atérmino lgebraico ( (x )) y un mitérmino xponencial ( (e ^ x )). Nuestro mnemónico sugiere dejar que (u ) sea el término algebraico, por lo que elegimos (u = x ) y (dv = e ^ x , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) y (v = e ^ x ) como se indica en las tablas siguientes.

Vemos que (du ) es más simple que (u text <,> ) mientras que no hay ningún cambio al pasar de (dv ) a (v text <.> ) Esto es bueno. La fórmula de integración por partes da

La integral de la derecha es simple, nuestra respuesta final es

Observe nuevamente cómo las antiderivadas contienen un término de producto.

Ejemplo 6.2.7. Integración mediante Integración por partes.

Evalúa ( displaystyle int x ^ 2 cos (x) , dx text <.> )

El mnemónico sugiere dejar (u = x ^ 2 ) en lugar de la función trigonométrica, por lo tanto (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = 2x , dx ) y (v = sin (x) ) como se muestra a continuación.


Ejemplo 3

El uso del método de Tanzalin requiere 4 filas en la tabla esta vez, ya que hay una derivada más para encontrar en este caso.

Necesitamos alternar los signos (tercera columna), por lo que nuestra cuarta fila tendrá un positivo firmar.

Derivados Integrales Firmar Productos del mismo color
X 2
2X +
2 &menos
0 +


1.3 ¿Listo para estudiar?

Comentario del estudio Para estudiar este módulo, deberá comprender los siguientes términos: constante de integración, variable dependiente, derivado, solución general, variable independiente, condición inicial, derivada inversa (es decir. integral indefinida), ecuación diferencial lineal y solución particular. Necesitará tener un buen conocimiento de diferenciación (incluyendo el product_rule_of_differentiation producto y chain_rule reglas de la cadena, y diferenciación implícita), y de métodos de integración (incluyendo integración por sustitución, integración por partes y el uso de fracciones parciales) debe estar familiarizado con la idea de comprobar un solution_mathematical solution a una ecuación diferencial por sustitución. Si no está seguro de alguno de estos términos, puede revisarlos consultando la Glosario, que también indicará en qué parte de SOLAPA están desarrollados. Debe tener en cuenta que a lo largo de este módulo $ sqrt$ representa el positivo raíz cuadrada de X. Las siguientes preguntas le permitirán establecer si necesita revisar algunos de estos temas antes de embarcarse en este módulo.

Utilizar el product_rule_of_differentiation producto y chain_rule reglas de la cadena para expresar el derivado

en términos de X, y y dy/dx. (Este tipo de diferenciación se conoce como diferenciación implícita.)

Usamos el product_rule_of_differentiation regla de producto para diferenciar el producto, y la técnica de diferenciación implícita para diferenciar el registromi& thinspy. Esto da

$ dfrac left (x ^ 3 loge y right) = x ^ 3 dfrac left ( loge y right) + 3x ^ 2 loge y = dfrac dfrac + 3x ^ 2 loge y $

(Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Determina el derivadas inversas (es decir, el Integrales indefinidas) de las siguientes funciones de X:

Estas Integrales indefinidas ambos pueden evaluarse usando integración por partes. (En las siguientes respuestas C representa una constante de integración).

(b) $ < rm e> ^ x cos x , dx = < rm e> ^ x sin x - < rm e> ^ x sin x , dx = < rm e> ^ x sin x + e < rm e> ^ x cos x- < rm e> ^ x cos x , dx $

Entonces $ 2 Int < rm e> ^ x cos x , dx = < rm e> ^ x sin x + < rm e> ^ x cos x $

es decir, $ Int < rm e> ^ x cos x , dx = frac12 < rm e> ^ x ( sin x + cos x) + C $

(Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Al hacer las sustituciones adecuadas, evalúe lo siguiente Integrales indefinidas:

(a) $ Displaystyle int x exp left ( dfrac<2> derecha) , dx $ (b) $ Int sin x ( cos x) ^ 6 , dx $ (c) $ Int sqrt <1-x os> , dx $

Todas estas integrales se pueden evaluar por medio de un sustitución.

(a) Para evaluar $ Int x exp left ( dfrac<2> right) , dx $, usa la sustitución tu = X 2/2 entonces du = xdx. La integral se convierte

(b) Para evaluar $ Int sin x ( cos x) ^ 6 , dx $ use la sustitución tu = cos& thinspX entonces du = & minussin& thinspX& thinspdx. La integral se convierte

$ - Int u ^ 6 , du = -u ^ 7/7 + C = - ( cos x) ^ 7/7 + C $

(c) Para evaluar $ Int sqrt <1-x os> , dx $ use la sustitución tu = 1 y menos X, entonces du = & menosdx. La integral se convierte

$ - Int sqrt, du = - dfrac23u ^ <3/2> + C = - dfrac23 (1-x) ^ <3/2> + C $

(Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Mediante el uso fracciones parciales, evalúa $ Displaystyle int dfrac <1>, dx $

Para evaluar esta integral, primero use la técnica de fracciones parciales, para escribir el integrando como $ dfrac <1> <3x> - dfrac <1> <3 (x + 3)> $

La integración de ambos términos da el resultado

$ Displaystyle int dfrac <1>, dx = dfrac13 loge x - dfrac13 loge (x + 3) + C = dfrac13 loge left ( dfrac derecha) + C $

(Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Explique la diferencia entre un solución general y un solución particular de un ecuación diferencial de primer orden.

A solución general a una ecuación diferencial de primer orden es una solución que contiene una constante arbitraria. A solución particular no contiene ninguna constante arbitraria. (Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Demuestre por sustitución que

dónde C es una constante arbitraria, es una solution_mathematical solution de la ecuación diferencial

$ L dfrac

+ RI = E $ donde L, R y mi se dan constantes.

Encuentra el valor de la constante arbitraria C en términos de mi y R, dado I = 0 en t = 0.

Diferenciar $ I = dfrac ER + C < rm e> ^ <- Rt / L> $ con respecto a t Nos da

y sustituyendo esto, y la expresión para I, en el lado izquierdo de la ecuación diferencial nos da

que es idénticamente igual a mi. Entonces se satisface la ecuación diferencial. Sustituyendo t = 0 y I = 0 en la solución, encontramos C = & menosmi/R.

(Si no está seguro de estos términos, consulte el Glosario.)

Comenta muchos de los Preguntas de texto que siguen implican la evaluación de una integral indefinida como uno de los pasos. En las soluciones, no se da una explicación detallada de cómo se evaluará la integral. Si tiene problemas con alguna de estas integrales, debe consultar el Glosario, o uno de los módulos que tratan de la integración.


Estrategia de resolución de problemas: integración por sustitución

  1. Mire cuidadosamente el integrando y seleccione una expresión [látex] g (x) [/ látex] dentro del integrando para que sea igual a [látex] u [/ látex]. Seleccionemos [látex] g (x). [/ Látex] tal que [látex]^ < prime> (x) [/ latex] también es parte del integrando.
  2. Sustituya [látex] u = g (x) [/ látex] y [látex] du =^ < prime> (x) dx. [/ latex] en la integral.
  3. Ahora deberíamos poder evaluar la integral con respecto a [látex] u. [/ Látex] Si la integral no se puede evaluar, debemos volver atrás y seleccionar una expresión diferente para usar como [látex] u [/ látex] .
  4. Evaluar la integral en términos de [látex] u. [/ Látex]
  5. Escribe el resultado en términos de [látex] x [/ látex] y la expresión [látex] g (x). [/ Látex]

A veces necesitamos ajustar las constantes en nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo.

A veces necesitamos manipular una integral de formas que son más complicadas que simplemente multiplicar o dividir por una constante. Necesitamos eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando hayamos terminado, [latex] u [/ latex] debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver la variable original en términos de [látex] u [/ látex]. Esta técnica debería quedar clara en el siguiente ejemplo.


6.2: Integración por partes - Matemáticas

Cuando aprenda técnicas de integración, ¡siempre haga conjeturas basadas en lo que ya sabe y pruébelas! Compare lo que funciona con lo que no funciona (y explique por qué).

No se limite a leer el libro de texto. En su lugar, lea un ejemplo en su libro de texto rápidamente, escaneándolo en busca de ideas principales. Escriba el enunciado del problema, voltee la página para que no pueda ver la solución e intente escribir la solución por su cuenta. Da la vuelta solo cuando estés realmente atascado. Este método de estudio activo (a diferencia de la lectura pasiva) te obliga a recordar conocimientos previos y a construir nuevos conocimientos tú mismo, los cuales construyen fuertes conexiones neuronales.

No hay preguntas tontas y # 8211 solo preguntas de trampolín.


Discapacidades

Dependiendo de diversas circunstancias, el programa que se muestra a continuación puede experimentar pequeñas modificaciones.

Las "secciones" enumeradas en la cuarta columna son del libro de Stewart.

Lect. Fecha Sujeto Secciones Tarea
Asignaciones
Integrales
1 Mié 22/09 Áreas y distancias la integral definida 5.1-5.2 5.1: 1, 5, 11, 13
2 Vie 24/9 El teorema de evaluación 5.2-5.3 5.2: 1, 5, 8, 11, 16 (solo para n = 5), 19, 29, 32, 35, 37, 38, 41
3 Lun 27/9 El teorema fundamental del cálculo 5.3-5.4 5.3: 1, 3, 5, 7, 11, 15, 18, 19, 28, 31, 39, 49, 53, 60 5.4: 3, 7, 10, 11, 12, 19, 24
4 Mié 29/09 La regla de sustitución 5.5 5.5: 1, 3, 4, 9, 13, 18, 23, 28, 30
Desct. Jueves 30/9 Prueba No. 1 5.1-5.5
5 Vie 1/10 La regla de sustitución (continuación) 5.5 5.5: 40, 43, 45, 52, 61
6 Lun 4/10 Integración por partes 5.6 5.6: 1, 3, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 25, 41
7 Mié 6/10 Integrales trigonométricas y sustituciones trigonométricas 5.7 5.7: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14
Desct. Jue 10/7 Prueba No. 2 5.5-5.7
8 Vie 8/10 Fracciones parciales 5.7 5.7: 15, 16, 17, 20, 21
9 Lun 10/11 Fracciones parciales (continuación) 5.7 5.7: 27, 28, 31
10 Mié 13/10 Integración mediante tablas y CAS 5.8 5.8: 3, 5, 9, 14
Desct. Jueves 14/10 Prueba No. 3 5.7-5.8
11 Vie 15/10 Integracion numerica 5.9 5.9: 1, 2, 7, 23, 25, 27
12 Lun 18/10 Integrales impropias 5.10 5.10: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 30, 41, 43, 58
13 Mié 20/10 Revisar 5.1-5.10
Desct. Jueves 21/10 Revisión de la primera mitad del período
Examen Vie 22/10 MEDIANO PLAZO
Respuestas
5.1-5.10
Aplicaciones de integración
14 Lun 25/10 Más sobre áreas y volúmenes 6.1-6.2 6.1: 1, 3, 7, 9, 11, 22, 23
15 Mié 27/10 Volúmenes 6.2 6.2: 1, 4, 7, 9, 11, 19, 25, 43, 44, 45
Desct. Jueves 28/10 Prueba No. 4 6.1-6.2
16 Vie 29/10 Arc Length, Parametric Curves 1.7, 6.3 1.7: 3, 7, 15, 17, 20, 27 6.3: 1, 2, 5, 7, 13, 18, 19, 24
17 Mon 11/1 Average Value of a Function (Mean Value Theorem) 6.4 6.4: 1, 6, 9, 10, 11, 12
18 Wed 11/3 Applications to Physics and Engineering (Work, Force) 6.5 6.5: 3, 7, 10, 11, 12, 14, 17a
Desct. Thu 11/4 Quiz No. 5 1.7, 6.3-6.5
Differential Equations
19 Fri 11/5 Differential Equations and Separable Equations 7.1, 7.3 7.1: 1, 9, 14ab 7.3: 1, 4, 5, 9, 11, 17, 28
20 Mon 11/8 Directional Fields, Exponential Growth and Decay 7.2, 7.4 7.2: 1, 4, 5, 7, 11, 21, 28 7.4: 3, 9, 11, 13, 17, 18
21 Wed 11/10 Logistic Equation 7.5 7.5: 1, 5, 7
Desct. Thu 11/11 Quiz No. 6 7.1-7.5
Infinite Sequences and Series
22 Fri 11/12 Secuencias 8.1 8.1: 5, 13, 14, 16, 25, 26, 35, 37
23 Mon 11/15 Serie 8.2 8.2: 7, 9, 11, 15, 19, 23, 25, 27, 33
24 Wed 11/17 Convergence Tests 8.3-8.4 8.3: 2, 3, 7, 8, 9, 13, 19, 20, 25 8.4: 3, 5, 7, 19, 21, 24, 25, 31
Desct. Thu 11/18 Quiz No. 7 8.1-8.4
25 Fri 11/19 Power Series 8.5 8.5: 7, 8, 9, 15
26 Mon 11/22 Representation of Funtions as Power Series 8.6 8.6: 4, 9, 11
27 Wed 11/24 Taylor and MacLaurin Series 8.7 8.7: 3, 5, 7, 11, 21, 23, 29, 31, 34
28 Mon 11/29 Revisar todas
29 Wed 12/1 Revisar todas
30 Fri 12/3 Revisar todas
Examen Th 12/9 FINAL EXAM
Respuestas
todas

(Last Modified: November 24, 2004)

The complete set of notes is here. However I do not recommend to download the whole set until the end of the quarter, since I may still make some changes to the notes.


6.2: Integration by Parts - Mathematics

> endstream endobj 22 0 obj > /ExtGState > >> endobj 26 0 obj > stream 8X]Tfkt$9&cDe16O.n!+5$"XHCL6$60ojl"peTGo.&)fq]lg,gqgRZ01RsqX/Jb ?:[email protected]'[email protected]?-B4Id.tXhZ!>G&N>b$D+'1Pgt*Y9 s[RXKOgn,:3`4nKj+S?iGHMa:e(73YKMS``7Bgj^FB&Ur1Pq%j6J+2^n bNe(/%rX(M=Xfc/_tiDd rq1km=Udrp&>((NU#q.$60ZHiO8_s>L*KVZ 834,Zi ZD$ZfAH!+&"fqCq(sHX

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STPM Further Mathematics T

WARNING: You need to fully master integration and differentiation before you continue on this section.

SUMMARY OF PREVIOUS SECTION

Before I start, let me just give you some results of combining all of the derivatives and integrals of trigonometric, inverse trigonometric, hyperbolic y inverse hyperbolic. This will give you a clearer picture of what you have learnt for the past 2 sections:

1. The Integrals of the Inverse Polynomials
Here I reorganize the tables of integrals for your reference:

As you can see, there is a pattern that you can easily memorize. It’s either of the form a 2 –x 2 , x 2 –a 2 o a 2 +x 2 , whether with the square root or not. You also see that they are all quadratic expressions, in which you could use the method of completing the squares to solve similar cases. Por ejemplo,

Also, make sure that the coefficient of X is always 1. Another example,

Notice that if you didn’t, you would have got a different answer.


2. Trigonometric & Hyperbolic Substitution
Examples of integration like

can’t be solved by normal ways. You might have learnt one trigonometric substitution to solve this kind of questions in Maths T. But now that you have learnt hyperbolic functions, your vocabulary of substitutions increases to 3 of them. Whenever you face the integrals of this kind, you will:

3. Some extra tips on integration
These are just some short notes that I jotted down while I was studying for this chapter few years ago. I thought I might wanna share with you all:

una.

This kind of integration makes use of the half angle formula. This applies to hyperbolics as well.

B.

From here, you do integration by parts, with t 2 as u and the term in the bracket as v.

C.

Notice that it must be e 2x . Here you use the substitution e x = sinh x. Similarly, if the term in the square root was e 2x – 1 o e 2x + 1, you substitute ex como cosh x o sin x respectivamente. Try and see whether it works.

D.

You might want to try proving this before you use it. This will be useful for the next section.

mi.

I actually learnt this in University. You should remember this by memory, it might come useful.

Alright, let’s get into the topic:

REDUCTION FORMULAE

A reduction formula is an expression of a definite integral in terms of n, relating the integral to a similar form of itself. Por ejemplo,

which can be represented as

Notice that firstly, it is a definite integral, which means that it has upper and lower limits. Then, it relates to itself, with a decrease of power or so. These formulae can be very helpful, especially when you calculate high powers of these functions. So if you want to find


You can use the reduction formula to get

which is easily solvable.

Solving is easy, but the harder part is the prueba. It can be very very complicated and tedious if you are doing this for the first time. It is not easy to straight away identify how to integrate (as in who is the ‘u’ and who is the ‘v’ if you’re using integration by parts), and sometimes, you take hours to solve just a simple question. I’ll show you the proof for the above example so you’ll know what I mean. Using my famous colour coded integration by parts formula,

handing over the sin n x term from the right to the left, we get

Complicated? Unfortunately, most exam questions on Reduction Formulae are all on proving them. Since you need A LOT of exercises (seriously, I negrita it because this is no joke), I’ll give you some examples for you to prove.

Not hard enough? Try 2 variables then:

Hope you haven’t start to freak out yet. I seriously haven’t tried proving all these Reduction Formulae, so if you have done so, I salute you. I can give you some tips here though:

1. Break down cos n x = cos x cos n-1 x y tan n x = tan 2 x tan n-2 x.
2. Try checking out the expressions on the right. When there’s a n – 1, you know that the term with the power of norte needs to be differentiated once, and n – 2, will be differentiate twice. m + 1 means that term will be integrated.
3. For those which are related to polynomials and roots, you will find the formula d. above very useful.

I remember I spent a whole night doing one Reduction Formula, because my teacher hasn’t taught me Integration yet. So take heed of my advice, and practise. ☺


Ver el vídeo: integracion por partes ejemplo 9 (Enero 2022).