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5.4: Valor medio de una función


5.4 Valor medio de una función

A menudo necesitamos encontrar el promedio de un conjunto de números, como la calificación promedio de una prueba. Suponga que recibió los siguientes puntajes de exámenes en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. Su calificación semestral es su promedio de puntajes de exámenes y desea saber qué calificación esperar. Podemos encontrar el promedio sumando todos los puntajes y dividiendo por el número de puntajes. En este caso, hay seis puntajes de prueba. Por lo tanto,

[ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = dfrac {482} {6} ≈80.33. ]

Por lo tanto, su calificación promedio en la prueba es de aproximadamente 80.33, que se traduce en una B− en la mayoría de las escuelas.

Supongamos, sin embargo, que tenemos una función (v (t) ) que nos da la rapidez de un objeto en cualquier momento t, y queremos encontrar la rapidez promedio del objeto. La función (v (t) ) toma un número infinito de valores, por lo que no podemos usar el proceso que acabamos de describir. Afortunadamente, podemos usar una integral definida para encontrar el valor promedio de una función como esta.

Sea (f (x) ) continuo en el intervalo ([a, b] ) y sea ([a, b] ) dividido en n subintervalos de ancho (Δx = (b − a) /norte). Elija un representante (x ^ ∗ _ i ) en cada subintervalo y calcule (f (x ^ ∗ _ i) ) para (i = 1,2,…, n. ) En otras palabras, considere cada ( f (x ^ ∗ _ i) ) como muestra de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como

[ dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _ 2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} {n}, ]

que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular el promedio de valores discretos.

Pero sabemos (Δx = dfrac {b − a} {n}, ) entonces (n = dfrac {b − a} {Δx} ), y obtenemos

[ dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _ 2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} {n} = dfrac {f (x ^ ∗ _ 1) + f (x ^ ∗ _2) + ⋯ + f (x ^ ∗ _ n)} { dfrac {(b − a)} {Δx}}. ]

Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ( sum_ {i = 1} ^ nf (x ∗ i), ) y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Por tanto, un valor aproximado del valor medio de la función viene dado por

( dfrac { sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i)} { dfrac {(b − a)} {Δx}} = ( dfrac {Δx} {b − a}) sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) = ( dfrac {1} {b − a}) sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx. )

Esta es una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto, tome el límite cuando n va al infinito. Por tanto, el valor medio de una función viene dado por

( dfrac {1} {b − a} lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx = dfrac {1} {b − a} ∫ ^ b_af (x) dx . )

Definición: valor medio de la función

Sea (f (x) ) continua en el intervalo ([a, b] ). Entonces el valor medio de la función (f (x) ) (o (f_ {ave} )) en ([a, b] ) está dada por

[f_ {ave} = dfrac {1} {b − a} ∫ ^ b_af (x) dx. ]

Ejemplo ( PageIndex {8} ): encontrar el valor promedio de una función lineal

Encuentra el valor promedio de (f (x) = x + 1 ) en el intervalo ([0,5]. )

Solución

Primero, grafique la función en el intervalo establecido, como se muestra en la Figura.

Figura ( PageIndex {10} ):La gráfica muestra el área bajo la función ((x) = x + 1 ) sobre ([0,5]. )

La región es un trapezoide acostado de lado, por lo que podemos usar la fórmula del área para un trapezoide (A = dfrac {1} {2} h (a + b), ) donde h representa la altura y ayb representan los dos lados paralelos. Luego,

(∫ ^ 5_0x + 1dx = dfrac {1} {2} h (a + b) = dfrac {1} {2} ⋅5⋅ (1 + 6) = dfrac {35} {2} ) .

Por tanto, el valor medio de la función es

( dfrac {1} {5−0} ∫ ^ 5_0x + 1dx = dfrac {1} {5} ⋅ dfrac {35} {2} = dfrac {7} {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentre el valor promedio de (f (x) = 6−2x ) en el intervalo ([0,3]. )

Insinuación

Use la fórmula del valor promedio y use la geometría para evaluar la integral.

Respuesta

3

Conceptos clave

  • La integral definida se puede utilizar para calcular el área neta con signo, que es el área sobre el eje x menos el área debajo del eje x. El área neta con signo puede ser positivo, negativo o cero.
  • El valor promedio de una función se puede calcular usando integrales definidas.

Ecuaciones clave

  • Integral definida

( Displaystyle∫ ^ b_af (x) dx = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )

Glosario

valor medio de una función
(o (f_ {ave}) ) el valor promedio de una función en un intervalo se puede encontrar calculando la integral definida de la función y dividiendo ese valor por la longitud del intervalo
variable de integración
indica con qué variable se está integrando; si esto es X, entonces la función en el integrando es seguida por dx

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


5.4: Valor medio de una función

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Editor de expresiones matemáticas

Hallamos el valor medio de una función.

Valor promedio

Definiremos y calcularemos el valor promedio de una función en un intervalo.

Continuando con nuestro cálculo de valor promedio, tenemos

Justificaciones teóricas

En esta sección, derivamos la fórmula para el valor promedio. Recuerde que estamos tratando de encontrar el valor promedio de una función, en un intervalo,. Comenzamos subdividiendo el intervalo en subintervalos iguales, cada uno de longitud. En cada uno de estos subintervalos, elegimos un punto de muestra. Denotamos el punto muestral en el -ésimo subintervalo por. Como una aproximación al valor promedio de la función durante el intervalo, tomamos el promedio de los valores de la función en los puntos muestrales: Esto se puede escribir en notación sumatoria como Observe que la ecuación en la definición de se puede reescribir como Esto nos permite reescribir nuestra aproximación de como Dado que es una constante, podemos traerla dentro de la suma para escribir: Finalmente, la aproximación mejora a medida que aumenta el número de puntos muestrales,,. Por lo tanto, definimos cuál por la definición de la integral definida se puede escribir como


Observaciones

Puede usar cualquier rango para el argumento de criterios, siempre que incluya al menos una etiqueta de columna y al menos una celda debajo de la etiqueta de columna para especificar la condición.

Por ejemplo, si el rango G1: G2 contiene la etiqueta de columna Ingresos en G1 y la cantidad 10,000 en G2, puede definir el rango como MatchIncome y usar ese nombre como argumento de criterio en las funciones de la base de datos.

Aunque el rango de criterios se puede ubicar en cualquier lugar de la hoja de trabajo, no coloque el rango de criterios debajo de la lista. Si agrega más información a la lista, la nueva información se agrega a la primera fila debajo de la lista. Si la fila debajo de la lista no está en blanco, Excel no puede agregar la nueva información.

Asegúrese de que el rango de criterios no se superponga a la lista.

Para realizar una operación en una columna completa en una base de datos, ingrese una línea en blanco debajo de las etiquetas de columna en el rango de criterios.


Encuentre el PROMEDIO de una lista en Python con ejemplo

La fórmula para calcular el promedio se realiza calculando la suma de los números en la lista dividida por el recuento de números en la lista.

El promedio de una lista se puede hacer de muchas maneras que se enumeran a continuación:

  • Promedio de Python usando el bucle
  • Mediante el uso de funciones integradas sum () y len () de python
  • Usando la función mean () para calcular el promedio del módulo de estadísticas.
  • Usando mean () de la biblioteca numpy

En este tutorial de Python, aprenderá:


Revisar

Si (X ) tiene un distribución exponencial con mean ( mu ), entonces el parámetro de decaimiento es (m = dfrac <1> < mu> ), y escribimos (X sim Exp (m) ) donde (x geq 0 ) y (m & gt 0 ). La función de densidad de probabilidad de (X ) es (f (x) = me ^ <-mx> ) (o equivalentemente (f (x) = dfrac <1> < mu> e ^ <- dfrac< mu >> )). La función de distribución acumulativa de (X ) es (P (X leq X) = 1 - e ^ <-mx> ).

La distribución exponencial tiene la propiedad sin memoria, que dice que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que (P (X & gt x + k | X & gt x) = P (X & gt k) ).

Si (T ) representa el tiempo de espera entre eventos, y si (T sim Exp ( lambda) ), entonces el número de eventos (X ) por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media ( lambda ). La función de densidad de probabilidad de (PX ) es ((X = k) = dfrac < lambda ^e ^ <-k>>). Esto se puede calcular usando una calculadora TI-83, 83+, 84, 84+ con el comando ( text( lambda, k) ). La función de distribución acumulativa (P (X leq k) ) se puede calcular usando la calculadora TI-83, 83 +, 84, 84+ con el comando ( text( lambda, k) ).


P: (a) Encuentre un polinomio de Taylor de grado 4 para f (x) = sen (x) expandido alrededor de xo = 0.

R: Ya que resolvió la primera pregunta por usted. Si desea que se resuelva alguna pregunta específica, por favor sp.

R: Tenemos que evaluar la integral dada.

R: Como sabemos que F = m × g. (1) Donde m es la masa del objeto yg es la aceleración debida a la gravedad.

P: Análisis numérico Resuelva la pregunta con claridad. Gracias.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: demuestre que la ecuación 3x + 2cosx + 5 = 0 tiene exactamente una raíz real.

P: muestre el funcionamiento completo

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Hay varias selecciones, así que escribí todas las respuestas en papel.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: considere f (x) = - 6x8 + 2lxl. es la función par, impar o ninguna. justifica la respuesta usando t algebraica.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: ¿Qué tan grande debe ser n para garantizar que la aproximación de la regla trapezoidal a - 6x + 24x2- 2x 5) da i.


Observaciones

Las celdas del rango que contienen VERDADERO o FALSO se ignoran.

Si una celda en rango_promedio es una celda vacía, AVERAGEIF la ignora.

Si el rango es un valor en blanco o de texto, AVERAGEIF devuelve # DIV0! valor de error.

Si una celda de los criterios está vacía, AVERAGEIF la trata como un valor 0.

Si ninguna celda en el rango cumple con los criterios, AVERAGEIF devuelve # DIV / 0! valor de error.

Puede utilizar los caracteres comodín, el signo de interrogación (?) Y el asterisco (*) en los criterios. Un signo de interrogación coincide con cualquier carácter y un asterisco coincide con cualquier secuencia de caracteres. Si desea encontrar un signo de interrogación o un asterisco real, escriba una tilde (

Average_range no tiene que ser del mismo tamaño y forma que el rango. Las celdas reales que se promedian se determinan utilizando la celda superior izquierda en rango_promedio como celda inicial, y luego se incluyen celdas que corresponden en tamaño y forma al rango. Por ejemplo:

Entonces las celdas reales evaluadas son

Nota: La función AVERAGEIF mide la tendencia central, que es la ubicación del centro de un grupo de números en una distribución estadística. Las tres medidas más comunes de tendencia central son:

Promedio que es la media aritmética, y se calcula sumando un grupo de números y luego dividiendo por el recuento de esos números. Por ejemplo, el promedio de 2, 3, 3, 5, 7 y 10 es 30 dividido por 6, que es 5.

Mediana que es el número medio de un grupo de números, es decir, la mitad de los números tienen valores que son mayores que la mediana y la mitad de los números tienen valores que son menores que la mediana. Por ejemplo, la mediana de 2, 3, 3, 5, 7 y 10 es 4.

Modo que es el número que ocurre con más frecuencia en un grupo de números. Por ejemplo, la moda de 2, 3, 3, 5, 7 y 10 es 3.

Para una distribución simétrica de un grupo de números, estas tres medidas de tendencia central son todas iguales. Para una distribución sesgada de un grupo de números, pueden ser diferentes.


Tunelización

La observación de que las funciones de onda no son cero en el límite clásico significa que el oscilador mecánico cuántico tiene una probabilidad finita de tener un desplazamiento mayor de lo que es clásicamente posible. El oscilador puede estar en una región del espacio donde la energía potencial es mayor que la energía total. Clásicamente, cuando la energía potencial es igual a la energía total, la energía cinética y la velocidad son cero y el oscilador no puede pasar este punto. Sin embargo, un oscilador mecánico cuántico tiene una probabilidad finita de pasar este punto. Para una vibración molecular, esta propiedad significa que la amplitud de la vibración es mayor de lo que sería en una imagen clásica. En algunas situaciones, una vibración de mayor amplitud podría mejorar la reactividad química de una molécula.

Figura ( PageIndex <2> ): En la mecánica clásica, una partícula solo puede atravesar una barrera si tiene suficiente energía cinética para superar la barrera en energía potencial. Una partícula cuántica a veces puede colarse a través de una barrera incluso cuando su energía parece atraparla en un lado. Este efecto, llamado túnel cuántico, explica cómo las partículas nucleares atrapadas a veces pueden escapar de sus núcleos, lo que lleva a la desintegración radiactiva. La tunelización también permite que los fotones de luz visible escapen del interior del sol y que funcionen las corrientes eléctricas. Ejercicio ( PageIndex <3> )

Grafique la densidad de probabilidad para los estados (v = 0 ) y (v = 1 ). Marque los límites clásicos en cada una de las gráficas, ya que los límites son diferentes porque la energía total es diferente para (v = 0 ) y (v = 1 ). Sombrea las regiones de las densidades de probabilidad que se extienden más allá del límite clásico.

El hecho de que un oscilador mecánico cuántico tenga una probabilidad finita de entrar en la región del espacio clásicamente prohibida es una consecuencia de la propiedad de onda de la materia y del principio de incertidumbre de Heisenberg. Una onda cambia gradualmente y la función de onda se acerca a cero gradualmente a medida que la energía potencial se acerca al infinito.

Para comprender los túneles cuánticos, piense en una partícula que se mueve en una línea. Ahora imagina colocar una pared a cada lado de la partícula. En la física clásica, la partícula rebota de un lado a otro entre las paredes y finalmente se detiene, atrapada. La partícula tiene suficiente energía para estar fuera de las paredes, pero no tiene suficiente energía para llegar allí.

Figura ( PageIndex <2> ): (izquierda) Comportamiento clásico de una partícula que choca con una barrera de espesor y altura finitos. (derecha) Comportamiento cuántico correspondiente. Esta posibilidad de encontrarse más allá de la barrera se denomina probabilidad de tunelización.

En mecánica cuántica, la partícula se comporta como una onda. La onda es más intensa entre las paredes, por lo que probablemente la partícula esté allí. En las paredes, la onda cuántica disminuye pero no se vuelve cero, se extiende ligeramente hacia las paredes. Una ola de muy baja intensidad se extiende fuera de las paredes. Por tanto, existe una mínima probabilidad de que la partícula se encuentre fuera de las paredes.

Figura ( PageIndex <3> ): Túnel cuántico a través de una barrera. La energía de la partícula tunelizada es la misma pero la amplitud de probabilidad disminuye. (CC-SA-BY 3.0 Felix Kling).

Tunelización en osciladores armónicos

Deberíamos poder calcular la probabilidad de que el oscilador armónico mecánico cuántico esté en la región clásicamente prohibida para el estado de energía más baja del oscilador armónico, el estado con (v = 0 ). La región clásicamente prohibida se muestra mediante el sombreado de las regiones más allá de (Q_0 ) en el gráfico que construyó para el ejercicio ( PageIndex <3> ). El área de esta región sombreada da la probabilidad de que la oscilación del enlace se extienda a la región prohibida (Figura ( PageIndex <3> )). Para calcular esta probabilidad, usamos

porque la integral de 0 a (Q_0 ) para la región permitida se puede encontrar en tablas de integrales y la integral de (Q_0 ) a ( infty ) no. La forma de la integral, P [permitida], para evaluar es

[P [ texto ] = 2 int límites _0 ^ Psi _0 ^ * (Q) Psi _0 (Q) dQ label <5.4.10> ]

El factor 2 aparece en la Ecuación ( ref <5.4.10> ) a partir de la simetría de la función de onda, que se extiende desde (- Q_0 ) a (+ Q_0 ). Para evaluar la integral en la Ecuación ( ref <5.4.10> ), use la función de onda y haga la integración en términos de (x ). Recuerda que para (v = 0 ), (Q = Q_0 ) corresponde a (x = 1 ). Incluyendo la constante de normalización, la Ecuación ( ref <5.4.10> ) produce

[P [ texto ] = dfrac <2> < sqrt < pi >> int limits _0 ^ 1 exp (-x ^ 2) dx label <5.4.11> ]

La integral de la ecuación ( ref <5.4.11> ) se llama función de error (ERF) y solo se puede evaluar numéricamente. Los valores se pueden encontrar en libros de tablas matemáticas. Cuando el límite de integración es 1, ERF (l) = 0,843 y P [prohibido] = 0,157. Este resultado significa que el oscilador mecánico cuántico se puede encontrar en la región prohibida el 16% del tiempo. Este efecto es sustancial y conduce al fenómeno llamado tunelización mecánica cuántica.

Verifique numéricamente que Pr [permitido] en la Ecuación ( ref <5.4.11> ) sea igual a 0.843. Para obtener un valor para la integral, no use integración simbólica o iguales simbólicos.


Cómo encontrar la mediana en Excel

Mediana es el valor medio de un grupo de números, que están dispuestos en orden ascendente o descendente, es decir, la mitad de los números son mayores que la mediana y la mitad de los números son menores que la mediana. Por ejemplo, la mediana del conjunto de datos <1, 2, 2, 3, 4, 6, 9> es 3.

Esto funciona bien cuando hay un número impar de valores en el grupo. Pero, ¿y si tienes un incluso número de valores? En este caso, la mediana es la media aritmética (promedio) de los dos valores medios. Por ejemplo, la mediana de <1, 2, 2, 3, 4, 6> es 2.5. Para calcularlo, toma los valores tercero y cuarto en el conjunto de datos y los promedia para obtener una mediana de 2.5.

En Microsoft Excel, una mediana se calcula utilizando la función MEDIANA. Por ejemplo, para obtener la mediana de todas las cantidades en nuestro informe de ventas, use esta fórmula:

Para que el ejemplo sea más ilustrativo, he ordenado los números en la columna C en orden ascendente (aunque en realidad no es necesario para que funcione la fórmula de la mediana de Excel):

A diferencia del promedio, Microsoft Excel no proporciona ninguna función especial para calcular la mediana con una o más condiciones. Sin embargo, puede "emular" la funcionalidad de MEDIANIF y MEDIANIFS usando una combinación de dos o más funciones como se muestra en estos ejemplos:


5.4: Los niveles de energía del oscilador armónico

Para un oscilador clásico, conocemos exactamente la posición, la velocidad y el momento en función del tiempo. La frecuencia del oscilador (o modo normal) está determinada por la masa reducida ( mu ) y la constante de fuerza efectiva (k ) del sistema oscilante y no cambia a menos que se cambie una de estas cantidades. No hay restricciones sobre la energía del oscilador, y los cambios en la energía del oscilador producen cambios en la amplitud de las vibraciones experimentadas por el oscilador.

Figura ( PageIndex <1> ): Función de energía potencial y primeros niveles de energía para el oscilador armónico. (CC BY = NC y Uumlmit Kaya)

Para el oscilador mecánico cuántico, la frecuencia de oscilación de un modo normal dado todavía está controlada por la masa y la constante de fuerza (o, de manera equivalente, por la función de energía potencial asociada). Sin embargo, la energía del oscilador está limitada a ciertos valores. Los niveles de energía cuantificados permitidos están igualmente espaciados y están relacionados con las frecuencias del oscilador como se indica en la Ecuación ( ref <5.4.1> ) y la Figura ( PageIndex <1> ).

[E_v = left (v + dfrac <1> <2> right) hbar omega = left (v + dfrac <1> <2> right) h nu label <5.4.1 > ]

En un oscilador mecánico cuántico, no podemos especificar la posición del oscilador (el desplazamiento exacto desde la posición de equilibrio) o su velocidad en función del tiempo, solo podemos hablar de la probabilidad de que el oscilador se desplace del equilibrio en una cierta cantidad. Esta probabilidad viene dada por

Sin embargo, podemos calcular el desplazamiento promedio y el desplazamiento cuadrático medio de los átomos en relación con sus posiciones de equilibrio. Este promedio es solo ( left langle Q right rangle ), el valor esperado para (Q ), y el desplazamiento cuadrático medio es ( left langle Q ^ 2 right rangle ), el valor esperado para (Q ^ 2 ). De manera similar, podemos calcular el impulso promedio ( left langle P_Q right rangle ) y el impulso cuadrático medio ( left langle P ^ 2_Q right rangle ), pero no podemos especificar el impulso como un función del tiempo.

Físicamente, ¿qué esperamos encontrar para el desplazamiento promedio y el impulso promedio? Dado que la función de energía potencial es simétrico alrededor de (Q = 0 ), esperamos que los valores de (Q & gt 0 ) sean tan probables como (Q & lt 0 ). Por tanto, el valor medio de (Q ) debería ser cero.

Estos resultados para el desplazamiento promedio y el impulso promedio no significan que el oscilador armónico esté quieto. En cuanto al caso de la partícula en una caja, podemos imaginar que el oscilador armónico de la mecánica cuántica se mueve hacia adelante y hacia atrás y, por lo tanto, tiene una cantidad de movimiento promedio de cero. Dado que la energía del oscilador armónico más baja permitida, (E_0 ), es ( dfrac < hbar omega> <2> ) y no 0, los átomos de una molécula deben moverse incluso en el estado de energía vibratoria más baja. Este fenómeno se denomina energía de punto cero o movimiento de punto cero y contrasta directamente con la imagen clásica de una molécula en vibración. Clásicamente, la energía más baja disponible para un oscilador es cero, lo que significa que el impulso también es cero y el oscilador no se mueve.

Compare el oscilador armónico mecánico cuántico con el oscilador armónico clásico en (v = 1 ) y (v = 50 ).

En v = 1, el oscilador armónico clásico predice mal los resultados del oscilador armónico mecánico cuántico y, por lo tanto, la realidad. En v = 1, la partícula estará cerca del estado fundamental y el modelo clásico predecirá que la partícula pasará la mayor parte del tiempo en los bordes exteriores cuando el KE vaya a cero y el PE esté al máximo, mientras que el modelo cuántico dice lo contrario y que es más probable que la partícula se encuentre en el centro. En v = 50, el modelo cuántico comenzará a coincidir con el clásico mucho más de cerca, con la partícula más probable que se encuentre en los bordes. El modelo cuántico que se parece más al clásico en números cuánticos más altos puede denominarse principio de correspondencia.

Dado que los valores promedio del desplazamiento y la cantidad de movimiento son todos cero y no facilitan las comparaciones entre los diversos modos normales y niveles de energía, necesitamos encontrar otras cantidades que puedan usarse para este propósito. Podemos usar la desviación cuadrática media de la raíz (ver también desplazamiento cuadrático medio) (también conocida como la desviación estándar del desplazamiento) y la cantidad de movimiento cuadrático medio como medidas de la incertidumbre en la posición y el momento del oscilador.

Para una vibración molecular, estas cantidades representan la desviación estándar en la longitud del enlace y la desviación estándar en el momento de los átomos de los valores promedio de cero, por lo que nos proporcionan una medida del desplazamiento relativo y el momento asociado con cada normal. modo en todos sus niveles de energía permitidos. Estas son cantidades importantes para determinar porque la excitación vibratoria cambia el tamaño y la simetría (o forma) de las moléculas. Tales cambios afectan la reactividad química, la absorción y emisión de radiación y la disipación de energía en transiciones sin radiación.

Las funciones de onda del oscilador armónico forman un conjunto ortonormal, esto significa que todas las funciones del conjunto se normalizan individualmente

[ int límites _ <- infty> ^ < infty> psi ^ * _ v (x) psi _v (x) dx = 1 label <5.4.4> ]

y son ortogonales entre sí.

[ int límites _ <- infty> ^ < infty> psi ^ * _ (x) psi _v (x) dx = 0 text v ' ne v label <5.4.5> ]

El hecho de que una familia de funciones de onda forme un conjunto ortonormal suele ser útil para simplificar integrales complicadas. Usaremos estas propiedades cuando determinemos las reglas de selección del oscilador armónico para las transiciones vibratorias en una molécula y calculemos los coeficientes de absorción para la absorción de radiación infrarroja.

Finalmente, podemos calcular la probabilidad de que un oscilador armónico se encuentre en la región clásicamente prohibida. ¿Qué significa esta tentadora declaración? Clásicamente, la extensión máxima de un oscilador se obtiene equiparando la energía total del oscilador a la energía potencial, porque en la extensión máxima toda la energía está en forma de energía potencial. Si toda la energía no estuviera en forma de energía potencial en este punto, el oscilador tendría energía cinética e impulso y podría continuar extendiéndose más lejos de su posición de reposo. Curiosamente, como mostramos a continuación, las funciones de onda del oscilador mecánico cuántico se extienden más allá del límite clásico, es decir, más allá de donde la partícula puede estar de acuerdo con la mecánica clásica.

La energía mínima permitida para el oscilador mecánico cuántico se llama energía de punto cero, (E_0 = dfrac < hbar omega> <2> ). Usando la imagen clásica descrita en el párrafo anterior, esta energía total debe ser igual a la energía potencial del oscilador en su extensión máxima. Definimos este límite clásico de la amplitud del desplazamiento del oscilador como (Q_0 ). Cuando equiparamos la energía del punto cero para un modo normal particular con la energía potencial del oscilador en ese modo normal, obtenemos

La energía de punto cero es la más bajo energía posible que puede tener un sistema físico mecánico cuántico. Por tanto, es la energía de su estado fundamental.

Recuerde que (k ) es la constante de fuerza efectiva del oscilador en un modo normal particular y que la frecuencia del modo normal está dada por la ecuación ( ref <5.4.1> ) que es