Artículos

4.1: Preludio a los sistemas de representantes distintos - Matemáticas


Suponga que los clubes de estudiantes de una universidad envían cada uno un representante al gobierno estudiantil de entre los miembros del club. Entonces, la primera pregunta sustantiva es: ¿hay algo útil o interesante que podamos decir sobre en qué condiciones es posible elegir tales representantes?

Convertimos esto en una situación más matemática:

Definición: sistema de representantes distintos (DEG)

Supongamos que (A_1, A_2, ldots, A_n ) son conjuntos, a los que nos referimos como establecer sistema. Una completa) sistema de representantes distintos es un conjunto ( {x_1, x_2, ldots x_n } ) tal que (x_i in A_i ) para todos (i ), y no hay dos (x_i ) iguales. Un sistema (parcial) de representantes distintos es un conjunto de elementos distintos ( {x_1, x_2, ldots x_k } ) tal que (x_i in A_ {j_i} ), donde (j_1, j_2, ldots, j_k ) son enteros distintos en ([n] ).

En el uso estándar, "sistema de representantes distintos" significa "sistema completo de representantes distintos", pero será conveniente dejar que "sistema de representantes distintos" signifique un sistema completo o parcial de representantes distintos según el contexto. generalmente abreviar "sistema de representantes distintos" como DEG.

Analizaremos este problema de dos formas: combinatoriamente y utilizando la teoría de grafos.


Teorema de imposibilidad de Arrow

En la teoría de la elección social, Teorema de imposibilidad de Arrow, la teorema de posibilidad general o La paradoja de Arrow es un teorema de imposibilidad que establece que cuando los votantes tienen tres o más alternativas (opciones) distintas, ningún sistema electoral clasificado puede convertir la preferencias clasificadas de individuos en una clasificación de toda la comunidad (completa y transitiva) y al mismo tiempo cumplir con un conjunto específico de criterios: dominio sin restricciones, no dictadura, Eficiencia de Pareto, y independencia de alternativas irrelevantes. El teorema se cita a menudo en las discusiones sobre la teoría del voto, ya que el teorema de Gibbard-Satterthwaite lo interpreta con más detalle. El teorema lleva el nombre del economista y premio Nobel Kenneth Arrow, quien demostró el teorema en su tesis doctoral y lo popularizó en su libro de 1951. Elección social y valores individuales. El artículo original se tituló "Una dificultad en el concepto de bienestar social". [1]

En resumen, el teorema establece que no se puede diseñar un sistema electoral de orden jerárquico que siempre satisfaga estos tres criterios de "equidad":

  • Si todos los votantes prefieren la alternativa X sobre la alternativa Y, entonces el grupo prefiere X sobre Y.
  • Si la preferencia de cada votante entre X e Y permanece sin cambios, entonces la preferencia del grupo entre X e Y también permanecerá sin cambios (incluso si las preferencias de los votantes entre otros pares como X y Z, Y y Z, o Z y W cambian).
  • No hay un "dictador": ningún votante tiene el poder de determinar siempre la preferencia del grupo.

Los sistemas electorales de votación cardinal no están cubiertos por el teorema, ya que transmiten más información que las órdenes de rango. [2] [3] Sin embargo, el teorema de Gibbard muestra que la votación estratégica sigue siendo un problema.

El enfoque axiomático adoptado por Arrow puede tratar todas las reglas concebibles (que se basan en preferencias) dentro de un marco unificado. En ese sentido, el enfoque es cualitativamente diferente del anterior en la teoría del voto, en el que las reglas se investigaban una por una. Por tanto, se puede decir que el paradigma contemporáneo de la teoría de la elección social partió de este teorema. [4]

Las consecuencias prácticas del teorema son discutibles: Arrow ha dicho: "La mayoría de los sistemas no van a funcionar mal todo el tiempo. Todo lo que probé es que todos pueden funcionar mal a veces". [5]


Solución

Los tres puntos y los segmentos que los unen se representan y etiquetan a continuación:

Para calcular la distancia entre dos de los puntos, $ A $ y $ B $ por ejemplo, podemos usar el Teorema de Pitágoras siempre que podamos encontrar un triángulo rectángulo que tenga $ overline$ como un lado. Las líneas de cuadrícula vertical y horizontal son perpendiculares entre sí, por lo que podemos hacer un ángulo recto eligiendo un segmento de línea de cuadrícula vertical y un segmento de línea de cuadrícula horizontal como los catetos de nuestro triángulo. Esto también se muestra arriba como $ triangle ADB $ es un triángulo rectángulo con ángulo recto $ D $. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras a $ triangle ADB $ para encontrar $ | AB | ^ 2 = | AD | ^ 2 + | BD | ^ 2. $ Sabemos $ | AD | = 2 $ unidades y $ | BD | = 6 $ unidades contando cuadrados en la cuadrícula de coordenadas. Entonces esto significa $ | AD | = sqrt <40> $ unidades. Aplicando la misma técnica a $ triangle AEC $ con ángulo recto $ E $ encontramos $ | AC | = sqrt <25> = 5 $ unidades. Usando $ triangle CFB $ encontramos que $ | CB | = sqrt <45> $ unidades.

Observando la parte (b), necesitamos encontrar la distancia horizontal y vertical recorrida para ir de $ (u, v) $ a $ (s, t) $. Pasar de $ u $ a $ s $ requiere un desplazamiento horizontal de $ s-u $ unidades, mientras que pasar de $ v $ a $ t $ es un desplazamiento vertical de $ t-v $ unidades. Aplicando el patrón del inciso b), la distancia de $ (u, v) $ a $ (s, t) $ es $ sqrt <(s-u) ^ 2 + (t-v) ^ 2> $.

Podemos verificar esta fórmula y patrón dibujando una imagen representativa como en la parte (a), aunque no hemos etiquetado los números en los ejes porque no conocemos las coordenadas exactas de los puntos:


Hay muchas otras imágenes posibles, ya que $ (u, v) $ o $ (s, t) $ podrían estar en uno de los ejes de coordenadas o podrían estar en diferentes cuadrantes. La relación pitagórica, sin embargo, se mantiene independientemente de dónde traduzcamos la imagen.

Para encontrar la distancia de $ (u, v) $ a $ (s, t) $, podemos hacer que estos puntos sean dos vértices de un rectángulo, con lados horizontales y verticales, como se dibujó arriba. Dejamos $ A = (s, t) $ y $ B = (u, v) $ en los siguientes cálculos. Desde el lado $ overline$ es vertical, esto significa que la coordenada $ x $ de $ Q $ es la misma que la de $ B = (u, v) $, es decir, $ u $. De manera similar, la coordenada $ y $ de $ Q $ es la misma que la coordenada $ y $ de $ A = (s, t) $, es decir, $ t $. Entonces $ Q = (u, t) $. Pierna $ overline$ tiene una longitud $ | t-v | $ mientras que la rama $ QA $ tiene una longitud $ | s-u | $. Aplicando el teorema de Pitágoras, encontramos que la distancia de $ (u, v) $ a $ (s, t) $ es $ sqrt <| s-u | ^ 2 + | t-v | ^ 2> $. Esto es lo mismo que encontramos arriba: el cuadrado de cualquier número no es negativo, entonces $ | s-u | ^ 2 = (s-u) ^ 2 $ y $ | t-v | ^ 2 = (t-v) ^ 2 $.


El permanente de un norte-por-norte matriz A = (ayo, j) Se define como

La suma aquí se extiende a todos los elementos σ del grupo simétrico Snorte es decir, sobre todas las permutaciones de los números 1, 2,. norte.

La definición de permanente de A difiere de la del determinante de A en que no se tienen en cuenta las firmas de las permutaciones.

La permanente de una matriz A se denota por A, permanente A, o por A, a veces con paréntesis alrededor del argumento. Minc usa Per (A) para el permanente de matrices rectangulares, y per (A) Cuándo A es una matriz cuadrada. [2] Muir y Metzler usan la notación | + | + < Displaystyle < overset <+> <| >> quad < overset <+> <| >>>. [3]

La palabra, permanente, se originó con Cauchy en 1812 como “fonctions symétriques permanentes” para un tipo de función relacionado, [4] y fue utilizado por Muir y Metzler [5] en el sentido moderno, más específico. [6]

Si uno ve lo permanente como un mapa que toma norte vectores como argumentos, entonces es un mapa multilineal y es simétrico (lo que significa que cualquier orden de los vectores da como resultado el mismo permanente). Además, dada una matriz cuadrada A = (a i j) < displaystyle A = left (a_ right)> de orden norte: [7]

  • permanente(A) es invariante bajo permutaciones arbitrarias de las filas y / o columnas de A. Esta propiedad puede escribirse simbólicamente como permanente (A) = permanente (PAQ) para cualquier matriz de permutación de tamaño adecuadoPAG y Q,
  • multiplicar cualquier fila o columna de A por un escalars cambia la permanenteA) a s⋅permaA),
  • permanente(A) es invariante bajo transposición, es decir, perm (A) = permanente (A T).

Por otro lado, la propiedad multiplicativa básica de los determinantes no es válida para los permanentes. [9] Un ejemplo sencillo muestra que esto es así.

Una fórmula similar a la de Laplace para el desarrollo de un determinante a lo largo de una fila, columna o diagonal también es válida para el permanente [10] todos los signos deben ignorarse para el permanente. Por ejemplo, expandiendo a lo largo de la primera columna,

mientras se expande a lo largo de la última fila da,

A diferencia del determinante, el permanente no tiene una interpretación geométrica fácil; se usa principalmente en combinatoria, en el tratamiento de las funciones del bosón Green en la teoría cuántica de campos y en la determinación de las probabilidades de estado de los sistemas de muestreo de bosones. [11] Sin embargo, tiene dos interpretaciones teóricas de gráficos: como la suma de pesos de las cubiertas de ciclo de un gráfico dirigido, y como la suma de pesos de emparejamientos perfectos en un gráfico bipartito.

Tensores simétricos Editar

Cubiertas de ciclo Editar

Si el peso de una cubierta de ciclo se define como el producto de los pesos de los arcos en cada ciclo, entonces

Combinaciones perfectas Editar

Así, el permanente de A es igual a la suma de los pesos de todas las coincidencias perfectas del gráfico.

Enumeración Editar

Las respuestas a muchas preguntas de conteo se pueden calcular como permanentes de matrices que solo tienen 0 y 1 como entradas.

Deje Ω (norte,k) ser la clase de todas las matrices (0, 1) de orden norte con cada suma de fila y columna igual a k. Cada matriz A en esta clase tiene permanenteA) & gt 0. [13] Las matrices de incidencia de planos proyectivos están en la clase Ω (norte 2 + norte + 1, norte + 1) para norte un entero & gt 1. Se han calculado las permanentes correspondientes a los planos proyectivos más pequeños. Para norte = 2, 3 y 4 los valores son 24, 3852 y 18,534,400 respectivamente. [13] Deja Z ser la matriz de incidencia del plano proyectivo con norte = 2, el avión Fano. Sorprendentemente, la permanente (Z) = 24 = | det (Z) |, el valor absoluto del determinante de Z. Esta es una consecuencia de Z siendo una matriz circulante y el teorema: [14]

Si A es una matriz circulante en la clase Ω (norte,k) Entonces sí k & gt 3, permanente (A) & gt | det (A) | y si k = 3, permanente (A) = | det (A) |. Además, cuando k = 3, permutando filas y columnas, A puede expresarse en forma de suma directa de mi copias de la matriz Z y consecuentemente, norte = 7mi y permanenteA) = 24 e.

Los permanentes también se pueden usar para calcular el número de permutaciones con posiciones restringidas (prohibidas). Para el estándar norte-conjunto <1, 2,. norte>, sea A = (a i j) < displaystyle A = (a_)> ser la matriz (0, 1) donde aij = 1 si Ij está permitido en una permutación y aij = 0 en caso contrario. Entonces perm (A) es igual al número de permutaciones del norte-conjunto que satisfaga todas las restricciones. [10] Dos casos especiales bien conocidos de esto son la solución del problema del trastorno y el problema del ménage: el número de permutaciones de un norte-conjunto sin puntos fijos (alteraciones) está dado por

dónde J es el norte×norte toda la matriz de 1 y I es la matriz de identidad, y los números de ménage vienen dados por

dónde I' es la matriz (0, 1) con entradas distintas de cero en las posiciones (I, I + 1) y (norte, 1).

Límites Editar

La desigualdad de Bregman-Minc, conjeturada por H. Minc en 1963 [15] y probada por L. M. Brégman en 1973, [16] da un límite superior para el permanente de un norte × norte (0, 1) -matriz. Si A posee rI unos en fila I por cada 1 ≤ Inorte, la desigualdad establece que

En 1926, Van der Waerden conjeturó que el mínimo permanente entre todos norte × norte matrices doblemente estocásticas es norte!/norte norte , logrado por la matriz para la cual todas las entradas son iguales a 1 /norte. [17] Las pruebas de esta conjetura fueron publicadas en 1980 por B. Gyires [18] y en 1981 por G. P. Egorychev [19] y D. I. Falikman [20] La prueba de Egorychev es una aplicación de la desigualdad Alexandrov-Fenchel. [21] Por este trabajo, Egorychev y Falikman ganaron el Premio Fulkerson en 1982. [22]

Puede reescribirse en términos de las entradas de la matriz de la siguiente manera:

Se cree que el permanente es más difícil de calcular que el determinante. Si bien el determinante se puede calcular en tiempo polinomial mediante eliminación gaussiana, la eliminación gaussiana no se puede usar para calcular el permanente. Además, calcular el permanente de una matriz (0,1) es # P-completo. Por lo tanto, si el permanente se puede calcular en tiempo polinomial por cualquier método, entonces FP = #P, que es una afirmación aún más fuerte que P = NP. Cuando las entradas de A son no negativos, sin embargo, el permanente se puede calcular aproximadamente en tiempo polinomial probabilístico, hasta un error de ε M < displaystyle varepsilon M>, donde M < displaystyle M> es el valor del permanente y ε & gt 0 < displaystyle varepsilon & gt0> es arbitrario. [25] La permanente de un determinado conjunto de matrices semidefinidas positivas también se puede aproximar en tiempo polinomial probabilístico: el mejor error alcanzable de esta aproximación es ε M < displaystyle varepsilon < sqrt >> (M < displaystyle M> es nuevamente el valor del permanente). [26]

Como generalización, para cualquier secuencia de norte enteros no negativos, s 1, s 2,…, s n < displaystyle s_ <1>, s_ <2>, dots, s_> definir:

Teorema maestro de MacMahon relacionar permanentes y determinantes es: [28]

dónde I es el orden norte matriz de identidad y X es la matriz diagonal con diagonal [x 1, x 2,…, x n]. < Displaystyle [x_ <1>, x_ <2>, dots, x_].>

La función permanente se puede generalizar para aplicar a matrices no cuadradas. De hecho, varios autores hacen de esta la definición de permanente y consideran la restricción a matrices cuadradas como un caso especial. [29] Específicamente, para un metro × norte matriz A = (una yo j) < Displaystyle A = (a_)> con metronorte, definir

donde P (norte,metro) es el conjunto de todos metro-permutaciones del norte-conjunto <1,2. n>. [30]

Sistemas de representantes distintos Editar

La generalización de la definición de matrices permanentes a matrices no cuadradas permite que el concepto se utilice de forma más natural en algunas aplicaciones. Por ejemplo:

Dejar S1, S2, . Smetro ser subconjuntos (no necesariamente distintos) de un norte-colocado con metronorte. La matriz de incidencia de esta colección de subconjuntos es una metro × norte (0,1) -matriz A. El número de sistemas de representantes distintos (DEG) de esta colección es permanente (A). [31]


4. Sistemas esquemáticos en geometría

Los matemáticos han utilizado, y siguen utilizando, diagramas ampliamente. La comunicación de conceptos matemáticos y pruebas y mdashin libros de texto, en pizarrones y mdashis no es uniformemente oracional. Las figuras y los dibujos son comunes. Sin embargo, de acuerdo con la concepción predominante de la lógica como esencialmente oracional, no se suele pensar que desempeñen un papel en el razonamiento matemático riguroso. Se considera que su uso se limita a mejorar la comprensión de una prueba. Generalmente, no se cree que formen parte de la prueba en sí.

La actitud está bien ilustrada por la evaluación estándar de la metodología Euclid & rsquos en el Elementos. En ningún tema matemático los diagramas son más prominentes que en la geometría elemental que Euclides desarrolla en el texto. Las pruebas del tema parecen ser, en cierto sentido, sobre los diagramas de triángulos y círculos que aparecen con ellos. Este es especialmente el caso de las demostraciones geométricas del Elementos. Los diagramas de Euclides no son meramente ilustrativos. Algunos de sus pasos de inferencia dependen de un diagrama construido apropiadamente. En la historia estándar, estos pasos indican lagunas en las pruebas de Euclides y rsquos. Muestran cómo Euclides no llevó a cabo completamente el proyecto de desarrollar la geometría axiomáticamente.

Ken Manders se propuso hacer estallar esta historia con su obra fundamental & ldquoThe Euclidean diagram & rdquo (2008 [1995]). Su análisis del método de prueba diagramática de Euclides y rsquos revela que Euclides emplea diagramas de una manera controlada y sistemática. Por tanto, pone en tela de juicio la valoración negativa común del rigor de la Elementos. Además, los detalles del análisis de Manders y rsquo sugieren que se puede entender que las pruebas del texto se adhieren a una lógica esquemática formal. Esto fue posteriormente confirmado por el desarrollo de sistemas diagramas formales diseñados para caracterizar tal lógica. El primero de estos fue FG (presentado en Miller 2007), seguido del sistema UE (Mumma 2010).

Esta sección está dedicada a explicar el análisis de Manders y rsquo y los sistemas formales que han surgido de él. Después de una breve revisión de cómo se han visto los diagramas de Euclides y rsquos a través de los siglos, se presenta la imagen de Manders y rsquo de su papel en las pruebas geométricas. Una descripción de cómo los sistemas FG y UE Representar esta imagen en términos formales y caracterizar una lógica de diagramas euclidianos que sigue.

4.1 Vistas de los diagramas de Euclides y rsquos desde el siglo IV a. C. hasta el siglo XX d. C.

La geometría elemental del Elementos se consideró fundamental para las matemáticas desde sus inicios en la antigua Grecia hasta el siglo XIX. En consecuencia, los filósofos preocupados por la naturaleza de las matemáticas se vieron obligados a comentar las demostraciones esquemáticas del texto. Un tema central, si no el tema central, fue el problema de generalidad. El diagrama que aparece con una prueba euclidiana proporciona una único instanciación del tipo de configuraciones geométricas de las que trata la demostración. Sin embargo, las propiedades que se consideran válidas en el diagrama se consideran todas las configuraciones del tipo dado. ¿Qué justifica este salto de lo particular a lo general?

Como ilustración, considérese la prueba de la proposición 16 del libro I de la Elementos.

  • Sea ABC un triángulo, y deje que un lado de él BC se produzca en D
  • Digo que el ángulo ACD es mayor que el ángulo interior y opuesto BAC.
  • Sea AC bisecado en E [I, 10], y sea BE unido y producido en línea recta hacia F
  • hagamos que EF sea igual a BE [I, 3], y que FC se una.
  • Entonces, dado que AE es igual a EC y BE igual a EF, los dos lados AE, EB son iguales a los dos lados CE, EF respectivamente y el ángulo AEB es igual al ángulo FEC [I, 15].
  • Por lo tanto, la base AB es igual a la base FC, y el triángulo ABE es igual al triángulo CFE [I, 4] por lo tanto, el ángulo BAE es igual al ángulo ECF (que también es el ángulo ACF)
  • Pero el ángulo ACD es mayor que el ángulo ACF
  • Por lo tanto, el ángulo ACD es mayor que BAE.

La prueba parece referirse a las partes del diagrama que se dan con la prueba. Sin embargo, la demostración no pretende establecer algo solo sobre el triángulo en el diagrama, sino algo sobre todos los triángulos. Por tanto, el diagrama sirve para representar, de alguna manera, todos los triángulos.

Aristóteles destaca el papel de los diagramas como representaciones en el capítulo 10 del libro A de la Análisis posterior:

El geómetra no basa ninguna conclusión en que la línea particular que ha trazado sea la que ha descrito, sino que [se refiere a] lo que ilustran las figuras. (La traducción es de T. Heath, encontrada en Euclid 1956: vol. I, p.119)

De paso, Aristóteles no confronta la cuestión de cómo el geómetra usa los diagramas para razonar sobre lo que ilustran. Unos siglos más tarde, Proclo lo hace en su comentario sobre la Elementos. Proclo afirma que pasar de una instancia particular a una conclusión universal está justificado porque los geómetras

& hellip utiliza los objetos expuestos en el diagrama no como estas figuras en particular, sino como figuras que se asemejan a otras del mismo tipo. No es que tenga tal o cual tamaño que el ángulo ante mí esté dividido en dos, sino que sea rectilíneo y nada más & hellip Suponga que el ángulo dado es un ángulo recto & hellip si no hago uso de su rectitud y considero solo su carácter rectilíneo, la proposición se aplicará igualmente a todos los ángulos con lados rectilíneos. (Un comentario sobre el primer libro de Euclides & rsquos Elements, Morrow 1970: 207))

El lugar de los diagramas en la geometría siguió siendo un problema en el período moderno temprano. Grandes figuras filosóficas de los siglos XVII y XVIII avanzaron posiciones sobre él. Anticipándose a la visión moderna predominante, Leibniz afirma:

& hellipit no son las figuras que proporcionan la prueba con geómetras, aunque el estilo de la exposición puede hacerte pensar eso. La fuerza de la demostración es independiente de la figura dibujada, que se dibuja solo para facilitar el conocimiento de nuestro significado, y para fijar la atención son las proposiciones universales, es decir, las definiciones, axiomas y teoremas ya demostrados, las que hacen que el razonamiento, y que lo sostendría aunque la figura no estuviera allí. (1704 Nuevos ensayos: 403)

En la introducción a su Principios del conocimiento humano (1710, sección 16), Berkeley reitera que 13 siglos después, Proclus & rsquos asumen el problema de la generalidad. Aunque uno siempre tiene una vista particular del triángulo y el rsquo cuando se trabaja en una demostración sobre triángulos, no hay ni la menor mención de los detalles particulares del triángulo en la demostración. La demostración prueba así, según Berkeley, una proposición general sobre triángulos.

La descripción más desarrollada, y previsiblemente más compleja y difícil de los diagramas geométricos en el período moderno se puede encontrar en Kant. Kant vio algo de profundo significado epistemológico en el uso de geómetras y rsquos de un diagrama particular para razonar sobre un concepto geométrico. Al razonar de esta manera, el geómetra

considera el concepto en concreto, aunque no empíricamente, sino más bien únicamente como uno que ha exhibido a priori, es decir, construido, y en el que lo que se desprende de las condiciones generales de la construcción debe también en general del objeto del concepto construido. (1781, Crítica de la razón pura, A716 / B744.)

Para opiniones contrastantes de lo que revelan pasajes como estos sobre dónde encajan los diagramas en la filosofía de la geometría de Kant & rsquos, ver Shabel 2003 y Friedman 2012.

En el siglo XIX, la geometría y las matemáticas en su conjunto experimentaron una revolución. Conceptos mucho más abstractos y generales que los encontrados en el Elementos (por ejemplo, geometrías no euclidianas, conjuntos) surgieron. No sólo las preguntas sobre la naturaleza del método diagramático de Euclides perdieron su urgencia, sino que el método llegó a entenderse como matemáticamente defectuoso. Este último punto de vista encontró su expresión más precisa en la obra pionera de Moritz Pasch, quien proporcionó la primera axiomatización moderna de la geometría elemental en Pasch (1882). En él, Pasch mostró cómo se podía desarrollar el tema sin referencia a los diagramas o incluso a los conceptos geométricos que los diagramas instancian. La norma metodológica que guía el trabajo está muy bien expresada en el siguiente pasaje citado a menudo:

De hecho, si la geometría es genuinamente deductiva, el proceso de deducir debe ser en todos los aspectos independiente de la sentido de los conceptos geométricos, así como debe ser independiente de las figuras, sólo el relaciones establecidos entre los conceptos geométricos utilizados en las proposiciones (respectivamente definiciones) en cuestión deben tenerse en cuenta. (Pasch 1882: 98 énfasis en el original. La traducción aquí es de Schlimm 2010)

Desde entonces, la norma se ha afianzado tanto en las matemáticas como en las discusiones filosóficas de las matemáticas. Es su atrincheramiento en este último al que Manders se opone en Manders 2008 [1995]. En el relato que desarrolla de la geometría antigua, la necesidad de consultar un diagrama en una demostración no indica una brecha deductiva. Más bien, el diagrama y el texto juntos forman una demostración matemática rigurosa y deductiva.

4.2 Distinción exacta / co-exacta de Manders & rsquo y el problema de la generalidad

4.2.1 La distinción exacta / co-exacta

Para explicar la división del trabajo entre texto y diagrama en la geometría antigua, Manders distingue entre los exacto y co-exacto propiedades de los diagramas geométricos en Manders 2008 [1995]. Detrás de la distinción hay una noción de variación. La co-exacto Las condiciones realizadas por un diagrama y lsquoson aquellas condiciones que no se ven afectadas por algún rango de cada variación continua de un diagrama específico. & rsquo Exacto las condiciones, por el contrario, se ven afectadas una vez que el diagrama está sujeto a la variación más pequeña. Aproximadamente, las propiedades co-exactas de un diagrama y rsquos comprenden las formas en que sus partes definen un conjunto finito de regiones planas y las relaciones de contención entre estas regiones. Una relación exacta prominente es la igualdad de dos magnitudes dentro de un diagrama. Por ejemplo, solo se requiere el más mínimo cambio en la posición de CF en el diagrama de la proposición 16 para hacer que los ángulos BAE y ECF sean desiguales.

La observación clave de Manders y rsquo es que los diagramas de Euclides y rsquos contribuyen a las demostraciones solo a través de sus propiedades co-exactas. Euclides nunca infiere una propiedad exacta de un diagrama a menos que se siga directamente de una propiedad co-exacta. Las relaciones entre magnitudes que no se exhiben como contención se asumen desde el principio o se prueban a través de una cadena de inferencias en el texto. Esto se puede confirmar fácilmente con la prueba de la proposición 16. La única inferencia que se basa en el diagrama es la penúltima inferencia de la prueba. La inferencia, específicamente, es que el ángulo ACD es mayor que el ángulo ACF. Esto, fundamentalmente, se basa en ver en el diagrama que el ángulo ACD contiene ángulo ACF. Hay muchas otras relaciones que se afirman que se mantienen en la prueba. Aunque el diagrama los instancia, están explícitamente justificados en el texto. Y con estas relaciones, los relata son magnitudes espacialmente separadas.

No es difícil plantear la hipótesis de por qué Euclides se habría restringido de esa manera. Es sólo en su capacidad de representar propiedades y relaciones co-exactas que los diagramas parecen capaces de funcionar eficazmente como símbolos de prueba. Las propiedades exactas de los diagramas son demasiado refinadas para ser fácilmente reproducibles y sustentar juicios determinados. Como dice Manders

La práctica tiene recursos para limitar el riesgo de desacuerdo en atribuciones (explícitas) co-exactas de un diagrama, pero carece de tales recursos para atribuciones exactas y, por lo tanto, no podría permitirlas sin disolverse en un desorden de juicios contradictorios irresolubles. (Manders 2008 [1995]: 91 y ndash92)

Las ideas de Manders y rsquos conducen naturalmente a la idea de que los argumentos de Euclides y rsquos podrían formalizarse de una manera similar a la forma en que se formalizaron los diagramas de Venn en Shin 1994. La información co-exacta que llevan los diagramas de Euclides y rsquos es discreta. Cuando se consulta un diagrama para obtener esta información, lo que importa es cómo sus líneas y círculos dividen una región plana acotada en un conjunto finito de subregiones. Esto abre la puerta a conceptualizar los diagramas de Euclides y rsquos como parte del sintaxis del método de prueba de Euclides y rsquos.

4.2.2 El problema de la generalidad con las construcciones de Euclides y rsquos

Realizar esta concepción en un sistema formal de prueba equivale, como en Shin 1994, a especificar la sintaxis y semántica de los diagramas. Desde el punto de vista sintáctico, esto significa definir los diagramas de Euclides y rsquos como objetos formales con precisión, y dar reglas mediante las cuales los diagramas como objetos formales figuran en las derivaciones de las proposiciones de Euclides y rsquos. Desde el punto de vista semántico, esto significa especificar cómo las expresiones derivables deben interpretarse geométricamente, o en otras palabras, cómo exactamente deben entenderse como representaciones de proposiciones de Euclides.

La situación semántica con los diagramas de Euclides & rsquos es, por tanto, diferente de la de Venn & rsquos. Los diagramas de Venn se utilizan para demostrar lógico resultados. Las inferencias que se hacen con ellos son neutrales al tema. Los diagramas de Euclides y rsquos, por otro lado, se utilizan para demostrar geométrico resultados. Las inferencias que se hacen con ellos son específicas del tema. En particular, aunque los objetos de la geometría euclidiana plana son abstractos (por ejemplo, las líneas geométricas no tienen amplitud), siguen siendo espaciales. En consecuencia, los problemas relacionados con la espacialidad de los diagramas y el alcance de la representación no surgen con los diagramas de Euclides y rsquos como lo hacen, por ejemplo, con los diagramas de Euler. En el caso de la geometría, de hecho, la espacialidad de los diagramas cuenta a su favor. Las limitaciones espaciales sobre lo que es posible con las configuraciones geométricas también son operativas con los diagramas espaciales euclidianos.

Sin embargo, como se reconoce en el comentario filosófico sobre la geometría de Euclides desde la antigüedad en adelante, existen problemas de alcance representacional con los diagramas euclidianos con los que lidiar. ¿Cuál es la justificación para tratar las propiedades de un diagrama geométrico único como representativas de todas las configuraciones en el rango de una prueba? ¿Cómo puede un solo diagrama demostrar un resultado general? La distinción exacta / co-exacta de Manders & rsquo proporciona la base para una respuesta parcial. Las propiedades co-exactas de un diagrama pueden ser compartidas por todas las configuraciones geométricas en el rango de una prueba, por lo que en tales casos se justifica leer las propiedades co-exactas del diagrama. En una prueba sobre triángulos, por ejemplo, la variación entre las configuraciones en el rango de la prueba es la variación de las propiedades exactas y, por ejemplo, la medida de los triángulos y los ángulos rsquo, las proporciones entre sus lados. Todos comparten las mismas propiedades co-exactas, es decir, todos constan de tres regiones lineales delimitadas que juntas definen un área.

Esta no es una respuesta completa porque las pruebas de Euclides y rsquos generalmente involucran construcciones en un tipo de configuración inicial. Con la prueba de la proposición 16, por ejemplo, se especifica una construcción en un triángulo con un lado extendido. En tales casos, un diagrama puede representar adecuadamente las propiedades co-exactas de una configuración inicial. Pero no se puede suponer que el resultado de aplicar una construcción de prueba y rsquos al diagrama represente las propiedades co-exactas de todas las configuraciones resultantes de la construcción. No es necesario considerar situaciones geométricas complejas para ver esto. Supongamos, por ejemplo, que el tipo de configuración inicial de una prueba es triángulo. Entonces el diagrama

sirve para representar las propiedades co-exactas de este tipo. Suponga además que el primer paso de una construcción de prueba y rsquos es dejar caer la perpendicular desde un vértice del triángulo a la línea que contiene el lado opuesto al vértice. Entonces, el resultado de llevar a cabo este paso en el diagrama

deja de ser representativo. Que la perpendicular caiga dentro del triángulo en el diagrama es una característica co-exacta de la misma. Pero hay triángulos con propiedades exactas diferentes del diagrama inicial donde la aplicación del paso de construcción da como resultado una perpendicular que se encuentra fuera del triángulo. Por ejemplo, con el triángulo

el resultado de aplicar el paso de construcción es

4.3 Los sistemas formales FG y Eu

Y así, llevar a cabo una construcción euclidiana en un diagrama representativo puede resultar en un diagrama no representativo. Una tarea central de formalizar las demostraciones diagramáticas de Euclides es dar cuenta de esto y mdashi.e., Proporcionando con sus reglas un método para distinguir características generales co-exactas de las no generales en representaciones diagramáticas de construcciones. Los sistemas FG y UE adopte dos enfoques diferentes para esta tarea.

Empleando el método de FG, se debe producir con un diagrama cada caso que pudiera resultar de la construcción. Una relación co-exacta general de la construcción es entonces la que aparece en todos los casos. FGLos & rsquos demandan que se produzcan todos los casos serían, por supuesto, de poco interés si no proporcionaran también un método para producirlos todos. El método FG proporciona depende del hecho de que las líneas y círculos en los diagramas del sistema & rsquos se definen en términos puramente topológicos. Su flexibilidad resultante permite formular e implementar en un programa informático un método general de generación de casos. [9]

Las líneas y círculos de UE los diagramas no son igualmente flexibles. En consecuencia, no puede resolver el problema de la generalidad a través del análisis de casos como FG lo hace. La idea central de su enfoque es permitir que los diagramas contengan información parcial desde el principio. Dentro de un UE derivación, el diagrama producido por una construcción de prueba & rsquos tiene un contenido inicial que consiste en todas las relaciones cualitativas del diagrama inicial de prueba & rsquos. Las relaciones cualitativas relativas a los objetos añadidos por la construcción no se pueden leer del diagrama inmediatamente. Los que se pueden leer en el diagrama deben derivarse de las reglas del sistema & rsquos. [10]

Las diferencias entre FG y UE Los enfoques para formalizar las construcciones de Euclides y rsquos pueden entenderse como representaciones de diferentes concepciones generales del papel de los diagramas en las matemáticas. FG embodies a conception where diagrams concretely realize a range of mathematical possibilities. They support mathematical inference by furnishing direct access to these possibilities. Eu in contrast embodies a conception where diagrams serve to represent in a single symbol the various components of a complex mathematical situation. They support mathematical inference by allowing the mathematical reasoner to consider all these components in one place, and to focus on those components relevant to a proof.


Orthogonality

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fifth Edition) , 2016

Orthogonal and Orthonormal Bases

Theorem 6.1 assures us that any orthogonal set of nonzero vectors in R n is linearly independent, so any such set forms a basis for some subspace of R n .

A basis B for a subspace W of R n is an orthogonal basis for W if and only if B is an orthogonal set. Similarly, a basis B for W is an orthonormal basis for W if and only if B is an orthonormal set.

The following corollary follows immediately from Theorem 6.1 :

Corollary 6.2

Si B is an orthogonal set of norte nonzero vectors in R n , then B is an orthogonal basis for R n . Similarly, if B is an orthonormal set of norte vectors in R n , then B is an orthonormal basis for R n .

Consider the following subset of R 3 : <[1,0,−1],[−1,4,−1],[2,1,2]>. Because every pair of distinct vectors in this set is orthogonal (verify!), this is an orthogonal set. By Corollary 6.2 , this is also an orthogonal basis for R 3 . Normalizing each vector, we obtain the following orthonormal basis for R 3 :

One of the advantages of using an orthogonal or orthonormal basis is that it is easy to coordinatize vectors with respect to that basis.

Si B = (v1,v2,…,vk) is a nonempty ordered orthogonal basis for a subspace W of R n , and if v is any vector in W , then

Consider the ordered orthogonal basis B = (v1,v2,v3) for R 3 from Example 2 , where v1 = [1,0,−1],v2 = [−1,4,−1], and v3 = [2,1,2]. Dejar v = [−1,5,3]. We will use Theorem 6.3 to find [v]B.

Ahora, vv1 = −4,vv2 = 18, and vv3 = 9. Also, v1v1 = 2,v2v2 = 18, and v3v3 = 9. Hence,


Finite Dimensional Vector Spaces

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fourth Edition) , 2010

Summary of Results

This section includes several different, but equivalent, descriptions of linearly independent and linearly dependent sets of vectors. Several additional characterizations are described in the exercises. The most important results from both the section and the exercises are summarized in Table 4.1 .

Table 4.1 . Equivalent conditions for a subset S of a vector space to be linearly independent or linearly dependent

Linear Independence of SLinear Dependence of SFuente
Si S = <v1,…, vnorte> and a1v1 + … + anortevnorte = 0, luego a1 = a2 = … = anorte = 0. (The zero vector requires zero coefficients.)Si S = <v1,…, vnorte>, then a1v1 + … + anortevnorte = 0 for some scalars a1, a2,…, anorte, with some aI ≠ 0. (The zero vector does not require all coefficients to be zero.)Definición
No vector in S is a finite linear combination of other vectors in S.Some vector in S is a finite linear combination of other vectors in S. Theorem 4.8 and Remarks after Example 14
For every vS, we have v ∉ span(S −<v>).Hay un vS such that v ∈ span(S − <v>).Alternate characterization
For every vS, span(S − <v>) does not contain all the vectors of span(S).There is some vS such that span(S − <v>) = span(S). Exercise 12
Si S = <v1,…, vnorte>, then for each k vk ∉ span(<v1,…, vk − 1>). (Each vk is not a linear combination of the previous vectors in S.)Si S = <v1,…, vnorte>, some vk can be expressed as vk = a1v1 + … + ak − 1vk − 1. (Some vk is a linear combination of the previous vectors in S.) Exercise 22
Every vector in span(S) can be uniquely expressed as a linear combination of the vectors in S.Some vector in span(S) can be expressed in more than one way as a linear combination of the vectors in S. Theorem 4.9 and Theorem 4.10
Every finite subset of S is linearly independent.Some finite subset of S is linearly dependent.Definition when S is infinite

New Vocabulary

linearly dependent (set of vectors)

linearly independent (set of vectors)

Highlights

A set of vectors is linearly dependent if there is a nontrivial linear combination of the vectors that equals 0.

A set of vectors is linearly independent if the only linear combination of the vectors that equals 0 is the trivial linear combination (i.e., all coefficients = 0).

A single element set <v> is linearly independent if and only if v0.

A two-element set <v1, v2> is linearly independent if and only if neither vector is a scalar multiple of the other.

The vectors <mi1,…, minorte> are linearly independent in ℝ n , and the vectors <1,X,X2,…, Xnorte> are linearly independent in P n .

Any set containing the zero vector is linearly dependent.

The Independence Test Method determines whether a finite set is linearly independent by calculating the reduced row echelon form of the matrix whose columns are the given vectors.

If a subset of ℝ n contains more than norte vectors, then the subset is linearly dependent.

A set of vectors is linearly dependent if some vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors). (Such a vector is said to be redundant.)

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors).

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of those listed before it in the set.

A set of fundamental eigenvectors produced by the Diagonalization Method is linearly independent (this will be justified in Section 5.6 ).

An infinite set of vectors is linearly dependent if some finite subset is linearly dependent.

An infinite set of vectors is linearly independent if every finite subset is linearly independent.

A set S of vectors is linearly independent if and only if every vector in span(S) is produced by a unique linear combination of the vectors in S.


3. Alphabetic numerical notation

As soon as the order of letters in an alphabet became fixed, this opened a way to use the letters as numeric signs. Notwithstanding the fact that alphabets first emerged among Semitic peoples, first of all Phoenicians, it seems quite reasonable to suggest the Greeks being the inventors of alphabetic numeric notation ca. the sixth century BC (Chrisomalis 2010: 134). This system known as the Ionic or Milesian notation followed the Attic or Herodianic notation described in the previous section. The Greeks used three archaic letters to supplement their 24-letter alphabet expanding its capacity to denote unities, tens, and hundreds fully. Alphabetic numeric notation was borrowed by the Copts together with the alphabet, and also later by some other people, namely, Slavs, Armenians, Goths, etc.

In ancient Greek manuscripts the letters denoting numerals were distinguished from that for words by an overline, while modern practice is to add an acute-like sign on top-right of the numeral letter sequence. The archaic letters supplementing the Greek alphabet are: stigma (ϛ) or digamma (ϝ) for ‘6’, koppa (ϟ or ϙ) for ‘90’, and sampi (ϡ) for ‘900’, see Table 2.1. Thousands are marked by symbols for unities 1–9 preceded by a small stroke placed mostly to the bottom-left. Myriads (10,000s) are marked in a number of ways, in particular by the capital ‘M’ with the number of myriads placed above or before it (see Tables 2.1, 2.2). Another approach was to place a trema (dieresis or umlaut) above the letter for unities (Heath 2003: 18), e.g.

The numerals were written left to right, with letters for lower digits following that for higher ones, thus σμπ for 248 = 200 + 40 + 8.

Special symbols were used for fractions 1/2, 2/3, and 3/4 (see Table 2.5), while other unit fractions were written with a stroke on the top-left of the symbol corresponding to the denominator. This approach is however not a unique one and other ways to write fractions are also known (Heath 2003: 20–24).

Table 2.1: Alphabetic numerical notation

Note: Arabic alphabetic numerals are given for the western (Maghreb) system, with the eastern one in parentheses.

Table 2.2: Notation of large numerals in some alphabetic systems.

Asterisks denote suggested notation not confirmed in the available sources

The letters of the Coptic alphabet, being a descendant of Greek, were used to write numerals in a similar fashion. Some deviation can be observed in notation of thousands and myriads (Mallon 1907: 76–77), see Table 2.2: symbols correspond to 100 × 1,000 = 100,000, while denote 1,000 × 1,000 = 1,000,000, with another order is marked by an additional overline: for 10,000,000. It should be noted that, as it was usually for alphabetic systems of numerical notation, large numerals did not have a firmly established representation standard, and for instance Chrisomalis (2010: 136–137 and 148) cites only numerals up to 9,000 written just in the Greek fashion. The Coptic alphabetic numerals were mostly used from the fourth to the tenth centuries AD, but they still remain as a notation system within the Coptic Church.

Ethiopic number shapes are also of Greek origin, see Table 2.1. In this system, however, all the signs after ρ (100) are abandoned and larger numbers are formed by a multiplicative approach, with the number of hundreds placed before the sign ፻ for ‘100’. The next new sign was ፼, a ligature of two ፻, denoting 100 × 100 = 10,000. Occasionally, the symbol ሺ shi is used for ‘thousand’, but rather with western numerals, not with the Ethiopic ones. Large numerals can be obtained by the multiplicative principle (http://www.geez.org/Numerals/), see Table 2.2.

Two types of numerological notation are also associated with the Ethiopic script (http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html). One was almost directly copied from Hebrew Gematria, see Table 2.3. Note that values from 500 to 900 did not have a unique sign in the Hebrew system. The sign for 900 in the Ethiopic Gematria system is taken from the additional zemede series of signs for labiovelars, as does the sign for 1,000 (see Table 2.2). The symbol for 10,000 is alef-sadis /’ə/, while all the previously mentioned ones belong to geez series /-ä/.

The complete table of the Ethiopic script is used in the Debtera (Halehame) system, see Table 2.4. The first series ending in /-ä/ correspond to numerals 1 to 800, while in subsequent columns these values are multiplied by 2, 3, etc. to 7 for the /-o/ series. Thus the maximum value in this system is 5600. However, it seems that only the numbers from the first series were used in numerological calculations ( http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html ).

Table 2.3: Ethiopic Gematria compared to Hebrew and Greek alphabetic systems

For detailed description of Hebrew numerals, see Gandz (1932/33).

Table 2.4: Ethiopic Debtera (Halehame) system

In the tenth century AD an alphabetic system based on the cursive script evolved in Egypt. This system is known as “numerals of the Epakt”, Zimām numerals, or Coptic numerals (Chrisomalis 2010: 149–150). Except for the symbol shapes, the system is similar to Coptic and Greek alphabetic notations described above (see Tables 2.1, 2.2). The numbers were written left to right, with symbols for highest values place on the left. From available descriptions (Sesiano 1989 Goldstein & Pingree 1981) it does not become sufficiently clear how the numerals from ten million were formed. Zimām numerals survived as long as the seventeenth century, being later replaced by the Arabic positional numerals (Chrisomalis 2010: 152).

Arabic alphabetic notation spread in Africa together with Islam in the seventh century (Cajori 1928 Chrisomalis 2010). In main features, it resembles the Greek principle as the arrangement of letters mostly corresponds to the Greek order and not to that of the Arabic alphabet. The presence of the 28 th letter allowed the extension of the notation to thousands in a natural way, see Table 2.1. A simple multiplicative principle is known for the numbers over 1,000 (Cajori 1928: 29). Note that the Arabic alphabetic numerical notation is written the same direction as the script does, i.e. right to left with the highest values placed rightmost.

Rumi numerals known also as Fez numerals (from the city of Fez or Fes, Arabic فاس‎, a city in Morocco) were used around this area starting from the sixteenth century AD (Chrisomalis 2010: 171). This notation system originated in Spain among the Arabic Christians of Toledo in 12–13 th centuries. The numerals are written right to left. Due to cursive writing, the shapes of symbols vary a lot, some generic ones are shown in Table 2.1. Both shapes and structure of the Rumi numeral notation demonstrate influence from Greek, Coptic, Zimām, and Arabic alphabetic system. For instance, there is no mark for multiplication by 10,000, which is the case in Greek, Coptic, and Zimām systems, but not in the Arabic one, where only multiplication by 1,000 is relevant.

In the Rumi notation special marks were also used for fractions, see Table 2.5 (Lazrek 2006).

Table 2.5: Fractions in Greek and Rumi alphabetic numerical notation systems

There is a modern alphabet for Wolof with letters having numerical values. This script is briefly described in the following section. It is not known how the alphabetic numerals are used in this writing system and what are the principles of representing numbers over 100. For the symbol set with phonetic values of letters see two last columns in Table 2.1.


Haskell Could not find module `System'

I'm new with Haskell and have trouble with its package.

I want to import System.Random but

Could not find module `System.Random'

Then I tried to import System but

Could not find module `System'.

It is a member of the hidden package `haskell98-2.0.0.0'.

I tried to search this problem, but those solutions still don't work.

As this said, I tried to install cabal on my Mac OS X using MacPort, but

Error: The following dependencies were not installed: ghc Error: Status 1 encountered during processing.

I have installed Haskell Platform and can use ghci in command-line. GHCi, version 7.2.1

Then I tried to use ghc-pkg expose haskell98-2.0.0.0 as this one says.

But this time, I can't even run ghci.

Top level:

Ambiguous interface for `Prelude':

it was found in multiple packages: base haskell98-2.0.0.0


This volume deals with novel high-quality research results of a wide class of mathematical models with applications in engineering, nature, and social sciences. Analytical and numeric, deterministic and uncertain dimensions are treated. Complex and multidisciplinary models are included. Innovation and challenge are welcome. Among the examples of treated problems, we include problems coming out of finance, engineering, social sciences, physics, biology and politics. Novelty arises with respect to both the mathematical treatment of the problem and, from within a given mathematical problem, the treatment of the problem.

Prof. Dr. Lucas Jódar
Prof. Dr. Rafael Company
Guest Editors

Manuscript Submission Information

Manuscripts should be submitted online at www.mdpi.com by registering and logging in to this website. Once you are registered, click here to go to the submission form. Manuscripts can be submitted until the deadline. All papers will be peer-reviewed. Accepted papers will be published continuously in the journal (as soon as accepted) and will be listed together on the special issue website. Research articles, review articles as well as short communications are invited. For planned papers, a title and short abstract (about 100 words) can be sent to the Editorial Office for announcement on this website.

Submitted manuscripts should not have been published previously, nor be under consideration for publication elsewhere (except conference proceedings papers). All manuscripts are thoroughly refereed through a single-blind peer-review process. A guide for authors and other relevant information for submission of manuscripts is available on the Instructions for Authors page. Matemáticas is an international peer-reviewed open access semimonthly journal published by MDPI.

Please visit the Instructions for Authors page before submitting a manuscript. The Article Processing Charge (APC) for publication in this open access journal is 1600 CHF (Swiss Francs). Submitted papers should be well formatted and use good English. Authors may use MDPI's English editing service prior to publication or during author revisions.


Ver el vídeo: Second Syndrome - Atonal Music - peter edward burg (Noviembre 2021).