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8.3: La función Zeta de Riemann - Matemáticas


La función zeta de Riemann ( zeta (z) ) es una función analítica que es una función muy importante en la teoría analítica de números. Está (inicialmente) definido en algún dominio en el plano complejo por el tipo especial de serie de Dirichlet dado por [ zeta (z) = sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n ^ z}, ] donde (Re (z)> 1 ). Se puede verificar fácilmente que la serie dada converge localmente de manera uniforme y, por lo tanto, ( zeta (z) ) es de hecho analítica en el dominio en el plano complejo ( bf C ) definido por (Re (z) > 1 ), y que esta función no tiene cero en este dominio.

Primero probamos el siguiente resultado que se llama Fórmula del producto de Euler.

( zeta (z) ), como se define en la serie anterior, se puede escribir en la forma [ zeta (z) = prod_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} { left (1- frac {1} {p_n ^ z} right)}, ] donde ( {p_n } ) es la secuencia de todos los números primos.

sabiendo que si (| x | <1 ) entonces [ frac {1} {1-x} = sum_ {k = 0} ^ { infty} x ^ k, ] uno encuentra que cada término ( frac {1} {1- frac {1} {p_n ^ z}} ) en ( zeta (z) ) viene dado por [ frac {1} {1- frac {1} {p_n ^ z}} = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {1} {p_n ^ {kz}}, ] ya que cada (| 1 / p_n ^ z | <1 ) si (Re (z)> 1 ). Esto da eso para cualquier número entero (N ) [ begin {alineado} prod_ {n = 1} ^ N frac {1} { left (1- frac {1} {p_n ^ z} right )} & = & prod_ {n = 1} ^ N left (1+ frac {1} {p_n ^ z} + frac {1} {p_n ^ {2z}} + cdots right) nonumber & = & sum frac {1} {p_ {n_1} ^ {k_1z} cdots p_ {n_i} ^ {k_jz}} & = & sum frac {1} {n ^ z} nonumber end {alineado} ] donde (i ) va desde (1, cdots, N ), y (j ) va desde (0 ) a ( infty ), y por lo tanto los enteros (n ) en la tercera línea anterior abarcan todos los enteros cuya factorización de números primos consiste en un producto de potencias de los primos (p_1 = 2, cdots, p_N ). También tenga en cuenta que cada entero (n ) aparece solo una vez en la suma anterior.

Ahora, dado que la serie en la definición de ( zeta (z) ) converge absolutamente y el orden de los términos en la suma no importa para el límite, y dado que, eventualmente, todo entero (n ) aparece en el lado derecho de 8.15 como (N longrightarrow infty ), luego ( lim_ {N to infty} left [ sum frac {1} {n ^ z} nonumber right] _N = zeta (z) ). Además, ( lim_ {N to infty} prod_ {n = 1} ^ N frac {1} { left (1- frac {1} {p_n ^ z} right)} ) existe , y el resultado sigue.

La función zeta de Riemann ( zeta (z) ) como se define a través de la serie especial de Dirichlet anterior, se puede continuar analíticamente a una función analítica a través del plano complejo C excepto hasta el punto (z = 1 ), donde la función continua tiene un polo de orden 1. Así, la continuación de ( zeta (z) ) produce una función meromórfica en C con un polo simple en 1. El siguiente teorema da este resultado.

( zeta (z) ), como se definió anteriormente, se puede continuar meromórficamente en C, y se puede escribir en la forma ( zeta (z) = frac {1} {z-1} + f (z) ), donde (f (z) ) es entero.

Dada esta continuación de ( zeta (z) ), y también dada la ecuación funcional que satisface esta función continua, y que es [ zeta (z) = 2 ^ z pi ^ {z-1} sin left ( frac { pi z} {2} right) Gamma (1-z) zeta (1-z), ] (ver una prueba en), donde ( Gamma ) es la función gamma compleja, se puede deducir que la continuación ( zeta (z) ) tiene ceros en los puntos (z = -2, -4, -6, cdots ) ​​en el eje real negativo. Esto sigue como tal: La función gamma compleja ( Gamma (z) ) tiene polos en los puntos (z = -1, -2, -3, cdots ) ​​en la línea real negativa, y por lo tanto ( Gamma (1-z) ) debe tener polos en (z = 2,3, cdots ) ​​en el eje real positivo. Y dado que ( zeta (z) ) es analítico en estos puntos, entonces debe ser que ( sin left ( frac { pi z} {2} right) ) o ( zeta (1-z) ) debe tener ceros en los puntos (z = 2,3, cdots ) ​​para cancelar los polos de ( Gamma (1-z) ), y así hacer ( zeta (z) ) analítica en estos puntos. Y como ( sin left ( frac { pi z} {2} right) ) tiene ceros en (z = 2,4, cdots ), pero no en (z = 3,5 , cdots ), entonces debe ser que ( zeta (1-z) ) tenga ceros en (z = 3,5, cdots ). Esto da que ( zeta (z) ) tiene ceros en (z = -2, -4, -6 cdots ).

También se sigue de la ecuación funcional anterior, y del hecho mencionado anteriormente que ( zeta (z) ) no tiene ceros en el dominio donde (Re (z)> 1 ), que estos ceros en (z = -2, -4, -6 cdots ) ​​de ( zeta (z) ) son los únicos ceros que tienen partes reales menores que 0 o mayores que 1. Fue conjeturado por Riemann, La hipótesis de Riemann, que cada otro cero de ( zeta (z) ) en la franja restante (0 leq Re (z) leq 1 ), todos existen en la línea vertical (Re (z) = 1/2 ). Esta hipótesis se verificó para ceros en esta tira con módulo muy grande, pero permanece sin una prueba general. Se piensa que la consecuencia de la hipótesis de Riemann sobre la teoría de números, siempre que resulte cierta, es inmensa.


Propiedades de $ zeta (s) zeta (2s) zeta (3s) & hellip $

Consideremos la serie de Dirichlet $ f (s) = sum_^ infty a_n n ^ <-s> $, donde $ a_n $ es el número de grupos abelianos no isomorfos de orden $ n $. Ahora $ a_n $ es débilmente multiplicativo y $ a_= P (k) = $ número de partición de $ k $, entonces obtenemos $ f (s) = prod_

suma_^ infty P (k) p ^ <-ks> = prod_

pinchar_^ infty frac <1> <1-p ^ <-ks>> $ debido a la función generadora del número de partición. Entonces obtenemos $ f (s) = prod_^ infty zeta (k s) $ (donde todo converge absolutamente).
Entonces mi pregunta es: ¿qué se sabe sobre esta función? ¿Existe una ecuación funcional o una continuación analítica?
Muchas gracias.


La "hipótesis de Riemann" permanece abierta, aclara el instituto de matemáticas

"En lo que a mí respecta, la Hipótesis de Riemann permanece abierta", dijo Martin Bridson, presidente del Clay Mathematics Institute, cuando se le preguntó sobre la afirmación de Kumar Eswaran, con sede en Hyderabad, de resolver el problema que ha desconcertado a los matemáticos durante los últimos 162 años. La Hipótesis de Riemann es uno de los problemas del Premio del Milenio, para el cual el CMI había anunciado $ 1.000.000 desde sus inicios en 2000. Los problemas se consideran “cuestiones clásicas importantes que se han resistido a la solución durante años”.

La Hipótesis de Riemann, postulada por el matemático alemán G.F.B. Riemann, trata sobre números primos y su distribución. Si bien la distribución no sigue ningún patrón regular, Riemann creía que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con una ecuación llamada función Zeta de Riemann.

“Me sorprende el tono con el que publicaciones respetables en la India están tratando la afirmación de que la Hipótesis de Riemann ha sido probada. La especulación es precipitada y sería prudente investigar más seriamente acerca de por qué las principales revistas y especialistas en el campo no han aceptado esta prueba propuesta ”, dijo el Sr. Bridson.

La afirmación de Kumar Eswaran de resolver la ecuación ha estado en las noticias desde 2016. No se pudo contactar al Sr. Eswaran, que es miembro de la facultad del Instituto de Ciencia y Tecnología Sreenidhi, para hacer comentarios. "No recuerdo ningún contacto del autor y soy escéptico sobre el mérito del proceso de revisión al que se alude en los periódicos", dijo el Sr. Bridson, quien dijo que el instituto sería escrupuloso en seguir las reglas establecidas para evaluar las afirmaciones de que uno de los Premios del Milenio.

En el sitio web del Clay Mathematics Institute, la última palabra sobre la Hipótesis de Riemann es: “El problema no está resuelto”.


Introducción

Entre varios tipos de funciones zeta en matemáticas, una de las funciones zeta más famosas e importantes es la función zeta de Riemann. Para (s = sigma + i t in mathbb) con ( sigma & gt1 ), la función zeta de Riemann se define como la serie infinita absolutamente convergente

Es bien sabido que esta función admite una continuación analítica para todo el plano complejo ( mathbb), tiene una fórmula de producto de Euler y satisface una ecuación funcional.

Recientemente, Xin [6] inició el estudio de una suma recíproca relacionada con ( zeta (2) ) y ( zeta (3) ), y demostró las siguientes dos igualdades: para cualquier entero positivo norte, tenemos

donde ([x] ) denota el mayor entero que es menor o igual que X. Una observación básica de este resultado es que tanto (n-1 ) como (2n (n-1) ) son polinomios en la variable norte. Xin [6] también propuso un problema natural de determinar la existencia de una fórmula computacional explícita para ([( sum_^ < infty> frac <1><>>) ^ <-1>] ) para un número entero (s geq 4 ). En un intento por resolver este problema, Xin y Xiaoxue [7] propusieron una fórmula computacional para el caso (s = 4 ), y Xu [8] demostró dos fórmulas computacionales que están relacionadas con la función zeta de Riemann en (s = 4, 5 ), utilizando un método ligeramente diferente al de [7]. Además, los autores [3] introdujeron una fórmula explícita para el caso (s = 6 ), que depende del residuo de norte módulo 48.

Ahora, si restringimos nuestra atención a algunos números racionales (0 & lt s & lt1 ), entonces tenemos la siguiente lista de valores de la función zeta de Riemann:

Podemos hacer una pregunta similar para el caso cuando s es un número racional en la franja crítica. Para ello, para un entero (n geq 1 ) y un número real s con (0 & lt s & lt1 ), dejamos


8.3: La función Zeta de Riemann - Matemáticas

La función zeta de Riemann
La función zeta de Riemann & # 950 (s) es una función de una variable compleja s = a + bi


Función Dirichlet Eta [Archivo Doc] Producto Euler [archivo de documento] Función Gamma [Archivo Doc] Producto infinito [archivo de documento] Fórmula de reflexión [archivo de documento]
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Tabla de funciones Zeta (modo simple)

& # 950 (-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 +. + n +20 = (0) + (1/21) * n 21 + (1/2) * n 20 + (1/12) (20) * n 19 + (0) n 18 - (1/120) (1140) * n 17 + (0) n 16 + (1/252) (15504) * n 15 + (0) n 14 - (1/240) (77520) * n 13 + (0) n 12 + (1/132) (167960) * n 11 + (0) n 10 - (691/32760) (167960) * n 9 + (0) n 8 + (1/12) (77520) * n 7 + (0) n 6 - ( 3617/8160) (15504) * n 5 + (0) n 4 + (43867/14364) (1140) * n 3 + (0) n 2 - (174611/6600) (20) * n 1 + (0) n 0
& # 950 (-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 +. + n +19 = (174611/6600) + (1/20) * n 20 + (1/2) * n 19 + (1/12) (19) * n 18 + (0) n 17 - (1/120) (969 ) * n 16 + (0) n 15 + (1/252) (11628) * n 14 + (0) n 13 - (1/240) (50388) * n 12 + (0) n 11 + (1 / 132) (92378) * n 10 + (0) n 9 - (691/32760) (75582) * n 8 + (0) n 7 + (1/12) (27132) * n 6 + (0) n 5 - (3617/8160) (3876) * n 4 + (0) n 3 + (43867/14364) (171) * n 2 + (0) n 1 - (174611/6600) (1) * n 0
& # 950 (-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 +. + n +18 = (0) + (1/19) * n 19 + (1/2) * n 18 + (1/12) (18) * n 17 + (0) n 16 - (1/120) (816) * n 15 + (0) n 14 + (1/252) (8568) * n 13 + (0) n 12 - (1/240) (31824) * n 11 + (0) n 10 + (1/132) (48620) * n 9 + (0) n 8 - (691/32760) (31824) * n 7 + (0) n 6 + (1/12) (8568) * n 5 + (0) n 4 - ( 3617/8160) (816) * n 3 + (0) n 2 + (43867/14364) (18) * n 1 + (0) n 0
& # 950 (-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 +. + n +17 = - (43867/14364) + (1/18) * n 18 + (1/2) * n 17 + (1/12) (17) * n 16 + (0) n 15 - (1/120) ( 680) * n 14 + (0) n 13 + (1/252) (6188) * n 12 + (0) n 11 - (1/240) (19448) * n 10 + (0) n 9 + (1 / 132) (24310) * n 8 + (0) n 7 - (691/32760) (12376) * n 6 + (0) n 5 + (1/12) (2380) * n 4 + (0) n 3 - (3617/8160) (136) * n 2 + (0) n 1 + (43867/14364) (1) * n 0
& # 950 (-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 +. + n +16 = (0) + (1/17) * n 17 + (1/2) * n 16 + (1/12) (16) * n 15 + (0) n 14 - (1/120) (560) * n 13 + (0) n 12 + (1/252) (4368) * n 11 + (0) n 10 - (1/240) (11440) * n 9 + (0) n 8 + (1/132) (11440) * n 7 + (0) n 6 - (691/32760) (4368) * n 5 + (0) n 4 + (1/12) (560) * n 3 + (0) n 2 - ( 3617/8160) (16) * n 1 + (0) n 0
& # 950 (-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 +. + n +15 = (3617/8160) + (1/16) * n 16 + (1/2) * n 15 + (1/12) (15) * n 14 + (0) n 13 - (1/120) (455 ) * n 12 + (0) n 11 + (1/252) (3003) * n 10 + (0) n 9 - (1/240) (6435) * n 8 + (0) n 7 + (1 / 132) (5005) * n 6 + (0) n 5 - (691/32760) (1365) * n 4 + (0) n 3 + (1/12) (105) * n 2 + (0) n 1 - (3617/8160) (1) * n 0
& # 950 (-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 +. + n +14 = (0) + (1/15) * n 15 + (1/2) * n 14 + (1/12) (14) * n 13 + (0) n 12 - (1/120) (364) * n 11 + (0) n 10 + (1/252) (2002) * n 9 + (0) n 8 - (1/240) (3432) * n 7 + (0) n 6 + (1/132) (2002) * n 5 + (0) n 4 - (691/32760) (364) * n 3 + (0) n 2 + (1/12) (14) * n 1 + (0) n 0
& # 950 (-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 +. + n +13 = - (1/12) + (1/14) * n 14 + (1/2) * n 13 + (1/12) (13) * n 12 + (0) n 11 - (1/120) ( 286) * n 10 + (0) n 9 + (1/252) (1287) * n 8 + (0) n 7 - (1/240) (1716) * n 6 + (0) n 5 + (1 / 132) (715) * n 4 + (0) n 3 - (691/32760) (78) * n 2 + (0) n 1 + (1/12) (1) * n 0
& # 950 (-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 +. + n +12 = (0) + (1/13) * n 13 + (1/2) * n 12 + (1/12) (12) * n 11 + (0) n 10 - (1/120) (220) * n 9 + (0) n 8 + (1/252) (792) * n 7 + (0) n 6 - (1/240) (792) * n 5 + (0) n 4 + (1/132) (220) * n 3 + (0) n 2 - (691/32760) (12) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (105n 10 + 525n 9 + 525n 8 -1050n 7 -1190n 6 + 2310n 5 + 1420n 4 -3285n 3 -287n 2 + 2073n-691) / 455
& # 950 (-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 +. + n +11 = (691/32760) + (1/12) * n 12 + (1/2) * n 11 + (1/12) (11) * n 10 + (0) n 9 - (1/120) (165 ) * n 8 + (0) n 7 + (1/252) (462) * n 6 + (0) n 5 - (1/240) (330) * n 4 + (0) n 3 + (1 / 132) (55) * n 2 + (0) n 1 - (691/32760) (1) * n 0 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 8 + 8n 7 + 4n 6 -16n 5 -5n 4 + 26n 3 -3n 2 -20n + 10) / 6
& # 950 (-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 +. + n +10 = (0) + (1/11) * n 11 + (1/2) * n 10 + (1/12) (10) * n 9 + (0) n 8 - (1/120) (120) * n 7 + (0) n 6 + (1/252) (252) * n 5 + (0) n 4 - (1/240) (120) * n 3 + (0) n 2 + (1/132) (10) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (n 2 + n-1) * (3n 6 + 9n 5 + 2n 4 -11n 3 + 3n 2 + 10n-5) / 11
& # 950 (-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 +. + n +9 = - (1/132) + (1/10) * n 10 + (1/2) * n 9 + (1/12) (9) * n 8 + (0) n 7 - (1/120) ( 84) * n 6 + (0) n 5 + (1/252) (126) * n 4 + (0) n 3 - (1/240) (36) * n 2 + (0) n 1 + (1 / 132) (1) * n 0 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (n 2 + n-1) * (2n 4 + 4n 3 -n 2 -3n + 3) / 5
& # 950 (-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 +. + n +8 = (0) + (1/9) * n 9 + (1/2) * n 8 + (1/12) (8) * n 7 + (0) n 6 - (1/120) (56) * n 5 + (0) n 4 + (1/252) (56) * n 3 + (0) n 2 - (1/240) (8) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (5n 6 + 15n 5 + 5n 4 -15n 3 -n 2 + 9n-3) / 15
& # 950 (-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 +. + n +7 = (1/240) + (1/8) * n 8 + (1/2) * n 7 + (1/12) (7) * n 6 + (0) n 5 - (1/120) (35 ) * n 4 + (0) n 3 + (1/252) (21) * n 2 + (0) n 1 - (1/240) (1) * n 0 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2) / 6
& # 950 (-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 +. + n +6 = (0) + (1/7) * n 7 + (1/2) * n 6 + (1/12) (6) * n 5 + (0) n 4 - (1/120) (20) * n 3 + (0) n 2 + (1/252) (6) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 4 + 6n 3 -3n + 1) / 7
& # 950 (-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 +. + n +5 = - (1/252) + (1/6) * n 6 + (1/2) * n 5 + (1/12) (5) * n 4 + (0) n 3 - (1/120) ( 10) * n 2 + (0) n 1 + (1/252) (1) * n 0 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 2 + 2n-1) / 3
& # 950 (-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 +. + n +4 = (0) + (1/5) * n 5 + (1/2) * n 4 + (1/12) (4) * n 3 + (0) n 2 - (1/120) (4) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 2 + 3n-1) / 5
& # 950 (-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 +. + n +3 = (1/120) + (1/4) * n 4 + (1/2) * n 3 + (1/12) (3) * n 2 + (0) n 1 - (1/120) (1 ) * n 0 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2
& # 950 (-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 +. + n +2 = (0) + (1/3) * n 3 + (1/2) * n 2 + (1/12) (2) * n 1 + (0) n 0 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3
& # 950 (-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 +. + n +1 = - (1/12) + (1/2) * n 2 + (1/2) * n 1 + (1/12) (1) * n 0 = n (n + 1) / 2
& # 950 (0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 +. + n 0 = - (1/2) + (1/1) * n 1 + (1/2) * n 0 = n

Fórmula de Faulhaber [Archivo de documento] Mi corrección para
Números de Bernoulli [archivo de documento]
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Tabla de funciones Zeta (modo avanzado)

Aquí está mi Tabla de modo avanzado:

& # 950 (-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 +. + n +20 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((20)! / (20- (-1))! / (-1)!) * N 20- (-1) + ( 1/2) * n 20-0 + (1/12) (20! / (20-1)! / 1!) * N 20-1 + (0) n 20-2 + ​​(-1) (1 / 120) (20! / (20-3)! / 3!) * N 20-3 + (0) n 20-4 + (1/252) (20! / (20-5)! / 5!) * n 20-5 + (0) n 20-6 + (-1) (1/240) (20! / (20-7)! / 7!) * n 20-7 + (0) n 20-8 + (1/132) (20! / (20-9)! / 9!) * N 20- 9 + (0) n 20-10 + (-1) (691/32760) (20! / (20-11 )! / 11!) * N 20-11 + (0) n 20-12 + (1/12) (20! / (20-13)! / 13!) * N 20-13 + (0) n 20 -14 + (-1) (3617/8160) (20! / (20-15)! / 15!) * N 20-15 + (0) n 20-16 + (43867/14364) (20! / ( 20-17)! / 17!) * N 20-17 + (0) n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20! / (20-19)! / 19!) * N 20- 19 + (0) n 20-20
& # 950 (-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 +. + n +19 = - (-1) (174611/6600) + (-1) (- (- 1)!) ((19)! / (19- (-1))! / (-1)!) * N 19- (-1) + (1/2) * n 19-0 + (1/12) (19! / (19-1)! / 1!) * N 19-1 + (0) n 19-2 + ( -1) (1/120) (19! / (19-3)! / 3!) * N 19-3 + (0) n 19-4 + (1/252) (19! / (19-5) ! / 5!) * N 19- 5 + (0) n 19-6 + (-1) (1/240) (19! / (19-7)! / 7!) * N 19- 7 + (0 ) n 19-8 + (1/132) (19! / (19-9)! / 9!) * n 19- 9 + (0) n 19-10 + (-1) (691/32760) (19 ! / (19-11)! / 11!) * N 19-11 + (0) n 19-12 + (1/12) (19! / (19-13)! / 13!) * N 19-13 + (0) n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19! / (19-15)! / 15!) * N 19-15 + (0) n 19-16 + (43867/14364 ) (19! / (19-17)! / 17!) * N 19-17 + (0) n 19-18 + (-1) (174611/6600) (19! / (19-19)! / 19 !) * n 19-19
& # 950 (-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 +. + n +18 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((18)! / (18- (-1))! / (-1)!) * N 18- (-1) + ( 1/2) * n 18-0 + (1/12) (18! / (18-1)! / 1!) * N 18-1 + (0) n 18-2 + (-1) (1 / 120) (18! / (18-3)! / 3!) * N 18-3 + (0) n 18-4 + (1/252) (18! / (18-5)! / 5!) * n 18-5 + (0) n 18-6 + (-1) (1/240) (18! / (18-7)! / 7!) * n 18-7 + (0) n 18-8 + (1/132) (18! / (18-9)! / 9!) * N 18-9 + (0) n 18-10 + (-1) (691/32760) (18! / (18-11 )! / 11!) * N 18-11 + (0) n 18-12 + (1/12) (18! / (18-13)! / 13!) * N 18-13 + (0) n 18 -14 + (-1) (3617/8160) (18! / (18-15)! / 15!) * N 18-15 + (0) n 18-16 + (43867/14364) (18! / ( 18-17)! / 17!) * N 18-17 + (0) n 18-18
& # 950 (-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 +. + n +17 = - (43867/14364) + (-1) (- (- 1)!) ((17)! / (17- (-1))! / (-1)!) * N 17- (-1) + (1/2) * n 17-0 + (1/12) (17! / (17-1)! / 1!) * N 17-1 + (0) n 17-2 + (-1) ( 1/120) (17! / (17-3)! / 3!) * N 17-3 + (0) n 17-4 + (1/252) (17! / (17-5)! / 5! ) * n 17-5 + (0) n 17-6 + (-1) (1/240) (17! / (17-7)! / 7!) * n 17-7 + (0) n 17- 8 + (1/132) (17! / (17-9)! / 9!) * N 17- 9 + (0) n 17-10 + (-1) (691/32760) (17! / (17 - 11)! / 11!) * N 17-11 + (0) n 17-12 + (1/12) (17! / (17-13)! / 13!) * N 17-13 + (0) n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17! / (17-15)! / 15!) * n 17-15 + (0) n 17-16 + (43867/14364) (17! / (17-17)! / 17!) * N 17-17
& # 950 (-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 +. + n +16 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((16)! / (16- (-1))! / (-1)!) * N 16- (-1) + ( 1/2) * n 16-0 + (1/12) (16! / (16-1)! / 1!) * N 16-1 + (0) n 16-2 + (-1) (1 / 120) (16! / (16-3)! / 3!) * N 16- 3 + (0) n 16-4 + (1/252) (16! / (16-5)! / 5!) * n 16-5 + (0) n 16-6 + (-1) (1/240) (16! / (16- 7)! / 7!) * n 16- 7 + (0) n 16-8 + (1/132) (16! / (16-9)! / 9!) * N 16- 9 + (0) n 16-10 + (-1) (691/32760) (16! / (16-11 )! / 11!) * N 16-11 + (0) n 16-12 + (1/12) (16! / (16-13)! / 13!) * N 16-13 + (0) n 16 -14 + (-1) (3617/8160) (16! / (16-15)! / 15!) * N 16-15 + (0) n 16-16
& # 950 (-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 +. + n +15 = - (-1) (3617/8160) + (-1) (- (- 1)!) ((15)! / (15- (-1))! / (-1)!) * N 15- (-1) + (1/2) * n 15-0 + (1/12) (15! / (15-1)! / 1!) * N 15-1 + (0) n 15-2 + ( -1) (1/120) (15! / (15-3)! / 3!) * N 15-3 + (0) n 15-4 + (1/252) (15! / (15-5) ! / 5!) * N 15- 5 + (0) n 15-6 + (-1) (1/240) (15! / (15-7)! / 7!) * N 15-7 + (0 ) n 15-8 + (1/132) (15! / (15-9)! / 9!) * n 15-9 + (0) n 15-10 + (-1) (691/32760) (15 ! / (15-11)! / 11!) * N 15-11 + (0) n 15-12 + (1/12) (15! / (15-13)! / 13!) * N 15-13 + (0) n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15! / (15-15)! / 15!) * N 15-15
& # 950 (-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 +. + n +14 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((14)! / (14- (-1))! / (-1)!) * N 14- (-1) + ( 1/2) * n 14-0 + (1/12) (14! / (14-1)! / 1!) * N 14-1 + (0) n 14-2 + (-1) (1 / 120) (14! / (14-3)! / 3!) * N 14-3 + (0) n 14-4 + (1/252) (14! / (14-5)! / 5!) * n 14-5 + (0) n 14-6 + (-1) (1/240) (14! / (14- 7)! / 7!) * n 14- 7 + (0) n 14-8 + (1/132) (14! / (14-9)! / 9!) * N 14- 9 + (0) n 14-10 + (-1) (691/32760) (14! / (14-11 )! / 11!) * N 14-11 + (0) n 14-12 + (1/12) (14! / (14-13)! / 13!) * N 14-13 + (0) n 14 -14
& # 950 (-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 +. + n +13 = - (1/12) + (-1) (- (- 1)!) ((13)! / (13- (-1))! / (-1)!) * N 13- (-1) + (1/2) * n 13-0 + (1/12) (13! / (13-1)! / 1!) * N 13-1 + (0) n 13-2 + (-1) ( 1/120) (13! / (13-3)! / 3!) * N 13-3 + (0) n 13-4 + (1/252) (13! / (13-5)! / 5! ) * n 13- 5 + (0) n 13-6 + (-1) (1/240) (13! / (13- 7)! / 7!) * n 13- 7 + (0) n 13- 8 + (1/132) (13! / (13-9)! / 9!) * N 13- 9 + (0) n 13-10 + (-1) (691/32760) (13! / (13 - 11)! / 11!) * N 13-11 + (0) n 13-12 + (1/12) (13! / (13-13)! / 13!) * N 13-13
& # 950 (-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 +. + n +12 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((12)! / (12- (-1))! / (-1)!) * N 12- (-1) + ( 1/2) * n 12-0 + (1/12) (12! / (12-1)! / 1!) * N 12-1 + (0) n 12-2 + (-1) (1 / 120) (12! / (12-3)! / 3!) * N 12- 3 + (0) n 12-4 + (1/252) (12! / (12-5)! / 5!) * n 12-5 + (0) n 12-6 + (-1) (1/240) (12! / (12-7)! / 7!) * n 12- 7 + (0) n 12-8 + (1/132) (12! / (12-9)! / 9!) * N 12- 9 + (0) n 12-10 + (-1) (691/32760) (12! / (12-11 )! / 11!) * N 12-11 + (0) n 12-12 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (105n 10 + 525n 9 + 525n 8 -1050n 7 -1190n 6 + 2310n 5 + 1420n 4 -3285n 3 -287n 2 + 2073n-691) / 455
& # 950 (-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 +. + n +11 = - (-1) (691/32760) + (-1) (- (- 1)!) ((11)! / (11- (-1))! / (-1)!) * N 11- (-1) + (1/2) * n 11-0 + (1/12) (11! / (11-1)! / 1!) * N 11-1 + (0) n 11-2 + ( -1) (1/120) (11! / (11-3)! / 3!) * N 11-3 + (0) n 11-4 + (1/252) (11! / (11-5) ! / 5!) * N 11- 5 + (0) n 11-6 + (-1) (1/240) (11! / (11- 7)! / 7!) * N 11- 7 + (0 ) n 11-8 + (1/132) (11! / (11-9)! / 9!) * n 11-9 + (0) n 11-10 + (-1) (691/32760) (11 ! / (11-11)! / 11!) * N 11-11 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 8 + 8n 7 + 4n 6 -16n 5 -5n 4 + 26n 3 -3n 2 -20n + 10) / 6
& # 950 (-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 +. + n +10 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((10)! / (10- (-1))! / (-1)!) * N 10- (-1) + ( 1/2) * n 10-0 + (1/12) (10! / (10-1)! / 1!) * N 10-1 + (0) n 10-2 + ​​(-1) (1 / 120) (10! / (10-3)! / 3!) * N 10-3 + (0) n 10-4 + (1/252) (10! / (10-5)! / 5!) * n 10-5 + (0) n 10-6 + (-1) (1/240) (10! / (10-7)! / 7!) * n 10-7 + (0) n 10-8 + (1/132) (10! / (10-9)! / 9!) * N 10-9 + (0) n 10-10 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (n 2 + n-1) * (3n 6 + 9n 5 + 2n 4 -11n 3 + 3n 2 + 10n-5) / 11
& # 950 (-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 +. + n +9 = - (1/132) + (-1) (- (- 1)!) ((9)! / (9- (-1))! / (-1)!) * N 9- (-1) + (1/2) * n 9-0 + (1/12) (9! / (9-1)! / 1!) * N 9-1 + (0) n 9-2 + (-1) ( 1/120) (9! / (9-3)! / 3!) * N 9-3 + (0) n 9-4 + (1/252) (9! / (9-5)! / 5! ) * n 9- 5 + (0) n 9-6 + (-1) (1/240) (9! / (9- 7)! / 7!) * n 9- 7 + (0) n 9- 8 + (1/132) (9! / (9-9)! / 9!) * N 9- 9 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (n 2 + n-1) * (2n 4 + 4n 3 -n 2 -3n + 3) / 5
& # 950 (-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 +. + n +8 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((8)! / (8- (-1))! / (-1)!) * N 8- (-1) + ( 1/2) * n 8-0 + (1/12) (8! / (8-1)! / 1!) * N 8-1 + (0) n 8-2 + (-1) (1 / 120) (8! / (8-3)! / 3!) * N 8-3 + (0) n 8-4 + (1/252) (8! / (8-5)! / 5!) * n 8-5 + (0) n 8-6 + (-1) (1/240) (8! / (8-7)! / 7!) * n 8-7 + (0) n 8-8 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (5n 6 + 15n 5 + 5n 4 -15n 3 -n 2 + 9n-3) / 15
& # 950 (-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 +. + n +7 = - (-1) (1/240) + (-1) (- (- 1)!) ((7)! / (7- (-1))! / (-1)!) * N 7- (-1) + (1/2) * n 7-0 + (1/12) (7! / (7- 1)! / 1!) * N 7- 1 + (0) n 7-2 + ( -1) (1/120) (7! / (7-3)! / 3!) * N 7- 3 + (0) n 7-4 + (1/252) (7! / (7- 5) ! / 5!) * N 7-5 + (0) n 7-6 + (-1) (1/240) (7! / (7-7)! / 7!) * N 7- 7 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2) / 6
& # 950 (-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 +. + n +6 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((6)! / (6- (-1))! / (-1)!) * N 6- (-1) + ( 1/2) * n 6-0 + (1/12) (6! / (6- 1)! / 1!) * N 6- 1 + (0) n 6-2 + (-1) (1 / 120) (6! / (6-3)! / 3!) * N 6- 3 + (0) n 6-4 + (1/252) (6! / (6-5)! / 5!) * n 6- 5 + (0) n 6-6 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 4 + 6n 3 -3n + 1) / 7
& # 950 (-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 +. + n +5 = - (1/252) + (-1) (- (- 1)!) ((5)! / (5- (-1))! / (-1)!) * N 5- (-1) + (1/2) * n 5-0 + (1/12) (5! / (5- 1)! / 1!) * N 5- 1 + (0) n 5-2 + (-1) ( 1/120) (5! / (5-3)! / 3!) * N 5- 3 + (0) n 5-4 + (1/252) (5! / (5- 5)! / 5! ) * n 5- 5 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 2 + 2n-1) / 3
& # 950 (-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 +. + n +4 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((4)! / (4- (-1))! / (-1)!) * N 4- (-1) + ( 1/2) * n 4-0 + (1/12) (4! / (4- 1)! / 1!) * N 4- 1 + (0) n 4-2 + (-1) (1 / 120) (4! / (4-3)! / 3!) * N 4- 3 + (0) n 4-4 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 2 + 3n-1) / 5
& # 950 (-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 +. + n +3 = - (-1) (1/120) + (-1) (- (- 1)!) ((3)! / (3- (-1))! / (-1)!) * N 3- (-1) + (1/2) * n 3-0 + (1/12) (3! / (3- 1)! / 1!) * N 3- 1 + (0) n 3-2 + ( -1) (1/120) (3! / (3-3)! / 3!) * N 3- 3 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2
& # 950 (-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 +. + n +2 = - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((2)! / (2- (-1))! / (-1)!) * N 2- (-1) + ( 1/2) * n 2-0 + (1/12) (2! / (2- 1)! / 1!) * N 2- 1 + (0) n 2-2 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3
& # 950 (-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 +. + n +1 = - (1/12) + (-1) (- (- 1)!) ((1)! / (1- (-1))! / (-1)!) * N 1- (-1) + (1/2) * n 1-0 + (1/12) (1! / (1- 1)! / 1!) * N 1- 1 = n (n + 1) / 2
& # 950 (0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 +. + n 0 = - (1/2) + (-1) (- (- 1)!) ((0)! / (0- (-1))! / (-1)!) * N 0- (-1) + (1/2) * n 0-0 = n
& # 950 (+1) = 1-1 + 2-1 + 3-1 +. + n -1 = - (-1) (- (- 1)!) + (-1) (- (- 1)!) ((-1)! / (- 1- (-1))! / (-1)! ) * n -1- (-1) + ln (n + 1) -1 / (2n + 2) +0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694. A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) = π 2 / 6 = 1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870. A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) + . = & # 960 3 / 25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251. A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525. A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) = π 4 / 90 = 1.08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991. A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) + . = & # 960 5 / 295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455. A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333. A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517. A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) + . = & # 960 7 / 2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452. A309927 = 1.00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132. A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197. A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) + . = & # 960 9 / 29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377. A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958. A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565. A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) + . = & # 960 11 / 294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487. A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062. A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069. A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) + . = & # 960 13 / 2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094. Sin OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813. A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846. A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) + . = & # 960 15 / 28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668. Sin OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754. A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1.00001528225940865187173257148763672202323738899047153115310520358878708702795315178628560484632246. A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) + . = & # 960 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670. Sin OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667. A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964. A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) + . = & # 960 19 / 2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359. Sin OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630. A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.00000095396203387279611315203868344934594379418741059575005648985113751373114390025783609797638747. A013678

¡Hice una corrección para el énfasis de los números de Bernoulli en el primer índice -1 inicial que es - (- 1)!
ese resultado lo obtuve al expandir el coeficiente 1 / (m + 1) a la forma correcta (-1) (B-1) (m! / (m - (- 1))! / (- 1)!)
¡También obtengo el resultado correcto de -1/2 al usar el resultado de expansión - (- 1)! en la ecuación funcional

Estoy de acuerdo en que el siguiente paso podría ser controvertido, pero parece funcionar. por eso lo puse aquí
esto no es una prueba, sino solo una forma de mostrarle que parece funcionar también. ¡Lo sé (-1)! ¡es indefinido!
pero también los números imaginarios no estaban definidos en algún momento y ahora también estás dividiendo números imaginarios

Nota importante: - (- 1)! no es la suma de la serie armónica es el valor de continuación analítico de & # 950 (1)
(que es una buena forma de mostrarte un polo)

Tabla de funciones Zeta (modo experimental)

Aquí está mi Tabla de modo experimental:

¡así es como lo veo! Espero que lo disfrutes y lo aprecies. esto fue difícil de hacer como está ahora en su forma final
Note por favor mi corrección para los números de Bernoulli! mi índice para B comienza desde -1 a n-1
Tenga en cuenta que b-1 = - (- 1)! que representa el polo en 1
también asegúrate de ver el truco que hice en la línea & # 950 (0) cómo configuré todos los lugares pares en cero
y resalté la parte (2-1) & # 960 0 * (2-1) / (- 1)! * (- (- 1)!) - (0) que implica de dónde "viene" el 1/2

& # 950 (-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 +. + n +20 = & # 960-20 * 2-21 / (-21)! * (& # 177 (-21)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((20)! / (20- (-1))! / (-1 )!) * n 20- (-1) + (1/2) * n 20-0 + (1/12) (20! / (20-1)! / 1!) * n 20-1 + (0 ) n 20-2 + ​​(-1) (1/120) (20! / (20-3)! / 3!) * n 20-3 + (0) n 20-4 + (1/252) (20 ! / (20-5)! / 5!) * N 20-5 + (0) n 20-6 + (-1) (1/240) (20! / (20-7)! / 7!) * n 20-7 + (0) n 20-8 + (1/132) (20! / (20-9)! / 9!) * n 20- 9 + (0) n 20-10 + (-1) (691/32760) (20! / (20-11)! / 11!) * N 20-11 + (0) n 20-12 + (1/12) (20! / (20-13)! / 13 !) * n 20-13 + (0) n 20-14 + (-1) (3617/8160) (20! / (20-15)! / 15!) * n 20-15 + (0) n 20 -16 + (43867/14364) (20! / (20-17)! / 17!) * N 20-17 + (0) n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20! / ( 20-19)! / 19!) * N 20-19 + (0) n 20-20
& # 950 (-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 +. + n +19 = & # 960-19 * 2-20 / (-20)! * (& # 177 (-20)!) (0) - (-1) (174611/6600) + (-1) (- (- 1)!) ((19)! / (19- (-1) )! / (-1)!) * N 19- (-1) + (1/2) * n 19-0 + (1/12) (19! / (19-1)! / 1!) * N 19-1 + (0) n 19-2 + (-1) (1/120) (19! / (19-3)! / 3!) * N 19-3 + (0) n 19-4 + ( 1/252) (19! / (19-5)! / 5!) * N 19-5 + (0) n 19-6 + (-1) (1/240) (19! / (19-7) ! / 7!) * N 19- 7 + (0) n 19-8 + (1/132) (19! / (19-9)! / 9!) * N 19- 9 + (0) n 19- 10 + (-1) (691/32760) (19! / (19-11)! / 11!) * N 19-11 + (0) n 19-12 + (1/12) (19! / (19 - 13)! / 13!) * N 19-13 + (0) n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19! / (19-15)! / 15!) * N 19-15 + (0) n 19-16 + (43867/14364) (19! / (19-17)! / 17!) * N 19-17 + (0) n 19-18 + (-1) (174611/6600 ) (19! / (19-19)! / 19!) * N 19-19
& # 950 (-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 +. + n +18 = & # 960-18 * 2-19 / (-19)! * (& # 177 (-19)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((18)! / (18- (-1))! / (-1 )!) * n 18- (-1) + (1/2) * n 18-0 + (1/12) (18! / (18-1)! / 1!) * n 18-1 + (0 ) n 18-2 + (-1) (1/120) (18! / (18-3)! / 3!) * n 18-3 + (0) n 18-4 + (1/252) (18 ! / (18-5)! / 5!) * N 18-5 + (0) n 18-6 + (-1) (1/240) (18! / (18-7)! / 7!) * n 18-7 + (0) n 18-8 + (1/132) (18! / (18- 9)! / 9!) * n 18- 9 + (0) n 18-10 + (-1) (691/32760) (18! / (18-11)! / 11!) * N 18-11 + (0) n 18-12 + (1/12) (18! / (18-13)! / 13 !) * n 18-13 + (0) n 18-14 + (-1) (3617/8160) (18! / (18-15)! / 15!) * n 18-15 + (0) n 18 -16 + (43867/14364) (18! / (18-17)! / 17!) * N 18-17 + (0) n 18-18
& # 950 (-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 +. + n +17 = & # 960-17 * 2-18 / (-18)! * (& # 177 (-18)!) (0) - (43867/14364) + (-1) (- (- 1)!) ((17)! / (17- (-1))! / ( -1)!) * N 17- (-1) + (1/2) * n 17-0 + (1/12) (17! / (17-1)! / 1!) * N 17-1 + (0) n 17-2 + (-1) (1/120) (17! / (17-3)! / 3!) * N 17-3 + (0) n 17-4 + (1/252) (17! / (17-5)! / 5!) * N 17- 5 + (0) n 17-6 + (-1) (1/240) (17! / (17-7)! / 7! ) * n 17-7 + (0) n 17-8 + (1/132) (17! / (17- 9)! / 9!) * n 17- 9 + (0) n 17-10 + (- 1) (691/32760) (17! / (17-11)! / 11!) * N 17-11 + (0) n 17-12 + (1/12) (17! / (17-13)! / 13!) * N 17-13 + (0) n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17! / (17-15)! / 15!) * N 17-15 + (0) n 17-16 + (43867/14364) (17! / (17-17)! / 17!) * n 17-17
& # 950 (-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 +. + n +16 = & # 960-16 * 2-17 / (-17)! * (& # 177 (-17)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((16)! / (16- (-1))! / (-1 )!) * n 16- (-1) + (1/2) * n 16-0 + (1/12) (16! / (16-1)! / 1!) * n 16-1 + (0 ) n 16-2 + (-1) (1/120) (16! / (16-3)! / 3!) * n 16-3 + (0) n 16-4 + (1/252) (16 ! / (16-5)! / 5!) * N 16-5 + (0) n 16-6 + (-1) (1/240) (16! / (16-7)! / 7!) * n 16-7 + (0) n 16-8 + (1/132) (16! / (16- 9)! / 9!) * n 16- 9 + (0) n 16-10 + (-1) (691/32760) (16! / (16-11)! / 11!) * N 16-11 + (0) n 16-12 + (1/12) (16! / (16-13)! / 13 !) * n 16-13 + (0) n 16-14 + (-1) (3617/8160) (16! / (16-15)! / 15!) * n 16-15 + (0) n 16 -dieciséis
& # 950 (-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 +. + n +15 = & # 960-15 * 2-16 / (-16)! * (& # 177 (-16)!) (0) - (-1) (3617/8160) + (-1) (- (- 1)!) ((15)! / (15- (-1) )! / (-1)!) * N 15- (-1) + (1/2) * n 15-0 + (1/12) (15! / (15-1)! / 1!) * N 15-1 + (0) n 15-2 + (-1) (1/120) (15! / (15-3)! / 3!) * N 15-3 + (0) n 15-4 + ( 1/252) (15! / (15-5)! / 5!) * N 15- 5 + (0) n 15-6 + (-1) (1/240) (15! / (15-7) ! / 7!) * N 15-7 + (0) n 15-8 + (1/132) (15! / (15-9)! / 9!) * N 15- 9 + (0) n 15- 10 + (-1) (691/32760) (15! / (15-11)! / 11!) * N 15-11 + (0) n 15-12 + (1/12) (15! / (15 - 13)! / 13!) * N 15-13 + (0) n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15! / (15-15)! / 15!) * N 15-15
& # 950 (-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 +. + n +14 = & # 960-14 * 2-15 / (-15)! * (& # 177 (-15)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((14)! / (14- (-1))! / (-1 )!) * n 14- (-1) + (1/2) * n 14-0 + (1/12) (14! / (14-1)! / 1!) * n 14-1 + (0 ) n 14-2 + (-1) (1/120) (14! / (14-3)! / 3!) * n 14-3 + (0) n 14-4 + (1/252) (14 ! / (14-5)! / 5!) * N 14-5 + (0) n 14-6 + (-1) (1/240) (14! / (14-7)! / 7!) * n 14-7 + (0) n 14-8 + (1/132) (14! / (14-9)! / 9!) * n 14- 9 + (0) n 14-10 + (-1) (691/32760) (14! / (14-11)! / 11!) * N 14-11 + (0) n 14-12 + (1/12) (14! / (14-13)! / 13 !) * n 14-13 + (0) n 14-14
& # 950 (-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 +. + n +13 = & # 960-13 * 2-14 / (-14)! * (& # 177 (-14)!) (0) - (1/12) + (-1) (- (- 1)!) ((13)! / (13- (-1))! / ( -1)!) * N 13- (-1) + (1/2) * n 13-0 + (1/12) (13! / (13-1)! / 1!) * N 13-1 + (0) n 13-2 + (-1) (1/120) (13! / (13-3)! / 3!) * N 13-3 + (0) n 13-4 + (1/252) (13! / (13-5)! / 5!) * N 13- 5 + (0) n 13-6 + (-1) (1/240) (13! / (13-7)! / 7! ) * n 13-7 + (0) n 13-8 + (1/132) (13! / (13- 9)! / 9!) * n 13- 9 + (0) n 13-10 + (- 1) (691/32760) (13! / (13-11)! / 11!) * N 13-11 + (0) n 13-12 + (1/12) (13! / (13-13)! / 13!) * N 13-13
& # 950 (-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 +. + n +12 = & # 960-12 * 2-13 / (-13)! * (& # 177 (-13)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((12)! / (12- (-1))! / (-1 )!) * n 12- (-1) + (1/2) * n 12-0 + (1/12) (12! / (12-1)! / 1!) * n 12-1 + (0 ) n 12-2 + (-1) (1/120) (12! / (12-3)! / 3!) * n 12-3 + (0) n 12-4 + (1/252) (12 ! / (12-5)! / 5!) * N 12-5 + (0) n 12-6 + (-1) (1/240) (12! / (12-7)! / 7!) * n 12-7 + (0) n 12-8 + (1/132) (12! / (12- 9)! / 9!) * n 12- 9 + (0) n 12-10 + (-1) (691/32760) (12! / (12-11)! / 11!) * N 12-11 + (0) n 12-12 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (105n 10 + 525n 9 + 525n 8 -1050n 7 -1190n 6 + 2310n 5 + 1420n 4 -3285n 3 -287n 2 + 2073n-691) / 455
& # 950 (-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 +. + n +11 = & # 960-11 * 2-12 / (-12)! * (& # 177 (-12)!) (0) - (-1) (691/32760) + (-1) (- (- 1)!) ((11)! / (11- (-1) )! / (-1)!) * N 11- (-1) + (1/2) * n 11-0 + (1/12) (11! / (11-1)! / 1!) * N 11-1 + (0) n 11-2 + (-1) (1/120) (11! / (11-3)! / 3!) * N 11-3 + (0) n 11-4 + ( 1/252) (11! / (11-5)! / 5!) * N 11-5 + (0) n 11-6 + (-1) (1/240) (11! / (11-7) ! / 7!) * N 11-7 + (0) n 11-8 + (1/132) (11! / (11-9)! / 9!) * N 11- 9 + (0) n 11- 10 + (-1) (691/32760) (11! / (11-11)! / 11!) * N 11-11 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 8 + 8n 7 + 4n 6 -16n 5 -5n 4 + 26n 3 -3n 2 -20n + 10) / 6
& # 950 (-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 +. + n +10 = & # 960-10 * 2-11 / (-11)! * (& # 177 (-11)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((10)! / (10- (-1))! / (-1 )!) * n 10- (-1) + (1/2) * n 10-0 + (1/12) (10! / (10-1)! / 1!) * n 10-1 + (0 ) n 10-2 + ​​(-1) (1/120) (10! / (10-3)! / 3!) * n 10-3 + (0) n 10-4 + (1/252) (10 ! / (10-5)! / 5!) * N 10-5 + (0) n 10-6 + (-1) (1/240) (10! / (10-7)! / 7!) * n 10-7 + (0) n 10-8 + (1/132) (10! / (10-9)! / 9!) * n 10-9 + (0) n 10-10 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (n 2 + n-1) * (3n 6 + 9n 5 + 2n 4 -11n 3 + 3n 2 + 10n-5) / 11
& # 950 (-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 +. + n +9 = & # 960-9 * 2-10 / (-10)! * (& # 177 (-10)!) (0) - (1/132) + (-1) (- (- 1)!) ((9)! / (9- (-1))! / ( -1)!) * N 9- (-1) + (1/2) * n 9-0 + (1/12) (9! / (9-1)! / 1!) * N 9-1 + (0) n 9-2 + (-1) (1/120) (9! / (9-3)! / 3!) * N 9-3 + (0) n 9-4 + (1/252) (9! / (9-5)! / 5!) * N 9- 5 + (0) n 9-6 + (-1) (1/240) (9! / (9-7)! / 7! ) * n 9- 7 + (0) n 9-8 + (1/132) (9! / (9- 9)! / 9!) * n 9- 9 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (n 2 + n-1) * (2n 4 + 4n 3 -n 2 -3n + 3) / 5
& # 950 (-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 +. + n +8 = & # 960-8 * 2-9 / (-9)! * (& # 177 (-9)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((8)! / (8- (-1))! / (-1 )!) * n 8- (-1) + (1/2) * n 8-0 + (1/12) (8! / (8-1)! / 1!) * n 8-1 + (0 ) n 8-2 + (-1) (1/120) (8! / (8-3)! / 3!) * n 8-3 + (0) n 8-4 + (1/252) (8 ! / (8-5)! / 5!) * N 8-5 + (0) n 8-6 + (-1) (1/240) (8! / (8-7)! / 7!) * n 8-7 + (0) n 8-8 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (5n 6 + 15n 5 + 5n 4 -15n 3 -n 2 + 9n-3) / 15
& # 950 (-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 +. + n +7 = & # 960-7 * 2-8 / (-8)! * (& # 177 (-8)!) (0) - (-1) (1/240) + (-1) (- (- 1)!) ((7)! / (7- (-1) )! / (-1)!) * N 7- (-1) + (1/2) * n 7-0 + (1/12) (7! / (7- 1)! / 1!) * N 7- 1 + (0) n 7-2 + (-1) (1/120) (7! / (7- 3)! / 3!) * N 7- 3 + (0) n 7-4 + ( 1/252) (7! / (7- 5)! / 5!) * N 7- 5 + (0) n 7-6 + (-1) (1/240) (7! / (7- 7) ! / 7!) * N 7- 7 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2) / 6
& # 950 (-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 +. + n +6 = & # 960-6 * 2-7 / (-7)! * (& # 177 (-7)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((6)! / (6- (-1))! / (-1 )!) * n 6- (-1) + (1/2) * n 6-0 + (1/12) (6! / (6- 1)! / 1!) * n 6- 1 + (0 ) n 6-2 + (-1) (1/120) (6! / (6-3)! / 3!) * n 6- 3 + (0) n 6-4 + (1/252) (6 ! / (6-5)! / 5!) * N 6- 5 + (0) n 6-6 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 4 + 6n 3 -3n + 1) / 7
& # 950 (-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 +. + n +5 = & # 960-5 * 2-6 / (-6)! * (& # 177 (-6)!) (0) - (1/252) + (-1) (- (- 1)!) ((5)! / (5- (-1))! / ( -1)!) * N 5- (-1) + (1/2) * n 5-0 + (1/12) (5! / (5- 1)! / 1!) * N 5- 1 + (0) n 5-2 + (-1) (1/120) (5! / (5-3)! / 3!) * N 5- 3 + (0) n 5-4 + (1/252) (5! / (5-5)! / 5!) * N 5- 5 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2 * (2n 2 + 2n-1) / 3
& # 950 (-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 +. + n +4 = & # 960 -4 * 2-5 / (-5)! * (& # 177 (-5)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((4)! / (4- (-1))! / (-1 )!) * n 4- (-1) + (1/2) * n 4-0 + (1/12) (4! / (4- 1)! / 1!) * n 4- 1 + (0 ) n 4-2 + (-1) (1/120) (4! / (4- 3)! / 3!) * n 4- 3 + (0) n 4-4 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3 * (3n 2 + 3n-1) / 5
& # 950 (-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 +. + n +3 = & # 960-3 * 2-4 / (-4)! * (& # 177 (-4)!) (0) - (-1) (1/120) + (-1) (- (- 1)!) ((3)! / (3- (-1) )! / (-1)!) * N 3- (-1) + (1/2) * n 3-0 + (1/12) (3! / (3- 1)! / 1!) * N 3- 1 + (0) n 3-2 + (-1) (1/120) (3! / (3- 3)! / 3!) * N 3- 3 = n (n + 1) / 2 * n (n + 1) / 2
& # 950 (-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 +. + n +2 = & # 960-2 * 2-3 / (-3)! * (& # 177 (-3)!) (0) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((2)! / (2- (-1))! / (-1 )!) * n 2- (-1) + (1/2) * n 2-0 + (1/12) (2! / (2- 1)! / 1!) * n 2- 1 + (0 ) n 2-2 = n (n + 1) / 2 * (2n + 1) / 3
& # 950 (-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 +. + n +1 = & # 960-1 * 2 -2 / (-2)! * (& # 177 (-2)!) (0) - (1/12) + (-1) (- (- 1)!) ((1)! / (1- (-1))! / ( -1)!) * N 1- (-1) + (1/2) * n 1-0 + (1/12) (1! / (1- 1)! / 1!) * N 1- 1 = n (n + 1) / 2
& # 950 (0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 +. + n 0 = & # 960 0 * (2 -1) / (-1)! * (- (- 1)!) - (0) + (-1) (- (- 1)!) ((0)! / (0- (-1))! / (-1)!) * N 0- (-1) + (1/2) * n 0-0 = n
& # 950 (+1) = 1-1 + 2-1 + 3-1 +. + n -1 = & # 960 +1 * 2 0 / (0)! * (0) - (-1) (- (- 1)!) + (-1) (- (- 1)!) ((-1)! / (- 1- (-1))! / (- 1)!) * N -1- (-1) + ln (n + 1) -1 / (2n + 2) +0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694. A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) - (±(-2 )!)(0) = π 2 / 6 = 1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870. A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) - (±(-3 )!)(0) + . = & # 960 3 / 25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251. A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525. A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) - (±(-4 )!)(0) = π 4 / 90 = 1.08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991. A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) - (-1) (±(-5 )!)(0) + . = & # 960 5 / 295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455. A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333. A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) - (±(-6 )!)(0) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517. A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) - (±(-7 )!)(0) + . = & # 960 7 / 2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452. A309927 = 1.00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132. A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) - (±(-8 )!)(0) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197. A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) - (-1) (±(-9 )!)(0) + . = & # 960 9 / 29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377. A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958. A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) - (±(-10)!)(0) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565. A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) - (±(-11)!)(0) + . = & # 960 11 / 294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487. A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062. A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) - (±(-12)!)(0) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069. A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) - (-1) (±(-13)!)(0) + . = & # 960 13 / 2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094. Sin OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813. A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) - (±(-14)!)(0) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846. A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) - (±(-15)!)(0) + . = & # 960 15 / 28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668. Sin OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754. A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) - (±(-16)!)(0) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1.00001528225940865187173257148763672202323738899047153115310520358878708702795315178628560484632246. A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) - (-1) (±(-17)!)(0) + . = & # 960 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670. Sin OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667. A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) - (±(-18)!)(0) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964. A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) - (±(-19)!)(0) + . = & # 960 19 / 2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359. Sin OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630. A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) - (±(-20)!)(0) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.00000095396203387279611315203868344934594379418741059575005648985113751373114390025783609797638747. A013678

Tabla de funciones Eta (modo avanzado)

[Vixra] [PDF] Mi correo electrónico: [email protected]

Aquí está mi Tabla de modo avanzado:

& # 951 (-20) = 1 +20-2 +20 + 3 +20 -. & # 177 n +20 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 20-0 + (1/4) (20! / (20-1)! / 1!) * N 20- 1 + (0) n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20! / (20-3)! / 3!) * N 20-3 + (0) n 20-4 + (1 / 4) (20! / (20-5)! / 5!) * N 20- 5 + (0) n 20-6 + (-1) (17/16) (20! / (20-7)! / 7!) * N 20-7 + (0) n 20-8 + (31/4) (20! / (20- 9)! / 9!) * N 20- 9 + (0) n 20-10 + (-1) (691/8) (20! / (20-11)! / 11!) * N 20-11 + (0) n 20-12 + (5461/4) (20! / (20-13 )! / 13!) * N 20-13 + (0) n 20-14 + (-1) (929569/32) (20! / (20-15)! / 15!) * N 20-15 + ( 0) n 20-16 + (3202291/4) (20! / (20-17)! / 17!) * N 20-17 + (0) n 20-18 + (-1) (221930581/8) ( 20! / (20-19)! / 19!) * N 20-19 + (0) n 20-20]
& # 951 (-19) = 1 +19-2 +19 + 3 +19 -. & # 177 n +19 = (-1) (221930581/8) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 19-0 + (1/4) (19! / (19-1)! / 1 !) * n 19-1 + (0) n 19-2 + (-1) (1/8) (19! / (19-3)! / 3!) * n 19-3 + (0) n 19 -4 + (1/4) (19! / (19-5)! / 5!) * N 19-5 + (0) n 19-6 + (-1) (17/16) (19! / ( 19-7)! / 7!) * N 19- 7 + (0) n 19-8 + (31/4) (19! / (19-9)! / 9!) * N 19- 9 + (0 ) n 19-10 + (-1) (691/8) (19! / (19-11)! / 11!) * n 19-11 + (0) n 19-12 + (5461/4) (19 ! / (19-13)! / 13!) * N 19-13 + (0) n 19-14 + (-1) (929569/32) (19! / (19-15)! / 15!) * n 19-15 + (0) n 19-16 + (3202291/4) (19! / (19-17)! / 17!) * n 19-17 + (0) n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19! / (19-19)! / 19!) * N 19-19]
& # 951 (-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 -. & # 177 n +18 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 18-0 + (1/4) (18! / (18-1)! / 1!) * N 18- 1 + (0) n 18-2 + (-1) (1/8) (18! / (18-3)! / 3!) * N 18-3 + (0) n 18-4 + (1 / 4) (18! / (18-5)! / 5!) * N 18- 5 + (0) n 18-6 + (-1) (17/16) (18! / (18-7)! / 7!) * N 18-7 + (0) n 18-8 + (31/4) (18! / (18-9)! / 9!) * N 18- 9 + (0) n 18-10 + (-1) (691/8) (18! / (18-11)! / 11!) * N 18-11 + (0) n 18-12 + (5461/4) (18! / (18-13 )! / 13!) * N 18-13 + (0) n 18-14 + (-1) (929569/32) (18! / (18-15)! / 15!) * N 18-15 + ( 0) n 18-16 + (3202291/4) (18! / (18-17)! / 17!) * N 18-17 + (0) n 18-18]
& # 951 (-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 -. & # 177 n +17 = (3202291/4) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 17-0 + (1/4) (17! / (17-1)! / 1!) * N 17-1 + (0) n 17-2 + (-1) (1/8) (17! / (17-3)! / 3!) * N 17-3 + (0) n 17-4 + ( 1/4) (17! / (17-5)! / 5!) * N 17- 5 + (0) n 17-6 + (-1) (17/16) (17! / (17-7) ! / 7!) * N 17-7 + (0) n 17-8 + (31/4) (17! / (17-9)! / 9!) * N 17- 9 + (0) n 17- 10 + (-1) (691/8) (17! / (17-11)! / 11!) * N 17-11 + (0) n 17-12 + (5461/4) (17! / (17 - 13)! / 13!) * N 17-13 + (0) n 17-14 + (-1) (929569/32) (17! / (17-15)! / 15!) * N 17-15 + (0) n 17-16 + (3202291/4) (17! / (17-17)! / 17!) * N 17-17]
& # 951 (-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 -. & # 177 n +16 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 16-0 + (1/4) (16! / (16-1)! / 1!) * N 16- 1 + (0) n 16-2 + (-1) (1/8) (16! / (16-3)! / 3!) * N 16-3 + (0) n 16-4 + (1 / 4) (16! / (16-5)! / 5!) * N 16- 5 + (0) n 16-6 + (-1) (17/16) (16! / (16-7)! / 7!) * N 16- 7 + (0) n 16-8 + (31/4) (16! / (16-9)! / 9!) * N 16- 9 + (0) n 16-10 + (-1) (691/8) (16! / (16-11)! / 11!) * N 16-11 + (0) n 16-12 + (5461/4) (16! / (16-13) )! / 13!) * N 16-13 + (0) n 16-14 + (-1) (929569/32) (16! / (16-15)! / 15!) * N 16-15 + ( 0) n 16-16]
& # 951 (-15) = 1 +15-2 +15 + 3 +15 -. & # 177 n +15 = (-1) (929569/32) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 15-0 + (1/4) (15! / (15-1)! / 1 !) * n 15-1 + (0) n 15-2 + (-1) (1/8) (15! / (15-3)! / 3!) * n 15-3 + (0) n 15 -4 + (1/4) (15! / (15-5)! / 5!) * N 15-5 + (0) n 15-6 + (-1) (17/16) (15! / ( 15-7)! / 7!) * N 15- 7 + (0) n 15-8 + (31/4) (15! / (15-9)! / 9!) * N 15- 9 + (0 ) n 15-10 + (-1) (691/8) (15! / (15-11)! / 11!) * n 15-11 + (0) n 15-12 + (5461/4) (15 ! / (15-13)! / 13!) * N 15-13 + (0) n 15-14 + (-1) (929569/32) (15! / (15-15)! / 15!) * n 15-15]
& # 951 (-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 -. & # 177 n +14 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 14-0 + (1/4) (14! / (14-1)! / 1!) * N 14- 1 + (0) n 14-2 + (-1) (1/8) (14! / (14-3)! / 3!) * N 14-3 + (0) n 14-4 + (1 / 4) (14! / (14-5)! / 5!) * N 14- 5 + (0) n 14-6 + (-1) (17/16) (14! / (14-7)! / 7!) * N 14-7 + (0) n 14-8 + (31/4) (14! / (14-9)! / 9!) * N 14- 9 + (0) n 14-10 + (-1) (691/8) (14! / (14-11)! / 11!) * N 14-11 + (0) n 14-12 + (5461/4) (14! / (14-13) )! / 13!) * N 14-13 + (0) n 14-14]
& # 951 (-13) = 1 +13-2 +13 + 3 +13 -. & # 177 n +13 = (5461/4) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 13-0 + (1/4) (13! / (13-1)! / 1!) * N 13-1 + (0) n 13-2 + (-1) (1/8) (13! / (13-3)! / 3!) * N 13-3 + (0) n 13-4 + ( 1/4) (13! / (13-5)! / 5!) * N 13- 5 + (0) n 13-6 + (-1) (17/16) (13! / (13-7) ! / 7!) * N 13- 7 + (0) n 13-8 + (31/4) (13! / (13- 9)! / 9!) * N 13- 9 + (0) n 13- 10 + (-1) (691/8) (13! / (13-11)! / 11!) * N 13-11 + (0) n 13-12 + (5461/4) (13! / (13 - 13)! / 13!) * N 13-13]
& # 951 (-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 -. & # 177 n +12 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 12-0 + (1/4) (12! / (12-1)! / 1!) * N 12- 1 + (0) n 12-2 + (-1) (1/8) (12! / (12-3)! / 3!) * N 12-3 + (0) n 12-4 + (1 / 4) (12! / (12-5)! / 5!) * N 12- 5 + (0) n 12-6 + (-1) (17/16) (12! / (12-7)! / 7!) * N 12-7 + (0) n 12-8 + (31/4) (12! / (12- 9)! / 9!) * N 12- 9 + (0) n 12-10 + (-1) (691/8) (12! / (12-11)! / 11!) * N 12-11 + (0) n 12-12]
& # 951 (-11) = 1 +11-2 +11 + 3 +11 -. & # 177 n +11 = (-1) (691/8) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 11-0 + (1/4) (11! / (11-1)! / 1 !) * n 11-1 + (0) n 11-2 + (-1) (1/8) (11! / (11-3)! / 3!) * n 11-3 + (0) n 11 -4 + (1/4) (11! / (11-5)! / 5!) * N 11-5 + (0) n 11-6 + (-1) (17/16) (11! / ( 11-7)! / 7!) * N 11- 7 + (0) n 11-8 + (31/4) (11! / (11-9)! / 9!) * N 11- 9 + (0 ) n 11-10 + (-1) (691/8) (11! / (11-11)! / 11!) * n 11-11]
& # 951 (-10) = 1 +10-2 +10 + 3 +10 -. & # 177 n +10 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 10-0 + (1/4) (10! / (10-1)! / 1!) * N 10- 1 + (0) n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10! / (10-3)! / 3!) * N 10-3 + (0) n 10-4 + (1 / 4) (10! / (10-5)! / 5!) * N 10- 5 + (0) n 10-6 + (-1) (17/16) (10! / (10-7)! / 7!) * N 10-7 + (0) n 10-8 + (31/4) (10! / (10-9)! / 9!) * N 10- 9 + (0) n 10-10]
& # 951 (-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 -. & # 177 n +9 = (31/4) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 9-0 + (1/4) (9! / (9-1)! / 1!) * N 9-1 + (0) n 9-2 + (-1) (1/8) (9! / (9-3)! / 3!) * N 9-3 + (0) n 9-4 + ( 1/4) (9! / (9-5)! / 5!) * N 9- 5 + (0) n 9-6 + (-1) (17/16) (9! / (9-7) ! / 7!) * N 9- 7 + (0) n 9-8 + (31/4) (9! / (10-9)! / 9!) * N 9- 9]
& # 951 (-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 -. & # 177 n +8 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 8-0 + (1/4) (8! / (8-1)! / 1!) * N 8- 1 + (0) n 8-2 + (-1) (1/8) (8! / (8-3)! / 3!) * N 8-3 + (0) n 8-4 + (1 / 4) (8! / (8-5)! / 5!) * N 8- 5 + (0) n 8-6 + (-1) (17/16) (8! / (8-7)! / 7!) * N 8-7 + (0) n 8-8]
& # 951 (-7) = 1 +7-2 +7 + 3 +7 -. & # 177 n +7 = (-1) (17/16) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 7-0 + (1/4) (7! / (7- 1)! / 1 !) * n 7- 1 + (0) n 7-2 + (-1) (1/8) (7! / (7-3)! / 3!) * n 7- 3 + (0) n 7 -4 + (1/4) (7! / (7- 5)! / 5!) * N 7- 5 + (0) n 7-6 + (-1) (17/16) (7! / ( 7- 7)! / 7!) * N 7- 7]
& # 951 (-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 -. & # 177 n +6 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 6-0 + (1/4) (6! / (6- 1)! / 1!) * N 6- 1 + (0) n 6-2 + (-1) (1/8) (6! / (6-3)! / 3!) * N 6- 3 + (0) n 6-4 + (1 / 4) (6! / (6-5)! / 5!) * N 6- 5 + (0) n 6-6]
& # 951 (-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 -. & # 177 n +5 = (1/4) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 5-0 + (1/4) (5! / (5- 1)! / 1!) * N 5- 1 + (0) n 5-2 + (-1) (1/8) (5! / (5- 3)! / 3!) * N 5- 3 + (0) n 5-4 + ( 1/4) (5! / (5-5)! / 5!) * N 5- 5]
& # 951 (-4) = 1 +4-2 +4 + 3 +4 -. & # 177 n +4 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 4-0 + (1/4) (4! / (4- 1)! / 1!) * N 4- 1 + (0) n 4-2 + (-1) (1/8) (4! / (4- 3)! / 3!) * N 4- 3 + (0) n 4-4]
& # 951 (-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 -. & # 177 n +3 = (-1) (1/8) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 3-0 + (1/4) (3! / (3- 1)! / 1 !) * n 3- 1 + (0) n 3-2 + (-1) (1/8) (3! / (3- 3)! / 3!) * n 3- 3]
& # 951 (-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 -. & # 177 n +2 = (0) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 2-0 + (1/4) (2! / (2- 1)! / 1!) * N 2- 1 + (0) n 2-2]
& # 951 (-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 -. & # 177 n +1 = (1/4) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 1-0 + (1/4) (1! / (1- 1)! / 1!) * N 1- 1]
& # 951 (0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 -. & # 177 n 0 = (1/2) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 0-0]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = & # 960 +1 * (1-2 0) / (1-2 +1) / (0)! * (1/2) + ln (2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8)

Tabla de funciones ETA (modo experimental)

Aquí está mi Tabla de modo experimental:

& # 951 (-20) = 1 +20-2 +20 + 3 +20 -. & # 177 n +20 = & # 960-20 * (1-2-21) / (1-2-20) / (-21)! * (& # 177 (-21)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (20! / (20- (-1))! / (-1)!) * N 20- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 20-0 + (1/4) (20! / (20-1) )! / 1!) * N 20-1 + (0) n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20! / (20-3)! / 3!) * N 20-3 + ( 0) n 20-4 + (1/4) (20! / (20-5)! / 5!) * N 20-5 + (0) n 20-6 + (-1) (17/16) ( 20! / (20-7)! / 7!) * N 20- 7 + (0) n 20-8 + (31/4) (20! / (20-9)! / 9!) * N 20- 9 + (0) n 20-10 + (-1) (691/8) (20! / (20-11)! / 11!) * N 20-11 + (0) n 20-12 + (5461 / 4) (20! / (20-13)! / 13!) * N 20-13 + (0) n 20-14 + (-1) (929569/32) (20! / (20-15)! / 15!) * N 20-15 + (0) n 20-16 + (3202291/4) (20! / (20-17)! / 17!) * N 20-17 + (0) n 20-18 + (-1) (221930581/8) (20! / (20-19)! / 19!) * N 20-19 + (0) n 20-20]
& # 951 (-19) = 1 +19-2 +19 + 3 +19 -. & # 177 n +19 = & # 960-19 * (1-2-20) / (1-2-19) / (-20)! * (& # 177 (-20)!) (0) + (-1) (221930581/8) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (19! / (19- ( -1))! / (-1)!) * N 19- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 19-0 + (1/4) (19 ! / (19-1)! / 1!) * N 19-1 + (0) n 19-2 + (-1) (1/8) (19! / (19-3)! / 3!) * n 19-3 + (0) n 19-4 + (1/4) (19! / (19-5)! / 5!) * n 19-5 + (0) n 19-6 + (-1) (17/16) (19! / (19-7)! / 7!) * N 19- 7 + (0) n 19-8 + (31/4) (19! / (19-9)! / 9 !) * n 19- 9 + (0) n 19-10 + (-1) (691/8) (19! / (19-11)! / 11!) * n 19-11 + (0) n 19 -12 + (5461/4) (19! / (19-13)! / 13!) * N 19-13 + (0) n 19-14 + (-1) (929569/32) (19! / ( 19-15)! / 15!) * N 19-15 + (0) n 19-16 + (3202291/4) (19! / (19-17)! / 17!) * N 19-17 + (0 ) n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19! / (19-19)! / 19!) * n 19-19]
& # 951 (-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 -. & # 177 n +18 = & # 960-18 * (1-2 -19) / (1-2 -18) / (-19)! * (& # 177 (-19)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (18! / (18- (-1))! / (-1)!) * N 18- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 18-0 + (1/4) (18! / (18-1) )! / 1!) * N 18-1 + (0) n 18-2 + (-1) (1/8) (18! / (18-3)! / 3!) * N 18-3 + ( 0) n 18-4 + (1/4) (18! / (18-5)! / 5!) * N 18-5 + (0) n 18-6 + (-1) (17/16) ( 18! / (18-7)! / 7!) * N 18- 7 + (0) n 18-8 + (31/4) (18! / (18-9)! / 9!) * N 18- 9 + (0) n 18-10 + (-1) (691/8) (18! / (18-11)! / 11!) * N 18-11 + (0) n 18-12 + (5461 / 4) (18! / (18-13)! / 13!) * N 18-13 + (0) n 18-14 + (-1) (929569/32) (18! / (18-15)! / 15!) * N 18-15 + (0) n 18-16 + (3202291/4) (18! / (18-17)! / 17!) * N 18-17 + (0) n 18-18]
& # 951 (-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 -. & # 177 n +17 = & # 960-17 * (1-2-18) / (1-2-17) / (-18)! * (& # 177 (-18)!) (0) + (3202291/4) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (17! / (17- (-1)) ! / (-1)!) * N 17- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 17-0 + (1/4) (17! / (17 - 1)! / 1!) * N 17-1 + (0) n 17-2 + (-1) (1/8) (17! / (17-3)! / 3!) * N 17-3 + (0) n 17-4 + (1/4) (17! / (17-5)! / 5!) * N 17-5 + (0) n 17-6 + (-1) (17/16 ) (17! / (17-7)! / 7!) * N 17-7 + (0) n 17-8 + (31/4) (17! / (17-9)! / 9!) * N 17- 9 + (0) n 17-10 + (-1) (691/8) (17! / (17-11)! / 11!) * N 17-11 + (0) n 17-12 + ( 5461/4) (17! / (17-13)! / 13!) * N 17-13 + (0) n 17-14 + (-1) (929569/32) (17! / (17-15) ! / 15!) * N 17-15 + (0) n 17-16 + (3202291/4) (17! / (17-17)! / 17!) * N 17-17]
& # 951 (-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 -. & # 177 n +16 = & # 960-16 * (1-2-17) / (1-2-16) / (-17)! * (& # 177 (-17)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (16! / (16- (-1))! / (-1)!) * N 16- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 16-0 + (1/4) (16! / (16-1) )! / 1!) * N 16-1 + (0) n 16-2 + (-1) (1/8) (16! / (16-3)! / 3!) * N 16-3 + ( 0) n 16-4 + (1/4) (16! / (16-5)! / 5!) * N 16- 5 + (0) n 16-6 + (-1) (17/16) ( 16! / (16-7)! / 7!) * N 16- 7 + (0) n 16-8 + (31/4) (16! / (16-9)! / 9!) * N 16- 9 + (0) n 16-10 + (-1) (691/8) (16! / (16-11)! / 11!) * N 16-11 + (0) n 16-12 + (5461 / 4) (16! / (16-13)! / 13!) * N 16-13 + (0) n 16-14 + (-1) (929569/32) (16! / (16-15)! / 15!) * N 16-15 + (0) n 16-16]
& # 951 (-15) = 1 +15-2 +15 + 3 +15 -. & # 177 n +15 = & # 960-15 * (1-2-16) / (1-2-15) / (-16)! * (& # 177 (-16)!) (0) + (-1) (929569/32) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (15! / (15- ( -1))! / (-1)!) * N 15- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 15-0 + (1/4) (15 ! / (15-1)! / 1!) * N 15-1 + (0) n 15-2 + (-1) (1/8) (15! / (15-3)! / 3!) * n 15-3 + (0) n 15-4 + (1/4) (15! / (15-5)! / 5!) * n 15-5 + (0) n 15-6 + (-1) (17/16) (15! / (15-7)! / 7!) * N 15-7 + (0) n 15-8 + (31/4) (15! / (15-9)! / 9 !) * n 15- 9 + (0) n 15-10 + (-1) (691/8) (15! / (15-11)! / 11!) * n 15-11 + (0) n 15 -12 + (5461/4) (15! / (15-13)! / 13!) * N 15-13 + (0) n 15-14 + (-1) (929569/32) (15! / ( 15-15)! / 15!) * N 15-15]
& # 951 (-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 -. & # 177 n +14 = & # 960-14 * (1-2-15) / (1-2-14) / (-15)! * (& # 177 (-15)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (14! / (14- (-1))! / (-1)!) * N 14- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 14-0 + (1/4) (14! / (14-1) )! / 1!) * N 14-1 + (0) n 14-2 + (-1) (1/8) (14! / (14-3)! / 3!) * N 14-3 + ( 0) n 14-4 + (1/4) (14! / (14-5)! / 5!) * N 14-5 + (0) n 14-6 + (-1) (17/16) ( 14! / (14-7)! / 7!) * N 14-7 + (0) n 14-8 + (31/4) (14! / (14-9)! / 9!) * N 14- 9 + (0) n 14-10 + (-1) (691/8) (14! / (14-11)! / 11!) * N 14-11 + (0) n 14-12 + (5461 / 4) (14! / (14-13)! / 13!) * N 14-13 + (0) n 14-14]
& # 951 (-13) = 1 +13-2 +13 + 3 +13 -. & # 177 n +13 = & # 960-13 * (1-2-14) / (1-2-13) / (-14)! * (& # 177 (-14)!) (0) + (5461/4) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (13! / (13- (-1)) ! / (-1)!) * N 13- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 13-0 + (1/4) (13! / (13 - 1)! / 1!) * N 13-1 + (0) n 13-2 + (-1) (1/8) (13! / (13-3)! / 3!) * N 13-3 + (0) n 13-4 + (1/4) (13! / (13-5)! / 5!) * N 13-5 + (0) n 13-6 + (-1) (17/16 ) (13! / (13-7)! / 7!) * N 13-7 + (0) n 13-8 + (31/4) (13! / (13-9)! / 9!) * N 13-9 + (0) n 13-10 + (-1) (691/8) (13! / (13-11)! / 11!) * N 13-11 + (0) n 13-12 + ( 5461/4) (13! / (13-13)! / 13!) * N 13-13]
& # 951 (-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 -. & # 177 n +12 = & # 960-12 * (1-2-13) / (1-2-12) / (-13)! * (& # 177 (-13)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (12! / (12- (-1))! / (-1)!) * N 12- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 12-0 + (1/4) (12! / (12-1) )! / 1!) * N 12-1 + (0) n 12-2 + (-1) (1/8) (12! / (12-3)! / 3!) * N 12-3 + ( 0) n 12-4 + (1/4) (12! / (12-5)! / 5!) * N 12-5 + (0) n 12-6 + (-1) (17/16) ( 12! / (12-7)! / 7!) * N 12- 7 + (0) n 12-8 + (31/4) (12! / (12-9)! / 9!) * N 12- 9 + (0) n 12-10 + (-1) (691/8) (12! / (12-11)! / 11!) * N 12-11 + (0) n 12-12]
& # 951 (-11) = 1 +11-2 +11 + 3 +11 -. & # 177 n +11 = & # 960-11 * (1-2-12) / (1-2-11) / (-12)! * (& # 177 (-12)!) (0) + (-1) (691/8) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (11! / (11- ( -1))! / (-1)!) * N 11- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 11-0 + (1/4) (11 ! / (11-1)! / 1!) * N 11-1 + (0) n 11-2 + (-1) (1/8) (11! / (11-3)! / 3!) * n 11-3 + (0) n 11-4 + (1/4) (11! / (11-5)! / 5!) * n 11-5 + (0) n 11-6 + (-1) (17/16) (11! / (11-7)! / 7!) * N 11- 7 + (0) n 11-8 + (31/4) (11! / (11-9)! / 9 !) * n 11- 9 + (0) n 11-10 + (-1) (691/8) (11! / (11-11)! / 11!) * n 11-11]
& # 951 (-10) = 1 +10-2 +10 + 3 +10 -. & # 177 n +10 = & # 960-10 * (1-2-11) / (1-2 -10) / (-11)! * (& # 177 (-11)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (10! / (10- (-1))! / (-1)!) * N 10- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 10-0 + (1/4) (10! / (10-1) )! / 1!) * N 10-1 + (0) n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10! / (10-3)! / 3!) * N 10-3 + ( 0) n 10-4 + (1/4) (10! / (10-5)! / 5!) * N 10-5 + (0) n 10-6 + (-1) (17/16) ( 10! / (10-7)! / 7!) * N 10-7 + (0) n 10-8 + (31/4) (10! / (10-9)! / 9!) * N 10- 9 + (0) n 10-10]
& # 951 (-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 -. & # 177 n +9 = & # 960-9 * (1-2 -10) / (1-2 -9) / (-10)! * (& # 177 (-10)!) (0) + (31/4) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (9! / (9- (-1)) ! / (-1)!) * N 9- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 9-0 + (1/4) (9! / (9 - 1)! / 1!) * N 9-1 + (0) n 9-2 + (-1) (1/8) (9! / (9-3)! / 3!) * N 9-3 + (0) n 9-4 + (1/4) (9! / (9-5)! / 5!) * N 9-5 + (0) n 9-6 + (-1) (17/16 ) (9! / (9-7)! / 7!) * N 9-7 + (0) n 9-8 + (31/4) (9! / (10-9)! / 9!) * N 9-9]
& # 951 (-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 -. & # 177 n +8 = & # 960-8 * (1-2 -9) / (1-2 -8) / (-9)! * (& # 177 (-9)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (8! / (8- (-1))! / (-1)!) * N 8- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 8-0 + (1/4) (8! / (8-1) )! / 1!) * N 8-1 + (0) n 8-2 + (-1) (1/8) (8! / (8-3)! / 3!) * N 8-3 + ( 0) n 8-4 + (1/4) (8! / (8-5)! / 5!) * N 8-5 + (0) n 8-6 + (-1) (17/16) ( 8! / (8-7)! / 7!) * N 8- 7 + (0) n 8-8]
& # 951 (-7) = 1 +7-2 +7 + 3 +7 -. & # 177 n +7 = & # 960-7 * (1-2 -8) / (1-2 -7) / (-8)! * (& # 177 (-8)!) (0) + (-1) (17/16) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (7! / (7- ( -1))! / (-1)!) * N 7- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 7-0 + (1/4) (7 ! / (7- 1)! / 1!) * N 7- 1 + (0) n 7-2 + (-1) (1/8) (7! / (7-3)! / 3!) * n 7- 3 + (0) n 7-4 + (1/4) (7! / (7- 5)! / 5!) * n 7- 5 + (0) n 7-6 + (-1) (17/16) (7! / (7-7)! / 7!) * N 7- 7]
& # 951 (-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 -. & # 177 n +6 = & # 960-6 * (1-2 -7) / (1-2 -6) / (-7)! * (& # 177 (-7)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (6! / (6- (-1))! / (-1)!) * N 6- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 6-0 + (1/4) (6! / (6- 1) )! / 1!) * N 6- 1 + (0) n 6-2 + (-1) (1/8) (6! / (6-3)! / 3!) * N 6- 3 + ( 0) n 6-4 + (1/4) (6! / (6- 5)! / 5!) * N 6- 5 + (0) n 6-6]
& # 951 (-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 -. & # 177 n +5 = & # 960-5 * (1-2 -6) / (1-2 -5) / (-6)! * (& # 177 (-6)!) (0) + (1/4) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (5! / (5- (-1)) ! / (-1)!) * N 5- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 5-0 + (1/4) (5! / (5 - 1)! / 1!) * N 5- 1 + (0) n 5-2 + (-1) (1/8) (5! / (5-3)! / 3!) * N 5- 3 + (0) n 5-4 + (1/4) (5! / (5-5)! / 5!) * N 5- 5]
& # 951 (-4) = 1 +4-2 +4 + 3 +4 -. & # 177 n +4 = & # 960 -4 * (1-2-5) / (1-2 -4) / (-5)! * (& # 177 (-5)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (4! / (4- (-1))! / (-1)!) * N 4- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 4-0 + (1/4) (4! / (4- 1) )! / 1!) * N 4- 1 + (0) n 4-2 + (-1) (1/8) (4! / (4-3)! / 3!) * N 4- 3 + ( 0) n 4-4]
& # 951 (-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 -. & # 177 n +3 = & # 960-3 * (1-2 -4) / (1-2-3) / (-4)! * (& # 177 (-4)!) (0) + (-1) (1/8) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (3! / (3- ( -1))! / (-1)!) * N 3- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 3-0 + (1/4) (3 ! / (3- 1)! / 1!) * N 3- 1 + (0) n 3-2 + (-1) (1/8) (3! / (3- 3)! / 3!) * n 3-3]
& # 951 (-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 -. & # 177 n +2 = & # 960-2 * (1-2-3) / (1-2 -2) / (-3)! * (& # 177 (-3)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (2! / (2- (-1))! / (-1)!) * N 2- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 2-0 + (1/4) (2! / (2- 1) )! / 1!) * N 2- 1 + (0) n 2-2]
& # 951 (-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 -. & # 177 n +1 = & # 960-1 * (1-2 -2) / (1-2 -1) / (-2)! * (& # 177 (-2)!) (0) + (1/4) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (1! / (1- (-1)) ! / (-1)!) * N 1- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 1-0 + (1/4) (1! / (1 - 1)! / 1!) * N 1- 1]
& # 951 (0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 -. & # 177 n 0 = & # 960 0 * (1-2 -1) / (1-2 0) / (-1)! * (& # 177 (-1)!) (0) + (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) (0! / (0- (-1))! / (-1)!) * N 0- (-1) + (-1) (n-1) * [(1/2) * n 0-0]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = & # 960 +1 * (1-2 0) / (1-2 +1) / (0)! * (0) + (-1) (& # 177 (-1)!) (0) + ln (2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4) + (±(-2 )!)(0)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + (±(-3 )!)(0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8) + (±(-4 )!)(0)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + (-1) (±(-5 )!)(0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4) + (±(-6 )!)(0)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + (±(-7 )!)(0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16) + (±(-8 )!)(0)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + (-1) (±(-9 )!)(0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4) + (±(-10)!)(0)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + (±(-11)!)(0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8) + (±(-12)!)(0)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + (-1) (±(-13)!)(0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4) + (±(-14)!)(0)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + (±(-15)!)(0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32) + (±(-16)!)(0)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + (-1) (±(-17)!)(0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4) + (±(-18)!)(0)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + (±(-19)!)(0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8) + (±(-20)!)(0)

Nota importante: sé que la línea en & # 951 (0) podría ser un paso controvertido, pero parece encajar

es la misma idea que usé para la función zeta cuando el valor allí dio -1/2 y ahora da 1/2


Representando la función Zeta en el plano complejo

Una comprensión más profunda: "puntos de origen"

Mucha gente está usando el término "Valor asignado" o "Continuación analítica" para series divergentes.
Pero esta explicación es tan deficiente y puede reemplazarse con un término de explicación mucho más fácil y simple.

Para mí (como yo lo veo), cuando miro la función zeta, no veo (ni uso) el término "Valor asignado" o "Continuación analítica"
¡En cambio, veo “espirales” alrededor de la cuadrícula!

La forma más sencilla es mirar primero el plano complejo & # 950 (s) = & # 950 (x + iy) = a + ib donde Re (s) & gt1 y el comportamiento de los puntos convergentes (¡imagen de arriba en espiral!)
La espiral gira hacia adentro hasta un punto único en el que la serie Converge. ¡Lo mismo ocurre al revés!

Cuando miro el plano complejo & # 950 (s) = & # 950 (x + iy) = a + ib donde Re (s) & lt1 y el comportamiento de los puntos divergentes
La espiral gira hacia afuera, pero si miras de cerca, notarás que la espiral tiene un "punto central" o un "origen".
y ese "origen" es el "valor asignado" del que todos hablan

cuando comencé a leer acerca de la función zeta, no sabía qué son esos "valores asignados" o "continuación analítica"
y cómo y por qué la gente intenta dar un valor a las series divergentes. ¿Y por qué ese valor específico y no otra cosa?
Quería una explicación distinta de “porque la fórmula lo dice” y sin profundizar en todo el “tema de la continuación analítica”.

¡Esos "puntos de origen" funcionaron!

el punto de origen más simple para entender es & # 951 (-1) = 1-2 + 3-4 + 5-6 +.

el valor (asignado) 1/4 no es la suma de & # 951 (-1)
simplemente representa los puntos de intersección de las dos líneas
o como me gusta describirlo como el punto de origen de la espiral en el plano complejo

asegúrate de revisar mi artículo que envié a Vixra & gt & gt & gt [PDF]

Si está asignando un valor para una serie que disminuye a un valor específico (caso # 1)
Entonces puede asignar un valor para una serie que aumenta de un valor específico (caso # 2) & lt & lt & lt punto de origen!

Aparte de esos dos casos, hay uno más
Esto es cuando la espiral en algún punto comienza a girar alrededor de un valor específico con un "radio fijo".
esos casos aparecen en la función zeta & # 950 (s) = & # 950 (x + iy) = a + ib cuando x = 1 y el radio será 1 / y
lo que significa que se trata de una serie divergente con un "radio fijo"

Es cierto que las espirales de la función zeta tienen 3 casos, pero todas son espirales con un brazo
Ahora en la función eta las espirales tienen dos brazos (eso es debido al intercambio +/-) con los mismos 3 casos

Por cierto, el "radio fijo" aparece en la función eta & # 951 (s) = & # 951 (x + iy) = a + ib cuando Re (s) = 0


Ecuación integral de reflexión de la función zeta

Podemos derivar la ecuación integral de reflexión mediante el análisis complejo.

En la ecuación anterior, usamos la función beta de Euler B (X, y). El método para derivarlo se explica en el siguiente artículo.

Podemos derivar la ecuación integral de reflexión mediante el análisis cuaterniónico.

tu es el cuaternión de la unidad. El método para derivarlo se explica en el siguiente artículo.

Podríamos acercarnos a la hipótesis de Riemann estudiando los valores propios de la ecuación integral de reflexión. Me gustaría recordarles que la teoría de supercuerdas comenzó a partir de la función beta.


Distribución de primas

La teorema de los números primos describe lo asintótico distribución de números primos. Nos da una visión general de cómo se distribuyen los números primos entre los números enteros positivos y también establece que los números primos se vuelven menos comunes a medida que se hacen más grandes. De manera informal, el teorema establece que si se selecciona cualquier entero positivo aleatorio en el rango de cero a un número grande NNN, la probabilidad de que el entero seleccionado sea primo es aproximadamente 1 ln ⁡ N, frac <1> < ln N> , ln N 1, donde ln ⁡ N ln N ln N es el logaritmo natural de NNN.

Una aplicación del teorema es que da una idea de cuánto tiempo llevará encontrar un número primo de cierto tamaño mediante una búsqueda aleatoria. Muchos criptosistemas (por ejemplo, RSA) requieren primos p ≈ 2512 p approx 2 ^ <512> p ≈ 2 5 1 2 el teorema dice que la probabilidad de que un número elegido al azar de ese tamaño sea primo es aproximadamente

Contenido


Zeta y (L ) - funciones en teoría de números y combinatoria

Las funciones Zeta y (L ) juegan un papel central en la teoría de números. Proporcionan información importante de naturaleza aritmética. Este libro, que surgió de la enseñanza del autor durante varios años, explora la interacción entre la teoría de números y la combinatoria utilizando zeta y (L ) - funciones como tema central. Proporciona una descripción sistemática y completa de estas funciones en un entorno combinatorio y establece, entre otras cosas, las contrapartes combinatorias de resultados célebres en la teoría de números, como el teorema de los números primos y el teorema de la densidad de Chebotarev.

Se estudia la teoría espectral para grafos finitos y complejos de dimensiones superiores. De especial interés en teoría y aplicaciones son los objetos espectralmente extremos, llamados gráficos de Ramanujan y complejos de Ramanujan, que pueden caracterizarse por sus funciones zeta asociadas que satisfacen la Hipótesis de Riemann.Se presentan construcciones explícitas de estos objetos combinatorios extremos, utilizando medios combinatorios y teóricos de números.

La investigación sobre las funciones zeta y (L ) para complejos distintos de los gráficos surgió solo en los últimos años. Este es el primer libro para estudiantes graduados e investigadores que ofrece una visión profunda de esta área fascinante y de rápido desarrollo.

Número de lectores

Estudiantes graduados e investigadores interesados ​​en las funciones Zeta y (L ).


Berndt, B.C .: El número de ceros para ( zeta ^ <(k)> (s) ). J. London Math. Soc. 2(4), 577–580 (1970)

Bohr, H., Landau, E .: Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ( zeta ) -Funktion und die (L ) -Funktion. Desgarrar. Circ. Estera. Palermo 37, 269–272 (1914)

Bohr, H., Landau, E., Littlewood, J.E .: Sur la fonction ( zeta (s) ) dans le voisinage de la droite ( sigma = 1/2 ). Acad. Roy. Belg. Toro. Cl. Sci. 12, 1144–1175 (1913)

Ki, H., Lee, Y .: Ceros de las derivadas de la función zeta de Riemann. Funct. Aprox. Comentario. Matemáticas. 47(1), 79–87 (2012)

Landau, E .: Über die Nullstellen der Zetafunktion. Matemáticas. Ana. 71(4), 548–564 (1912)

Lee, J., Onozuka, T., Suriajaya, A.I .: Algunas distribuciones de valores probabilísticos de la función zeta de Riemann y sus derivadas. Proc. Japón Acad. Ser. Una matemática. Sci. 92(7), 82–83 (2016)

Levinson, N .: Casi todas las raíces de ( zeta (s) = a ) están arbitrariamente cercanas a ( sigma = 1/2 ). Proc. Natl. Acad. Sci. EE.UU. 72(4), 1322–1324 (1975)

Levinson, N., Montgomery, H.L .: Ceros de las derivadas de la función zeta de Riemann. Acta Math. 133, 49–65 (1974)

Spira, R .: Regiones libres de cero de ( zeta ^ <(k)> (s) ). J. London Math. Soc. s1–40, 677–682 (1965)

Spira, R .: Otra región libre de cero para ( zeta ^ <(k)> (s) ). Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 26(2), 246–247 (1970)


8.3: La función Zeta de Riemann - Matemáticas

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El artículo destacado puede ser un artículo de investigación original, un estudio de investigación novedoso y sustancial que a menudo implica varias técnicas o enfoques, o un artículo de revisión completo con actualizaciones concisas y precisas sobre los últimos avances en el campo que revisan sistemáticamente los avances científicos más interesantes. literatura. Este tipo de artículo ofrece una perspectiva sobre las futuras direcciones de la investigación o sus posibles aplicaciones.

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Ver el vídeo: La Función Zeta de Riemann y su Producto de Euler. (Enero 2022).