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11.1: Usar el sistema de coordenadas rectangulares (Parte 1)


Habilidades para desarrollar

  • Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular
  • Identificar puntos en una gráfica
  • Verificar soluciones a una ecuación en dos variables
  • Completar una tabla de soluciones de una ecuación lineal.
  • Encuentra soluciones a ecuaciones lineales en dos variables.

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Evalúe: x + 3 cuando x = −1. Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.4.10.
  2. Evalúe: 2x - 5y cuando x = 3, y = −2. Si no detectó este problema, revise el Ejemplo 3.8.106.
  3. Resuelva para y: 40 - 4y = 20. Si omitió este problema, revise el Ejemplo 8.4.1.

Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular

Muchos mapas, como el Mapa del campus que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones. ¿Ves los números 1, 2, 3 y 4 en la parte superior e inferior del mapa y las letras A, B, C y D a los lados? Cada ubicación en el mapa se puede identificar con un número y una letra.

Por ejemplo, el Centro de Estudiantes está en la sección 2B. Se encuentra en la sección de la cuadrícula encima del número 2 y al lado de la letra B. ¿En qué sección de la cuadrícula está el estadio? El estadio está en la sección 4D.

Figura ( PageIndex {1} )

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula de las Residencias. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 4C de la cuadrícula?

Solución

(a) Lea el número debajo de las Residencias, 4, y la letra al lado, A. Entonces, las Residencias están en la sección 4A de la cuadrícula.

(b) Encuentre 4 en la parte inferior del mapa y C a lo largo del costado. Mire debajo del 4 y al lado del C. Tiger Field está en la sección de cuadrícula 4C.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula de Taylor Hall. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 3B?

Responde una

1C

Respuesta b

Edificio de Ingeniería

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula del estacionamiento. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 2C?

Responde una

1A

Respuesta b

Biblioteca

Así como los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, un sistema de cuadrícula se usa en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. Para crear un sistema de coordenadas rectangular, comience con una recta numérica horizontal. Muestre números positivos y negativos como lo hizo antes, usando una unidad de escala conveniente. Esta recta numérica horizontal se llama eje x.

Ahora, haga una recta numérica vertical que pase por el eje x en 0. Coloque los números positivos arriba de 0 y los números negativos debajo de 0. Vea la Figura ( PageIndex {2} ). Esta línea vertical se llama eje y.

Las líneas de cuadrícula verticales pasan a través de los números enteros marcados en el eje x. Las líneas de cuadrícula horizontales pasan por los números enteros marcados en el eje y. La cuadrícula resultante es el sistema de coordenadas rectangular.

El sistema de coordenadas rectangular también se llama plano x-y, plano de coordenadas o sistema de coordenadas cartesiano (ya que fue desarrollado por un matemático llamado René Descartes).

Figura ( PageIndex {2} ): el sistema de coordenadas rectangular.

El eje xy el eje y forman el sistema de coordenadas rectangular. Estos ejes dividen un plano en cuatro áreas, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se identifican con números romanos, comenzando en la esquina superior derecha y avanzando en sentido antihorario. Vea la Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas rectangular.

En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto está representado por un par ordenado. El primer número del par ordenado es la coordenada x del punto y el segundo número es la coordenada y del punto.

Definición: par ordenado

Un par ordenado, (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la coordenada x. El segundo número es la coordenada y.

Entonces, ¿cómo te ayudan las coordenadas de un punto a ubicar un punto en el plano x-y?

Intentemos localizar el punto (2, 5). En este par ordenado, la coordenada x es 2 y la coordenada y es 5.

Comenzamos ubicando el valor x, 2, en el eje x. Luego dibujamos ligeramente una línea vertical a través de x = 2, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} )

Figura ( PageIndex {4} )

Ahora ubicamos el valor de y, 5, en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 5. El punto donde estas dos líneas se encuentran es el punto con coordenadas (2, 5). Trazamos el punto allí, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {5} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Grafique (1, 3) y (3, 1) en el mismo sistema de coordenadas rectangular.

Solución

Los valores de las coordenadas son los mismos para ambos puntos, pero los valores de xey están invertidos. Comencemos con el punto (1, 3). La coordenada x es 1, así que encuentra 1 en el eje x y dibuja una línea vertical a través de x = 1. La coordenada y es 3, entonces encontramos 3 en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 3. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (1, 3).

Para trazar el punto (3, 1), comenzamos ubicando 3 en el eje x y trazamos una línea vertical a través de x = 3. Luego encontramos 1 en el eje y y trazamos una línea horizontal a través de y = 1. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (3, 1).

Observe que el orden de las coordenadas es importante, por lo que (1, 3) no es el mismo punto que (3, 1).

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangular: (2, 5), (5, 2).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangular: (4, 2), (2, 4).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−1, 3) (b) (−3, −4) (c) (2, −3) (d) ( left (3, dfrac {5} {2} right) )

Solución

El primer número del par de coordenadas es la coordenada x y el segundo número es la coordenada y.

  1. Dado que x = −1, y = 3, el punto (−1, 3) está en el cuadrante II.
  2. Dado que x = −3, y = −4, el punto (−3, −4) está en el cuadrante III.
  3. Como x = 2, y = −1, el punto (2, −1) está en el cuadrante lV.
  4. Dado que x = 3, y = ( dfrac {5} {2} ), el punto ( left (3, dfrac {5} {2} right) ) está en el cuadrante I. Puede ser Es útil escribir ( dfrac {5} {2} ) como el número mixto, (2 dfrac {1} {2} ), o decimal, 2.5. Entonces sabemos que el punto está a medio camino entre 2 y 3 en el eje y.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−2, 1) (b) (−3, −1) (c) (4, −4) (d) ( left (-4, dfrac {3} {2} right) )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Grafique cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−4, 1) (b) (−2, 3) (c) (2, −5) (d) ( izquierda (-3, dfrac {5} {2} derecha) )

Respuesta

¿Cómo afectan las señales a la ubicación de los puntos?

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Grafique cada punto: (a) (−5, 2) (b) (−5, −2) (c) (5, 2) (d) (5, −2)

Solución

Al ubicar la coordenada xy la coordenada y, debemos tener cuidado con los signos.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Grafique cada punto: (a) (4, −3) (b) (4, 3) (c) (−4, −3) (d) (−4, 3)

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Grafique cada punto: (a) (−1, 4) (b) (1, 4) (c) (1, −4) (d) (−1, −4)

Respuesta

Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en los dos ejemplos anteriores.

Para cada punto del cuadrante IV, ¿qué notas sobre los signos de las coordenadas?

¿Qué pasa con los signos de las coordenadas de los puntos en el tercer cuadrante? ¿El segundo cuadrante? ¿El primer cuadrante?

¿Puedes decir con solo mirar las coordenadas en qué cuadrante está ubicado el punto (-2, 5)? ¿En qué cuadrante se encuentra (2, −5)?

Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de la siguiente manera. También vea la Figura ( PageIndex {6} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
Cuadrante ICuadrante IICuadrante IIICuadrante IV
(x, y)(x, y)(x, y)(x, y)
(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)

Figura ( PageIndex {6} )

¿Qué pasa si una coordenada es cero? ¿Dónde está ubicado el punto (0, 4)? ¿Dónde está ubicado el punto (−2, 0)? El punto (0, 4) está en el eje y y el punto (-2, 0) está en el eje x.

Definición: puntos en los ejes

Los puntos con una coordenada y igual a 0 están en el eje x y tienen coordenadas (a, 0).

Los puntos con una coordenada x igual a 0 están en el eje y y tienen coordenadas (0, b).

¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es (0, 0). El punto tiene un nombre especial. Se llama el origen.

Definición: el origen

El punto (0, 0) se llama origen. Es el punto donde el eje xy el eje y se cruzan.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Grafique cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (0, 5) (b) (4, 0) (c) (−3, 0) (d) (0, 0) (e) (0, −1)

Solución

  1. Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 5) está en el eje y.
  2. Como y = 0, el punto cuyas coordenadas son (4, 0) está en el eje x.
  3. Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (−3, 0) está en el eje x.
  4. Dado que x = 0 e y = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 0) es el origen.
  5. Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, −1) está en el eje y.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (4, 0) (b) (−2, 0) (c) (0, 0) (d) (0, 2) (e) (0, −3)

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

Grafique cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (−5, 0) (b) (3, 0) (c) (0, 0) (d) (0, −1) (e) (0, 4)

Respuesta

Identificar puntos en un gráfico

En álgebra, ser capaz de identificar las coordenadas de un punto que se muestra en una gráfica es tan importante como poder trazar puntos. Para identificar la coordenada x de un punto en un gráfico, lea el número en el eje x directamente encima o debajo del punto. Para identificar la coordenada y de un punto, lea el número en el eje y directamente a la izquierda o derecha del punto. Recuerda escribir el par ordenado usando el orden correcto (x, y).

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Solución

El punto A está por encima de −3 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es −3. El punto está a la izquierda de 3 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es 3. Las coordenadas del punto son (−3, 3).

El punto B está por debajo de -1 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es -1. El punto está a la izquierda de −3 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es −3. Las coordenadas del punto son (−1, −3).

El punto C está por encima de 2 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es 2. El punto está a la derecha de 4 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es 4. Las coordenadas de el punto son (2, 4).

El punto D está por debajo de 4 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es 4. El punto está a la derecha de −4 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es −4. Las coordenadas del punto son (4, −4)

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (5,1), B: (−2,4), C: (−5, −1), D: (3, −2)

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (4,2), B: (−2,3), C: (−4, −4), D: (3, −5)

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Solución

El punto A está en el eje x en x = - 4.Las coordenadas del punto A son (- 4, 0).
El punto B está en el eje y en y = - 2.Las coordenadas del punto B son (0, - 2).
El punto C está en el eje x en x = 3.Las coordenadas del punto C son (3, 0).
El punto D está en el eje y en y = 1.Las coordenadas del punto D son (0, 1).

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (4,0), B: (0,3), C: (−3,0), D: (0, −5)

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (−3,0), B: (0, −3), C: (5,0), D: (0,2)

Introducción a los porcentajes

Cuando deposita dinero en una cuenta de ahorros en un banco, gana dinero adicional. Averiguar cómo crecerá su dinero implica comprender y aplicar conceptos de porcentajes. En este capítulo, descubriremos qué son los porcentajes y cómo podemos usarlos para resolver problemas.

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    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Prealgebra 2e
    • Fecha de publicación: 11 de marzo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/6-introduction-to-percents

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    11.1: Usar el sistema de coordenadas rectangulares (Parte 1)

    • Trace pares ordenados en un sistema de coordenadas cartesiano.
    • Grafica ecuaciones trazando puntos.
    • Grafica ecuaciones con una utilidad gráfica.
    • Busque las intersecciones de [látex] x [/ látex] y las intersecciones de [látex] y [/ látex].
    • Usa la fórmula de la distancia.
    • Usa la fórmula del punto medio.

    Tracie partió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. En el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada está indicada por un punto rojo en la (Figura). Al colocar una cuadrícula de coordenadas rectangular sobre el mapa, podemos ver que cada parada se alinea con una intersección de líneas de cuadrícula. En esta sección, aprenderemos a usar líneas de cuadrícula para describir ubicaciones y cambios en ubicaciones.

    Trazado de pares ordenados en el sistema de coordenadas cartesianas

    Una vieja historia describe cómo el filósofo y matemático del siglo XVII René Descartes inventó el sistema que se ha convertido en la base del álgebra mientras estaba enfermo en cama. Según la historia, Descartes estaba mirando una mosca que se arrastraba por el techo cuando se dio cuenta de que podía describir la ubicación de la mosca en relación con las líneas perpendiculares formadas por las paredes adyacentes de su habitación. Vio las líneas perpendiculares como ejes horizontales y verticales. Además, al dividir cada eje en unidades de longitud iguales, Descartes vio que era posible ubicar cualquier objeto en un plano bidimensional usando solo dos números: el desplazamiento desde el eje horizontal y el desplazamiento desde el eje vertical.

    Si bien hay evidencia de que ideas similares al sistema de cuadrícula de Descartes existieron siglos antes, fue Descartes quien introdujo los componentes que componen el sistema de coordenadas cartesiano, un sistema de cuadrícula que tiene ejes perpendiculares. Descartes nombró al eje horizontal el X-eje y el eje vertical el y-eje.

    El sistema de coordenadas cartesianas, también llamado sistema de coordenadas rectangulares, se basa en un plano bidimensional que consta de X-eje y el y-eje. Perpendiculares entre sí, los ejes dividen el plano en cuatro secciones. Cada sección se llama cuadrante, los cuadrantes están numerados en sentido antihorario como se muestra en la (Figura)

    El centro del plano es el punto en el que se cruzan los dos ejes. Se conoce como el origen, o punto [látex] left (0,0 right). [/ Látex] Desde el origen, cada eje se divide en unidades iguales: números positivos crecientes a la derecha en el X-eje y hasta el y-eje decreciente, números negativos a la izquierda en el X-eje y por el y-eje. Los ejes se extienden hasta el infinito positivo y negativo, como muestran las puntas de flecha en la (Figura).

    Cada punto del plano se identifica por su X-coordenada, o desplazamiento horizontal desde el origen, y su y-coordenada, o desplazamiento vertical desde el origen. Juntos, los escribimos como un par ordenado que indica la distancia combinada desde el origen en la forma [látex] , left (x, y right). , [/ Látex] Un par ordenado también se conoce como par de coordenadas porque consta de X- y y-coordenadas. Por ejemplo, podemos representar el punto [latex] , left (3, -1 right) , [/ latex] en el plano moviendo tres unidades a la derecha del origen en la dirección horizontal, y una unidad hacia abajo en la dirección vertical. Ver figura).

    Al dividir los ejes en incrementos igualmente espaciados, tenga en cuenta que el X-El eje puede considerarse por separado del y-eje. En otras palabras, mientras que el X-El eje puede dividirse y etiquetarse de acuerdo con enteros consecutivos, el y-El eje puede dividirse y etiquetarse por incrementos de 2, 10 o 100. De hecho, los ejes pueden representar otras unidades, como años contra el saldo en una cuenta de ahorros, o cantidad contra el costo, etc. Considere el sistema de coordenadas rectangulares principalmente como un método para mostrar la relación entre dos cantidades.

    Sistema de coordenadas Cartesianas

    Un plano bidimensional donde el

    Un punto en el plano se define como un par ordenado, [latex] , left (x, y right), [/ latex] tal que X está determinada por su distancia horizontal desde el origen y y está determinada por su distancia vertical desde el origen.

    Trazado de puntos en un sistema de coordenadas rectangular

    Grafica los puntos [latex] , left (-2,4 right), [/ latex] [latex] left (3,3 right), [/ latex] y [latex] , left (0 , -3 right) , [/ latex] en el avión.

    Para trazar el punto [latex] , left (-2,4 right), [/ latex] comience en el origen. La X-coordinate es –2, así que mueva dos unidades a la izquierda. La y-coordinate es 4, entonces mueva cuatro unidades hacia arriba en el positivo y dirección.

    Para trazar el punto [látex] , left (3,3 right), [/ látex] comience de nuevo en el origen. La X-coordinate es 3, así que mueva tres unidades a la derecha. La y-coordinate también es 3, así que mueva tres unidades hacia arriba en el positivo y dirección.

    Para trazar el punto [látex] , left (0, -3 right), [/ látex] comience de nuevo en el origen. La X-coordinate es 0. Esto nos dice que no nos movamos en ninguna dirección a lo largo del X-eje. La y-coordinate es –3, así que mueva tres unidades hacia abajo en sentido negativo y dirección.Vea el gráfico en la (Figura).

    Análisis

    Tenga en cuenta que cuando cualquiera de las coordenadas es cero, el punto debe estar en un eje. Si el X-coordinado es cero, el punto está en el y-eje. Si el y-coordinado es cero, el punto está en el X-eje.

    Graficar ecuaciones graficando puntos

    Podemos trazar un conjunto de puntos para representar una ecuación. Cuando tal ecuación contiene tanto un X variable y una y variable, se llama ecuación en dos variables. Su gráfica se llama gráfica en dos variables. Cualquier gráfico en un plano bidimensional es un gráfico en dos variables.

    Supongamos que queremos graficar la ecuación [látex] , y = 2x-1. , [/ Látex] Podemos comenzar sustituyendo un valor por X en la ecuación y determinar el valor resultante de y. Cada par de X& # 8211 y y-valores es un par ordenado que se puede trazar. (Figura) enumera los valores de X de –3 a 3 y los valores resultantes para y.

    [látex] x [/ látex] [látex] y = 2x-1 [/ látex] [látex] left (x, y right) [/ látex]
    [látex] -3 [/ látex] [látex] y = 2 left (-3 right) -1 = -7 [/ látex] [látex] left (-3, -7 right) [/ látex]
    [látex] -2 [/ látex] [látex] y = 2 left (-2 right) -1 = -5 [/ látex] [látex] left (-2, -5 right) [/ látex]
    [látex] -1 [/ látex] [látex] y = 2 left (-1 right) -1 = -3 [/ látex] [látex] left (-1, -3 right) [/ látex]
    [látex] 0 [/ látex] [látex] y = 2 left (0 right) -1 = -1 [/ látex] [látex] left (0, -1 right) [/ látex]
    [látex] 1 [/ látex] [látex] y = 2 left (1 right) -1 = 1 [/ látex] [látex] left (1,1 right) [/ látex]
    [látex] 2 [/ látex] [látex] y = 2 left (2 right) -1 = 3 [/ látex] [látex] left (2,3 right) [/ látex]
    [látex] 3 [/ látex] [látex] y = 2 left (3 right) -1 = 5 [/ látex] [látex] left (3,5 right) [/ látex]

    Podemos trazar los puntos en la tabla. Los puntos de esta ecuación en particular forman una línea, por lo que podemos conectarlos. Ver figura). Esto no es cierto para todas las ecuaciones.

    Tenga en cuenta que el X-los valores elegidos son arbitrarios, independientemente del tipo de ecuación que estemos graficando. Por supuesto, algunas situaciones pueden requerir valores particulares de X que se trazará para ver un resultado en particular. De lo contrario, es lógico elegir valores que se puedan calcular fácilmente, y siempre es una buena idea elegir valores que sean tanto negativos como positivos. No existe una regla que indique cuántos puntos trazar, aunque necesitamos al menos dos para graficar una línea. Sin embargo, tenga en cuenta que cuantos más puntos tracemos, con mayor precisión podremos trazar el gráfico.

    Cómo

    Dada una ecuación, grafica trazando puntos.

    1. Haz una tabla con una columna etiquetada X, una segunda columna etiquetada con la ecuación y una tercera columna que enumera los pares ordenados resultantes.
    2. Ingresar X-valores en la primera columna usando valores positivos y negativos. Seleccionando el X-los valores en orden numérico simplificarán la representación gráfica.
    3. Seleccione X-valores que rendirán y-valores con poco esfuerzo, preferiblemente aquellos que se puedan calcular mentalmente.
    4. Trace los pares ordenados.
    5. Conecta los puntos si forman una línea.

    Graficar una ecuación en dos variables trazando puntos

    Grafica la ecuación [látex] , y = -x + 2 , [/ látex] trazando puntos.

    Primero, construimos una tabla similar a (Figura). Escoger X valores y calcular y.

    [látex] x [/ látex] [látex] y = -x + 2 [/ látex] [látex] left (x, y right) [/ látex]
    [látex] -5 [/ látex] [látex] y = - left (-5 right) + 2 = 7 [/ látex] [látex] left (-5,7 right) [/ látex]
    [látex] -3 [/ látex] [látex] y = - left (-3 right) + 2 = 5 [/ látex] [látex] left (-3,5 right) [/ látex]
    [látex] -1 [/ látex] [látex] y = - left (-1 right) + 2 = 3 [/ látex] [látex] left (-1,3 right) [/ látex]
    [látex] 0 [/ látex] [látex] y = - left (0 right) + 2 = 2 [/ látex] [látex] left (0,2 right) [/ látex]
    [látex] 1 [/ látex] [látex] y = - left (1 right) + 2 = 1 [/ látex] [látex] left (1,1 right) [/ látex]
    [látex] 3 [/ látex] [látex] y = - left (3 right) + 2 = -1 [/ látex] [látex] left (3, -1 right) [/ látex]
    [látex] 5 [/ látex] [látex] y = - left (5 right) + 2 = -3 [/ látex] [látex] left (5, -3 right) [/ látex]

    Ahora, grafique los puntos. Conéctelos si forman una línea. Ver figura)

    Intentalo

    Construya una tabla y grafique la ecuación trazando puntos: [látex] , y = frac <1> <2> x + 2. [/ Látex]

    [látex] x [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> x + 2 [/ látex] [látex] left (x, y right) [/ látex]
    [látex] -2 [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> left (-2 right) + 2 = 1 [/ látex] [látex] left (-2,1 right) [/ látex]
    [látex] -1 [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> left (-1 right) + 2 = frac <3> <2> [/ látex] [látex] left (-1, frac <3> <2> right) [/ látex]
    [látex] 0 [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> left (0 right) + 2 = 2 [/ látex] [látex] left (0,2 right) [/ látex]
    [látex] 1 [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> left (1 right) + 2 = frac <5> <2> [/ látex] [látex] left (1, frac <5> <2> right) [/ látex]
    [látex] 2 [/ látex] [látex] y = frac <1> <2> left (2 right) + 2 = 3 [/ látex] [látex] left (2,3 right) [/ látex]

    Graficar ecuaciones con una utilidad gráfica

    La mayoría de las calculadoras gráficas requieren técnicas similares para graficar una ecuación. Las ecuaciones a veces tienen que ser manipuladas para que estén escritas en el estilo [latex] , y , [/ latex] = _____. La TI-84 Plus, y muchas otras marcas y modelos de calculadoras, tienen una función de modo que permite modificar la ventana (la pantalla para ver el gráfico) para que se puedan ver las partes pertinentes de un gráfico.

    Por ejemplo, la ecuación [látex] , y = 2x-20 , [/ látex] se ingresó en la TI-84 Plus que se muestra en la (Figura)una. En figura)B, se muestra el gráfico resultante. Observe que no podemos ver en la pantalla dónde el gráfico cruza los ejes. La pantalla de ventana estándar de la TI-84 Plus muestra [látex] , - 10 le x le 10, [/ látex] y [látex] , - 10 le y le 10. , [/ Látex] Ver figura)C.

    Figura 7. a. Ingrese la ecuación. B. Este es el gráfico de la ventana original. C. Éstos son los ajustes originales.

    Cambiando la ventana para mostrar más de lo positivo X-eje y más de lo negativo y-eje, tenemos una vista mucho mejor del gráfico y el X- y y-intercepta. Ver figura)a y (figura)B.

    Figura 8. una. Esta pantalla muestra la nueva configuración de la ventana. B. Podemos ver claramente las intersecciones en la nueva ventana.

    Usar una utilidad de representación gráfica para representar gráficamente una ecuación

    Utilice una herramienta gráfica para graficar la ecuación: [látex] , y = - frac <2> <3> x- frac <4> <3>. [/ Látex]

    Ingrese la ecuación en el y = función de la calculadora. Establezca la configuración de la ventana para que tanto el X- y y- las intersecciones se muestran en la ventana. Ver figura).

    Hallazgo X-intercepta y y-intercepta

    Las intersecciones de un gráfico son puntos en los que el gráfico cruza los ejes. La X-La intersección es el punto en el que la gráfica cruza la X-eje. En este punto, el y-la coordenada es cero. La y-La intersección es el punto en el que la gráfica cruza la y-eje. En este punto, el X-la coordenada es cero.

    Para determinar el X-interceptar, establecemos y igual a cero y resolver para X. Del mismo modo, para determinar la y-interceptar, establecemos X igual a cero y resolver para y. Por ejemplo, busquemos las intersecciones de la ecuación [látex] , y = 3x-1. [/ Látex]

    Para encontrar el X-interceptar, establecer [látex] , y = 0. [/ látex]

    Para encontrar el y-interceptar, establecer [látex] , x = 0. [/ látex]

    Podemos confirmar que nuestros resultados tienen sentido al observar una gráfica de la ecuación como en la (Figura). Observe que la gráfica cruza los ejes donde predijimos que lo haría.

    Dada una ecuación, encuentra las intersecciones.

    1. Encuentra el X-interceptar estableciendo [látex] , y = 0 , [/ látex] y resolviendo para [látex] , x. [/ látex]
    2. Encuentra el y-interceptar configurando [látex] , x = 0 , [/ látex] y resolviendo para [látex] , y. [/ látex]

    Hallar las intersecciones de la ecuación dada

    Encuentra las intersecciones de la ecuación [látex] , y = -3x-4. , [/ Látex] Luego dibuja la gráfica usando solo las intersecciones.


    A.3. Velocidades en la Vía Láctea¶

    Las velocidades observadas se informan típicamente como movimientos propios en el cielo, para la parte del movimiento que se encuentra en el plano del cielo, y la velocidad de la línea de visión, la velocidad hacia o lejos de nosotros. Los movimientos adecuados se miden comparando la posición de una estrella en el cielo en dos épocas diferentes, normalmente espaciadas por al menos unos pocos años y hasta décadas (aunque los satélites astrométricos como Gaia medir las posiciones del cielo de las fuentes celestes a una cadencia mucho más alta y así tener una mejor resolución de tiempo que esta). Las velocidades en la línea de visión se pueden medir utilizando los cambios Doppler de las líneas espectrales en un espectro tomado de la luz de la fuente. Por lo tanto, los movimientos adecuados son velocidades angulares, por lo general se informa en mas / año, mientras que las velocidades en la línea de visión se miden como cambios Doppler, que son fracciones de la velocidad de la luz y, por lo tanto, se puede determinar la velocidad en km / s. Para determinar la velocidad física total, los movimientos angulares propios deben multiplicarse por la distancia. Tenga en cuenta que para evitar la confusión con la velocidad radial en el marco galactocéntrico cilíndrico, siempre intentaremos referirnos a la velocidad de desplazamiento Doppler como la velocidad de la línea de visión, pero en la literatura esto también se conoce comúnmente como velocidad radial.

    Al igual que las posiciones de las fuentes celestes se informan típicamente como RA y Dec en el sistema ecuatorial, los movimientos propios normalmente se informan como movimientos propios ( mu _ < alpha, *> ) y ( mu_ delta ) en ( alpha = ) RA y ( delta = ) Dec, respectivamente. Estos se definen en función del desplazamiento ( Delta alpha ) y ( Delta delta ) en RA y Dec, respectivamente, durante un período de tiempo (T ) como

    Hemos agregado un asterisco en el subíndice para ( mu _ < alpha, *> ) debido al factor ( cos delta ) que está presente. Este factor es necesario para transformar el desplazamiento de coordenadas observado en RA en un desplazamiento físico. Prácticamente todos los catálogos de movimiento propio informan ( mu _ < alpha, *> ) aunque a menudo no incluyen el asterisco. ¡Asegúrese de estar seguro de si el factor ( cos delta ) está incluido o no antes de hacer uso de los movimientos adecuados! Si desea utilizar movimientos adecuados para calcular la posición de las coordenadas celestes actual en RA y Dec desde su posición en, digamos, el año 2000, asegúrese de dividir el factor ( cos delta ) antes de aplicar el desplazamiento, es decir, desea el desplazamiento de coordenadas ( Delta alpha = mu _ < alpha, *> , T / cos delta ).


    10. Sistema de coordenadas geográficas

    Longitud especifica las posiciones este y oeste como el ángulo entre el primer meridiano y un segundo meridiano que se cruza con el punto de interés. La longitud varía de +180 (o 180 ° E) a -180 ° (o 180 ° W). 180 ° Este y Oeste juntos forman la Línea Internacional de Cambio de Fecha.

    Latitud especifica las posiciones norte y sur en términos del ángulo subtendido en el centro de la Tierra entre dos líneas imaginarias, una que cruza la ecuador y otro que cruza el punto de interés. La latitud varía desde + 90 ° (o 90 ° N) en el polo norte hasta -90 ° (o 90 ° S) en el polo sur. Una línea de latitud también se conoce como paralelo.

    En latitudes más altas, la longitud de los paralelos disminuye a cero a 90 ° Norte y Sur. Las líneas de longitud no son paralelas sino que convergen hacia los polos. Por lo tanto, mientras que un grado de longitud en el ecuador es igual a una distancia de aproximadamente 111 kilómetros, esa distancia disminuye a cero en los polos.


    Definición de un sistema de coordenadas local

    Normalmente, los componentes de desplazamiento y rotación están asociados con el sistema de eje cartesiano rectangular global. Cuando un sistema de coordenadas transformado está asociado con un nodo, todos los datos de entrada para fuerzas y momentos concentrados y para condiciones de contorno de desplazamiento y rotación en el nodo se dan en el sistema local. Están disponibles las siguientes transformaciones:

    La transformación de coordenadas definida en un nodo debe ser coherente con los grados de libertad que existen en el nodo. Por ejemplo, un sistema de coordenadas transformado no debe definirse en un nodo que está conectado solo a un elemento SPRING1 o SPRING2, ya que estos elementos tienen solo un grado activo de libertad por nodo.

    Debe identificar el conjunto de nodos para el que se define el sistema transformado local.

    En Abaqus / CAE usted define un sistema de coordenadas local independientemente de su uso y luego se refiere a él cuando aplica una carga o condición de contorno en un nodo.

    Definición de un sistema de coordenadas local en un modelo que contiene un ensamblaje de instancias de piezas

    En un modelo definido en términos de un conjunto de instancias de pieza, puede definir una transformación nodal a nivel de pieza, instancia de pieza o conjunto. Una transformación nodal definida en el nivel de pieza o instancia de parte se rotará de acuerdo con los datos de posicionamiento dados para cada instancia de esa parte (o para la instancia de parte). Consulte Definición de ensamblaje. No se permiten múltiples definiciones de transformación en un nodo, incluso si una de ellas está a nivel de pieza y otra a nivel de ensamblaje.

    Análisis de grandes desplazamientos

    El sistema de coordenadas transformado es siempre un conjunto de ejes cartesianos fijos en un nodo (incluso para transformaciones cilíndricas o esféricas). Estas direcciones transformadas están fijas en el espacio; las direcciones no giran cuando el nodo se mueve. Por lo tanto, incluso en el análisis de grandes desplazamientos, los componentes de desplazamiento siempre deben darse con respecto a estas direcciones fijas en el espacio.

    Definición de una transformación de coordenadas cartesianas rectangular

    En una transformación cartesiana rectangular, las direcciones transformadas son paralelas en todos los nodos del conjunto. Se deben dar las coordenadas de dos puntos, como se muestra en la Figura 1.

    El primer punto, a, debe estar en una línea que pasa por el origen global, este punto define la dirección X 1 transformada. El segundo punto, b, debe estar en el plano que contiene el origen global y las direcciones X 1 e Y 1 transformadas. Este segundo punto debe estar en o cerca del eje Y 1 positivo.

    Definición de una transformación de coordenadas cilíndricas

    Las direcciones radial, tangencial y axial deben definirse en función de las coordenadas originales de cada nodo del conjunto de nodos para el que se invoca la transformación. Se deben dar las coordenadas globales (X, Y, Z) de los dos puntos que definen el eje del sistema cilíndrico (puntos ayb como se muestra en la Figura 2).

    El origen del sistema de coordenadas local está en el nodo de interés. El eje local X 1 está definido por una línea que pasa por el nodo, perpendicular a la línea que pasa por los puntos ay b. El eje local Z 1 está definido por una línea que es paralela a la línea que pasa por los puntos ay b. El eje Y 1 local forma un sistema de coordenadas a la derecha con X 1 y Z 1.

    No se puede definir un sistema de coordenadas cilíndrico para un nodo que se encuentra a lo largo de la línea que une los puntos ay b.

    Definición de una transformación de coordenadas esféricas

    Las direcciones radial, circunferencial y meridional deben definirse en función de las coordenadas originales de cada nodo del conjunto de nodos para el que se invoca la transformación. Las coordenadas globales (X, Y, Z) del centro del sistema esférico, a, y de un punto en el eje polar, b, se deben dar como se muestra en la Figura 3.

    El origen del sistema de coordenadas local está en el nodo de interés. El eje local X 1 está definido por una línea que atraviesa el nodo y el punto a. El eje local Z 1 se encuentra en un plano que contiene el eje polar (la línea entre los puntos ayb) y es perpendicular al eje local X 1. El eje Y 1 local forma un sistema de coordenadas a la derecha con X 1 y Z 1.

    No se puede definir un sistema de coordenadas esféricas para un nodo que se encuentra a lo largo de la línea que une los puntos ay b.


    11.1: Usar el sistema de coordenadas rectangulares (Parte 1)


    Una larga serie de artículos de un educador increíblemente talentoso digno de la inversión de su valioso tiempo. El mejor tratado de aplicación práctica y conversión de coordenadas SPC que he visto en cualquier lugar.

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    Lo siguiente es una cita de una publicación del U.S. Coast and Geodetic Survey.

    A principios de la década de 1930, un ingeniero de un departamento de carreteras del estado se acercó a la encuesta geodésica y costera de los EE. UU. En busca de un método para utilizar datos geodésicos en todo un estado que involucraría solo las fórmulas de topografía plana. Esto provocó el establecimiento, en 1933, del Sistema de Coordenadas de Carolina del Norte mediante el cual Carolina del Norte podría transformarse en coordenadas plano-rectangulares (xey) en una sola cuadrícula, y levantamientos en todas las partes del estado a las que se hace referencia. de modo que las estaciones de levantamiento y los puntos de referencia puedan describirse con precisión indicando sus coordenadas en referencia al origen común de la cuadrícula.

    Aproximadamente un año después del establecimiento del Sistema de Coordinación de Carolina del Norte, se había ideado un sistema similar para cada uno de los estados de la unión. Para algunos de ellos, un único origen de cuadrícula y un meridiano de referencia fueron suficientes. Los demás estados, debido a su gran tamaño, se dividieron cada uno en varios cinturones o zonas, teniendo cada zona su propio origen y meridiano de referencia.

    Cada sistema de coordenadas de estado se basa en una proyección cartográfica conforme. Al usar una proyección de mapa conforme como base para un sistema de coordenadas de estado y al limitar una dimensión del área que debe ser cubierta por una sola cuadrícula, se logran dos cosas:

    En un mapa conforme se conservan los ángulos de proyección. Esto significa que, en un punto dado, la diferencia entre los acimuts geodésicos y de cuadrícula de líneas muy cortas es una constante, y los ángulos de la Tierra formados por tales líneas están realmente representados en el mapa. Para propósitos prácticos de topografía, esta condición se mantiene para distancias de hasta 10 millas. Para líneas más largas, la diferencia varía, y la corrección que se aplicará a cualquier ángulo observado (geodésico) para obtener un ángulo de cuadrícula correspondiente es la diferencia de las correcciones a los acimuts de las líneas, derivadas por separado. Las desviaciones de las longitudes de la cuadrícula de las longitudes geodésicas serán un máximo a lo largo de los márgenes de la dimensión más larga de la cuadrícula y a la mitad de estos márgenes. La cantidad por la que se multiplica una longitud geodésica para obtener la longitud de cuadrícula correspondiente se denomina factor de escala.

    Las limitaciones en el ancho de la proyección o cuadrícula permiten un control de las desviaciones de las longitudes de la cuadrícula con respecto a las longitudes geodésicas.Cuando el ancho de un área cubierta por una sola cuadrícula es 158 millas de estatua, la diferencia extrema entre las longitudes geodésicas y de cuadrícula será de 1 / 10,000 de la longitud de una línea, lo cual es bastante satisfactorio para la mayoría de los levantamientos terrestres ".

    La publicación citada es la Publicación especial No. 235 de Coast and Geodetic Survey, “The State Coordinate Systems”. Hay otra publicación, Coast and Geodetic Survey Publication 62-4, "Coordenadas del plano estatal mediante procesamiento automático de datos". Estas dos publicaciones proporcionaron a la profesión de topografía y cartografía información sobre cómo derivar las coordenadas del plano estatal de 1927 basadas en el Datum de América del Norte de 1927, (NAD 27) más información para la travesía y otros cálculos con estas coordenadas.

    Hace varios años, fui uno de los tres oradores en un seminario en la Conferencia de Agrimensores Profesionales de Nuevo México en Albuquerque. Se mencionó el sistema de coordenadas del plano estatal y les pedí a todos los que usaban las coordenadas del plano estatal que levantaran la mano. Solo se levantaron 10 manos, de unas 150 personas en la sala. Hice la misma pregunta en seminarios en todo el país y descubrí que más personas están usando el sistema, pero siempre hay menos de la mitad de las personas en la sala.

    ¿Por qué tan pocos topógrafos usan las coordenadas del plano estatal y por qué otros se niegan a usarlas? Porque no lo entienden. Algunos topógrafos culpan a la comunidad de ingenieros, y puedo entenderlo. Al menos el 95 por ciento de todos los jóvenes graduados en ingeniería civil no han estado expuestos a las coordenadas del plano estatal, y son los responsables de los proyectos de carreteras controlados por las coordenadas del plano estatal. ¿Qué hace esta gente? Insista en que todas las coordenadas del plano de estado se conviertan en coordenadas de superficie para que el factor de escala para todas las distancias medidas sea uno. Otro problema es que algunos programas informáticos de aviones estatales fueron escritos por programadores informáticos que no adoptaron un enfoque práctico para un trabajo de topografía. Permítanme terminar esta columna con un descargo de responsabilidad, este no es un artículo señalador. Hay momentos en que las distancias de la superficie y las coordenadas de la superficie son más apropiadas que las distancias de la cuadrícula y las coordenadas del plano de estado.

    Cuando se estableció el sistema de coordenadas del plano de estado, los autores describieron el sistema en términos simples, fácilmente comprensibles para los usuarios. La Figura 1 muestra un sistema de coordenadas bidimensional familiar para casi todo el mundo. Hoy lo llamaríamos un sistema de coordenadas rectangulares x, y o un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional para diestros. Los autores del sistema de coordenadas del plano estatal lo llamaron cuadrícula. La siguiente cita de la publicación especial n. ° 235 de Coast and Geodetic Survey, "Los sistemas de coordenadas estatales", muestra cómo lo describieron. Al igual que con cualquier sistema de coordenadas plano-rectangular, una proyección empleada para establecer un sistema de coordenadas de estado puede estar representada por dos conjuntos de líneas paralelas, que se cruzan en ángulos rectos. La red así formada se denomina cuadrícula. Un conjunto de estas líneas es paralelo al plano del meridiano que pasa aproximadamente por el centro del área que se muestra en la cuadrícula, y la línea de la cuadrícula correspondiente a ese meridiano es el Eje de Y de la cuadrícula. También se denomina meridiano central de la cuadrícula. Formando ángulos rectos con el Eje de Y y al sur del área que se muestra en la cuadrícula está el Eje de X. El punto de intersección de estos ejes es el origen de las coordenadas. La posición de un punto representado en la cuadrícula se puede definir indicando dos distancias, denominadas coordenadas. Una de estas distancias, conocida como coordenada x, da la posición en una dirección este y oeste. La otra distancia, conocida como coordenada y, da la posición en una dirección norte y sur, esta coordenada es siempre positiva. Las coordenadas x aumentan de tamaño, numéricamente, de oeste a este, las coordenadas y aumentan de tamaño de sur a norte. Todas las coordenadas x en un área representada en una cuadrícula de estado se hacen positivas asignando al origen las coordenadas: x = 0 más una constante grande. Entonces, para cualquier punto, la coordenada x es igual al valor de x adoptado para el origen, más o menos la distancia (x ') del punto este u oeste desde el meridiano central (eje de Y) y la coordenada y es igual a la distancia perpendicular al punto desde el Eje de X. La unidad lineal de los sistemas de coordenadas estatales es el pie de 12 pulgadas definido por la equivalencia: 1 metro internacional = 39,37 pulgadas exactamente.

    El sistema de coordenadas del estado se desarrolló para que hubiera una relación directa entre las coordenadas geodésicas, latitud y longitud, y las coordenadas de la cuadrícula, xey. Esto se explica de la siguiente manera:

    Durante más de un siglo, el Servicio Costero y Geodésico de los Estados Unidos se ha involucrado en operaciones geodésicas que determinan las posiciones geodésicas, las latitudes y longitudes, de miles de puntos monumentales distribuidos por el país. Estas latitudes y longitudes se encuentran en una figura ideal: un esferoide de referencia que se acerca mucho a la superficie de la Tierra al nivel del mar. Mediante procesos matemáticos, las posiciones de las líneas de la cuadrícula de un sistema de coordenadas de estado se determinan con respecto a los meridianos y paralelos del esferoide de referencia. Un punto que se define indicando su latitud y longitud en el esferoide de referencia también puede definirse indicando sus coordenadas xey en una cuadrícula de estado. Si se conoce una de las posiciones, la otra puede derivarse mediante cálculos matemáticos formales. Lo mismo ocurre con las longitudes y acimuts: la longitud geodésica y el acimut entre dos posiciones se pueden transformar en una longitud de cuadrícula y un acimut mediante operaciones matemáticas. O el proceso puede invertirse cuando se conocen los valores de la cuadrícula y se desean valores geodésicos.

    En general, cualquier cálculo de levantamiento que implique el uso de datos de posición geodésica también se puede realizar con los datos de cuadrícula correspondientes, pero con esta diferencia: los resultados obtenidos con los datos geodésicos son exactos, pero requieren el uso de complicadas y tediosas fórmulas esféricas y de tablas especiales. . Por otro lado, los resultados obtenidos con los datos de la cuadrícula no son exactos, ya que implican ciertas concesiones que deben hacerse en la transferencia de datos de levantamiento desde la superficie curva de la Tierra (esferoide) a la superficie plana de un sistema de coordenadas de estado pero el Los cálculos con los datos de la cuadrícula son bastante simples, ya que se realizan con las fórmulas ordinarias de la topografía plana y con los sistemas de coordenadas estatales, la correlación exacta de los valores de la cuadrícula y los valores de la cuadrícula y los valores geodésicos se obtiene fácilmente mediante procedimientos matemáticos simples.

    En la geodesia moderna, la expresión "elipsoide de revolución" ha reemplazado a "esferoide". Observe las afirmaciones sobre la relación directa entre las coordenadas geodésicas y las coordenadas de la cuadrícula del plano de estado. Esa relación no existe si se usan coordenadas de superficie.

    Algunas personas se confunden cuando se utiliza la expresión "proyecciones cartográficas". Los sistemas de coordenadas de estado colocan una Tierra de forma elipsoidal en un plano plano con una precisión aceptable para la topografía, y para hacer esto, el U.S. Coast and Geodetic Survey seleccionó proyecciones de mapas que los cartógrafos usan para poner una tierra redonda en papel plano.

    Al usar una proyección de mapa conforme como base para un sistema de coordenadas de estado y al limitar una dimensión del área que debe ser cubierta por una sola cuadrícula, se logran dos cosas [esto es una repetición de la Parte 1, pero redactado de manera diferente].

    En una proyección de mapa conforme, los ángulos se conservan. Esto significa que, en un punto dado, la diferencia entre los acimuts geodésicos y de cuadrícula de líneas muy cortas es una constante, y los ángulos de la Tierra formados por tales líneas están realmente representados en el mapa. Para propósitos prácticos de topografía, esta condición es válida para distancias de hasta aproximadamente diez millas. Para líneas más largas, la diferencia varía, y la corrección que se aplicará a un ángulo observado (geodésico) para obtener un ángulo de cuadrícula correspondiente es la diferencia de las correcciones a los acimuts de las líneas, derivadas por separado.

    "La limitación en el ancho de la proyección o cuadrícula permite un control de las desviaciones de las longitudes de la cuadrícula con respecto a las longitudes geodésicas. Cuando el ancho de un área cubierta por una sola cuadrícula es 158 millas de estatua, la diferencia extrema entre las longitudes geodésicas y de cuadrícula será 1 / 10,000 de la longitud de una línea, lo cual es bastante satisfactorio para la mayoría de los levantamientos topográficos.

    Si bien se adoptó un ancho de 158 millas-estatua como estándar al diseñar los sistemas de coordenadas estatales, se han realizado desviaciones de ese ancho donde las condiciones geográficas lo permitieron o los requisitos de topografía justificaron el cambio. Si el ancho de un estado es inferior a 158 millas, el ancho de la cuadrícula se redujo y, por lo tanto, el efecto del factor de escala también disminuyó. Cuanto más estrecha sea la franja de la superficie de la Tierra que se desee representar en un plano, menor será la distorsión involucrada en el proceso. La dimensión norte-sur de Connecticut es menos de 80 millas: el factor de escala máximo para el sistema de coordenadas de Connecticut, (Figura 2 en la p. 18) a lo largo de los límites norte y sur del estado, expresado como una proporción, es alrededor de 1: 40.000. A mitad de camino entre las líneas de escala exacta es 1: 79,000. Cuando un estado es demasiado amplio para ser cubierto por una sola cuadrícula, se divide en cinturones, llamados zonas, para cada uno de los cuales se adopta una cuadrícula separada. Las líneas limítrofes entre las zonas siguen las líneas del condado. Los factores de escala limitantes para las diversas zonas de un sistema de coordenadas de estado no necesitan ser los mismos. Por ejemplo, el Sistema de coordenadas de Illinois (Figura 3 en la p. 18) comprende dos zonas. La zona este, en la que se encuentra Chicago, tiene factores de escala mucho más pequeños que la zona occidental. Una cosa que se buscó al diseñar el sistema de coordenadas estatales fue mantener el número de zonas en cualquier estado al mínimo, de acuerdo con los requisitos de precisión de escala. Por ejemplo, al permitir que la relación de escala fuera ligeramente superior a 1: 10,000, todo el estado de Texas se dividió en cinco zonas.

    Artículo largo. Debido a la longitud, eliminé al menos dos bocetos que podrían haber aclarado la descripción, estos se incluirán en la siguiente columna. Recuerde, los sistemas de coordenadas estatales discutidos se refieren al NAD 27, el Datum de América del Norte de 1927. Se realizaron cambios para el Datum de América del Norte de 1983.


    Como dije anteriormente en esta serie, las coordenadas del plano de estado se basan en proyecciones de mapas conformes. Como somos topógrafos, no podemos pensar en una proyección de mapa como si se usara solo para mapas de papel, pero este concepto puede ser difícil de comprender para algunas personas.

    Hay muchas definiciones de proyecciones cartográficas. Una referencia establece que una proyección de mapa es una representación sistemática de la totalidad o parte de la superficie de un cuerpo redondo, especialmente la Tierra, en un plano (Snyder). Otra referencia dice, una proyección es un medio de transferir puntos en una superficie a puntos correspondientes en otra superficie (Buckner). Al realizar levantamientos topográficos o cartografiar un área grande, se requiere una proyección. No importa qué proyección se utilice, habrá distorsiones. Si la encuesta o el mapa cubre un área pequeña, como una ciudad, es posible que las distorsiones no sean visibles, pero existen. Determine qué distorsión es la menos objetable y seleccione esa proyección para la encuesta o el mapa.

    Con pocas excepciones, hay tres superficies desarrollables que son la base de la mayoría de las proyecciones cartográficas: el cilindro, el cono y el plano. Una superficie desarrollable se puede "cortar" y desenrollar para formar un plano. Esto se muestra en la Figura 1. Con fines ilustrativos, describamos estas superficies de forma global.

    • La superficie toca el ecuador en toda su circunferencia.
    • Los meridianos de longitud se proyectarán sobre el cilindro como líneas rectas equidistantes perpendiculares al ecuador.
    • Los paralelos de latitud se proyectan como líneas paralelas al ecuador y matemáticamente espaciadas para ciertas características.
    • La proyección de Mercator es el ejemplo más conocido y sus paralelos deben estar espaciados matemáticamente (ver Figura 2).
    • Si se coloca un cono sobre el globo, con su pico a lo largo del eje polar de la tierra y con la superficie del cono tocando el globo a lo largo de algún paralelo de latitud particular, se puede producir una proyección cónica (ver Figura 3).
    • Los meridianos se proyectan sobre el cono como líneas rectas equidistantes que irradian desde el pico.
    • Los paralelos se proyectan como líneas alrededor de la circunferencia del cono en planos perpendiculares al eje polar de la tierra, espaciados para las características deseadas.
    • Un plano tangente a uno de los polos de la Tierra es la base de las proyecciones azimutales polares. Una proyección azimutal es aquella en la que las direcciones o acimuts de todos los puntos se muestran correctamente con respecto al centro.
    • El grupo de proyecciones recibe su nombre de la función, no del plano, ya que todas las proyecciones del plano tangente en una esfera son azimutales.
    • Los meridianos se proyectan como líneas rectas que irradian desde un punto, pero están espaciados en sus ángulos verdaderos en lugar de los ángulos más pequeños de las proyecciones cónicas. Un ejemplo se muestra en la Figura 4.
    • Los paralelos de latitud son círculos completos, centrados en el polo.

    1. El cilindro o cono puede ser secante o cortar el globo en dos paralelos en lugar de ser tangente a uno solo. Esto proporciona dos paralelos estándar.
    2. El avión puede atravesar el globo terráqueo en cualquier paralelo en lugar de tocar un poste.
    3. El eje del cilindro o cono puede tener una dirección diferente a la del eje polar, mientras que el plano puede ser tangente a un punto que no sea un polo. Este tipo de modificación conduce a importantes proyecciones oblicuas, transversales y ecuatoriales, en las que la mayoría de los meridianos y paralelos ya no son líneas rectas o arcos de círculos.


    Las tres proyecciones básicas, discutidas en la última columna, se muestran en la Figura 1. Las superficies de proyección utilizadas para los sistemas de coordenadas del plano de estado son modificaciones, también discutidas en la última columna y mostradas en la Figura 2. Estas se llaman proyecciones secantes: un cono secante en la proyección de Lambert y cilindro secante en la proyección de Mercator. En la proyección de Mercator, el cilindro secante se ha girado 90 ° para que el eje del cilindro sea perpendicular al eje de rotación de la superficie de referencia. Ocasionalmente, el cilindro se gira en un acimut predeterminado, creando una proyección de Mercator oblicua; hay una zona de coordenadas del plano estatal en Alaska que usa este concepto. Tenga en cuenta que estas superficies de proyección se cruzan con el elipsoide, no con la superficie de la tierra. El cono secante corta la superficie del elipsoide a lo largo de dos paralelos de latitud llamados paralelos estándar. Especificar estos dos paralelos define el cono especificando un meridiano central que orienta el cono con respecto al elipsoide. El cilindro secante transversal corta la superficie del elipsoide a lo largo de dos pequeñas elipses equidistantes del meridiano a través del centro de la zona. El cilindro secante se define especificando este meridiano central más un factor de escala de cuadrícula deseado en el meridiano central. Las elipses de intersección son líneas estándar, su ubicación es una función del factor de escala del meridiano central.

    La especificación de la latitud y la longitud del origen de la cuadrícula y los valores de la cuadrícula asignados a ese origen son necesarios para definir de manera única una zona de la proyección de Lambert o de la proyección transversal de Mercator. La Figura 3, tomada del Sistema de coordenadas del plano estatal de 1983 por James E. Stem, muestra cómo se definen los sistemas Lambert y Mercator transversal. Antes de entrar en la definición de zonas y constantes de zona, veamos nuevamente la Figura 2 y preguntemos: "¿Cuándo se usa la proyección cónica conforme de Lambert?" y "¿Cuándo se usa la proyección transversal de Mercator?" (Nota: aunque la palabra "conforme" no se utiliza para nombrar la proyección transversal de Mercator, la proyección es conforme). La proyección de Lambert proporciona la aproximación más cercana a la superficie de referencia para una zona rectangular más larga en la dirección este-oeste. La proyección transversal de Mercator proporciona la aproximación más cercana a una zona rectangular más larga en una dirección norte-sur. Cuanto más estrecha sea la franja de la superficie terrestre que se desee retratar en un plano, menor será la distorsión de escala en la proyección. Como se mencionó en una columna anterior, "cuando el ancho de un área cubierta por una sola cuadrícula es 158 millas terrestres, las diferencias extremas entre la longitud geodésica y la cuadrícula serán 1 / 10,000 de la longitud de una línea". Para un estado como Connecticut que es algo más largo en la dirección este-oeste, la proyección de Lambert es ideal. La distancia norte-sur a través de Connecticut es de menos de 158 millas terrestres que una zona puede cubrir y cubre todo el estado. New Hampshire, New Jersey y Rhode Island son algo más largos en la dirección norte-sur. Los tres estados utilizan la proyección transversal de Mercator y, como en Connecticut, una zona cubre cada estado.

    ¿Qué pasa con los estados más grandes? Si un estado es grande, no importa cuál de las dos proyecciones se utilice, solo tiene que dividir el estado en dos o más zonas. Estoy seguro de que se pensó mucho en la selección de la proyección y el número de zonas para cada estado. Aunque California es mucho más larga en la dirección norte-sur, la forma no rectangular hizo más práctico el uso de la proyección Lambert con siete zonas. La Tabla 1, una tabla grande para el Sistema de coordenadas del plano estatal de 1927, resume todo lo que hemos discutido hasta este momento. Para cada estado, identifica las proyecciones utilizadas, nombra las zonas, da la latitud y la longitud y el factor de escala seleccionados para el meridiano central o los paralelos, y da la latitud, la longitud y las coordenadas xey seleccionadas para el origen. El origen de cada zona estaba lo suficientemente al sur para que todas las coordenadas y rectangulares sean números positivos. Con pocas excepciones, la coordenada x del meridiano central de la zona era de 500.000 pies o 2.000.000 pies.

    Aquí está el problema:
    Calcule las coordenadas del plano estatal para la estación Blackduck Tank cuyas coordenadas NAD 27 son

    Latitud N47 ° 43 '50.270 "
    Longitud W94 ° 32 '58.240 "

    La estación está ubicada en el estado de Minnesota, zona del plano estatal Minnesota North.

    La coordenada y = 0 ocurre en N46 ° 30 ', que está lo suficientemente lejos al sur de la zona norte de Minnesota para que todas las coordenadas y sean positivas. Dada la latitud y longitud del punto P, necesitará conocer los valores del ángulo, radio Rb y radio R para calcular las coordenadas x, y del punto P. Recuerde, esta es una proyección cónica el punto A representa el vértice del cono sobre el que se proyecta el área, y el arco EP representa una porción del paralelo de latitud que pasa por el punto P.

    Realicemos los cálculos. Con referencia a la Figura 2, las coordenadas xey del punto P se pueden calcular utilizando las siguientes ecuaciones:

    Como puede verse en la Figura 2, C = 2,000,000 pies. Aunque no se muestra, RB= 19,471,398.75 pies, una constante para Minnesota North.

    Se necesitan tablas para obtener R y q. Estas tablas se dan en la publicación para el estado de Minnesota, pero para este artículo, las Tablas 1 y 2, de Rayner y Schmidt, son resúmenes de las tablas originales que cubren los valores necesarios para resolver nuestro problema. La Tabla 1 da los valores de q en función de la longitud, desde la longitud W94 ° 21 'hasta la longitud W95 ° 00'. La Tabla 2 da los valores de R, y 'y el factor de escala en función de la latitud, desde la latitud N47 ° 31' hasta la latitud N47 ° 50 '(y' no es necesaria para nuestro problema).

    Dado: Estación Tanque Blackduck
    Latitud N47 ° 43 '50.270 "
    Longitud W94 ° 32 '58.240 "
    Estado - Minnesota, Zona Norte
    C = 2,000,000 pies
    RB = 19,471,398.75 pies

    Encontrar: Las coordenadas del plano de estado xey, más el factor de escala

    Solución:
    1. De la Tabla 2, interpole para obtener R para la latitud N47 ° 43 '50.270 "

    Para una latitud de 47 ° 43 ',
    R = 19,027,633.05 pies
    Para una latitud de 47 ° 44 ',
    R = 19,021,553.99 pies
    Diferencia = 6.079,06 pies

    Interpolar para latitud 47 ° 43 '50.270 "

    Dado que el valor de R está disminuyendo de la latitud 47 ° 44 'a 47 ° 43', para obtener R en la latitud 47 ° 43 '50.270 ", resta 5093.24 del valor de R en la latitud 47 ° 43'.

    Tabla 1. Valores de q - Zona norte de Minnesota

    Proyección de Lambert para Minnesota - Zona norte
    1 "de largo. = 0" .7412196637 de q

    -0 55 35.4885
    -0 56 19.9617
    -0 57 04.4348
    -0 57 48.9080
    -0 58 33.3812
    -0 59 17.8543
    -1 00 02.3276
    -1 00 46.8007
    -1 01 31.2739
    -1 02 15.7471
    -1 03 00.2202
    -1 03 44.6935
    -1 04 29.1666
    -1 05 13.6398
    -1 05 58.1130
    -1 06 42.5862
    -1 07 27.0594
    -1 08 11.5325
    -1 08 56.0057
    -1 09 40.4789

    -1 10 24.9521
    -1 11 09.4253
    -1 11 53.8984
    -1 12 38.3716
    -1 13 22.8448
    -1 14 07.3180
    -1 14 51.7912
    -1 15 36.2643
    -1 16 20.7375
    -1 17 05.2107
    -1 17 49.6839
    -1 18 34.1571
    -1 19 18.6302
    -1 20 03.1034
    -1 20 47.5766
    -1 21 32.0498
    -1 22 16.5230
    -1 23 00.9961
    -1 23 45.4693
    -1 24 29.9425

    2. De la Tabla 1, interpolar para q en la longitud W94 ° 32 '58.240 ".

    Para la longitud W94 ° 32 ',
    q = -1Â ° 03 '44,6935 "
    Para la longitud W94 ° 33 ',
    q = -1Â ° 04 '29,1666 "
    Diferencia = -0 ° 00 '44.4731 "

    Interpolar por longitud
    94 ° 32 '58.240 "

    Dado que el valor de q aumenta negativamente de 94 ° 32 'a 94 ° 33', sume algebraicamente 43,1686 "al valor en 94 ° 32 '.

    3. Resuelve la ecuación x = R sen q + C: x = 1,643,311.67 pies.

    4. Resuelva la ecuación y = Rb - R cos q:
    y = 452.203,34 pies.

    Tabla 2. Valores de R, y 'y
    Factores de escala - Zona norte de Minnesota

    Proyección de Lambert para Minnesota - Zona norte

    y '
    y Valor en
    Meridiano central (pies)

    Tabular
    Diferencia
    por 1 "de lat. (ft)

    Escalar en
    Unidades de
    7mo lugar
    de registros

    19,100,580.81
    19,094,501.88
    19,088,422.95
    19,082,344.01
    19,076,265.06
    19,070,186.10
    19,064,107.13
    19,058,028.15
    19,051,949.16
    19,045,870.15
    19,039,791.13
    19,033,712.10
    19,027,633.05
    19,021,553.99
    19,015,474.92
    19,009,395.83
    19,003,316.72
    18,997,237.60
    18,991,158.46
    18,985,079.30

    370,817.94
    376,896.87
    382,975.80
    389,054.74
    395,133.69
    401,212.65
    407,291.62
    413,370.60
    419,449.59
    425,528.60
    431,607.62
    437,686.65
    443,765.70
    449,844.76
    455,923.83
    462,002.92
    468,082.03
    474,161.15
    480,240.29
    486,319.45

    101.31550
    101.31550
    101.31567
    101.31583
    101.31600
    101.31617
    101.31633
    101.31650
    101.31683
    101.31700
    101.31717
    101.31750
    101.31767
    101.31783
    101.31817
    101.31850
    101.31867
    101.31900
    101.31933
    101.31950

    0.9999182
    0.9999166
    0.9999152
    0.9999138
    0.9999125
    0.9999112
    0.9999101
    0.9999090
    0.9999080
    0.9999071
    0.9999063
    0.9999056
    0.9999050
    0.9999044
    0.9999039
    0.9999035
    0.9999032
    0.9999030
    0.9999029
    0.9999028

    5. Resuelve el factor de escala:

    Latitud N47 ° 43 ',
    factor de escala = 0,9999050
    Latitud N47 ° 44 ',
    factor de escala = 0,9999044
    Diferencia = 0.0000006

    Interpolar para latitud 47 ° 43 '50.270 "

    Dado que el factor de escala está disminuyendo de 47 ° 43 'a 47 ° 44', reste 0.0000005 del valor en 47 ° 43 ':

    Factor de escala =
    0.9999050 - 0.0000005 = 0.9999045.

    Dado:
    Estación Blackduck Tank en Minnesota
    Latitud N47 ° 43 '50.270'
    Longitud W94 ° 32 '58.240'

    Calculado:
    Zona norte de Minnesota, NAD 27
    x = 1,643,311.67 pies
    y = 452,203.34 pies
    factor de escala = 0,9999045.

    Para atravesar, se necesita un segundo punto de control geodésico y las coordenadas del plano de estado deben calcularse para ese punto. Si los dos puntos de control geodésico son intervisibles, la inversión entre las coordenadas del plano de dos estados da el "azimut de la cuadrícula" (también es posible usar un azimut solar o estelar, más sobre eso más adelante). Luego, todas las distancias medidas en la superficie deben reducirse a la cuadrícula y todos los cálculos de recorrido se deben realizar mediante trigonometría plana. Lo haremos en el próximo artículo.

    Como puede ver, los cálculos en la cuadrícula de Lambert son sencillos si tiene las tablas. En el próximo artículo haré una transformación en la cuadrícula transversal de Mercator, no tan simple como en la cuadrícula de Lambert, como verá.

    El problema es:
    Calcule las coordenadas del plano de estado para la estación King cuyas coordenadas NAD 27 son

    latitud N40 ° 43 '37.302 "
    longitud W88 ° 41 '35.208 "

    La estación está ubicada en el estado de Illinois, zona de avión estatal Illinois East.

    La figura 1 muestra el mapa del manual de la encuesta geodésica y costera de los EE. UU. Para el estado de Illinois, también reproducido en Rayner y Schmidt1. Illinois usa la proyección transversal de Mercator con dos zonas, este y oeste. Cada zona tiene su propio eje para y, aunque ambos ejes que pasan por las zonas este y oeste reciben un valor de x de 500 000 '. Ambas zonas usan el mismo eje x, que se encuentra muy por debajo del límite sur del estado y tiene un valor de cero pies. El meridiano central de la zona este es 88 ° 20 'de longitud oeste a lo largo de esta línea, la escala de la proyección es una parte en 40.000 partes demasiado pequeña. Las líneas de escala exacta son paralelas al meridiano central y están situadas aproximadamente a 28 millas al este y al oeste. Por supuesto, al este y al oeste de estas líneas, la escala es demasiado grande. El paralelo de latitud 36 ° 40 'define el eje x. El origen de las coordenadas para la zona este es un punto en el paralelo 36 ° 40' situado a 500 000 'al oeste de la longitud 88 ° 20'.
    Realicemos los cálculos. A diferencia de la proyección de Lambert, no hay un esquema que muestre las relaciones geométricas entre latitud, longitud y x, y. Las ecuaciones necesarias para realizar estos cálculos son las siguientes:

    x = x '+ 500 000 (1)
    x '= H Dl "+/- a b (2)
    y = yo + V ("/ 100) 2 +/- c (3)

    Donde x 'es la distancia, el punto está al este o al oeste del meridiano central yo, H, V y a son cantidades basadas en la latitud geodésica byc se basan en Dl "(la diferencia de longitud del punto desde el longitud del meridiano central, en segundos de arco).

    Se necesitan tablas para obtener los valores de H, V, a, b, yo y c. Afortunadamente, todos los valores se pueden encontrar en dos tablas, que se dan en la publicación para el estado de Illinois, pero para este artículo, las Tablas 1 y 2 (en la página 18) de Rayner y Schmidt son resúmenes de las tablas originales que cubren los valores. necesario para resolver nuestro problema.

    Dado:
    Rey de la estación
    latitud N40 ° 43 '37.302 "
    longitud W88 ° 41 '35.208 "
    Estado - Illinois, zona este
    Meridiano central - W88 ° 20 '00

    Solución:
    1) Resuelva para Dl. Como estamos en el hemisferio occidental, todos los valores de longitud son menos.
    Dl "= longitud - longitud del meridiano central.
    Dl = -88 ° 41 '35.208 "- (-88 ° 20' 00")
    Dl = -0 ° 21 '35.208 "= -1,295.208 segundos de arco


    11.1: Usar el sistema de coordenadas rectangulares (Parte 1)

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    Si ha avanzado en el tutorial hasta ahora, ahora está listo para programar en 3D. Sin embargo, la programación 3D no es como la arcilla de modelar, donde simplemente mueves la arcilla con las manos y todo se ve perfecto.

    La programación 3D es estrictamente matemática, y debe comprender los conceptos de las matemáticas 3D antes de poder programar de manera efectiva con ellos. Sin embargo, no se preocupe. No es nada complejo. No necesitará más matemáticas de las que se necesitan para programar en C ++, por lo que ya debería estar lo suficientemente avanzado para poder entender esto.

    Esta lección es una lección teórica. Cubriremos la práctica involucrada en la próxima lección. En esta lección, cubriremos los sistemas de coordenadas y cómo se aplican a Direct3D y la creación de una escena 3D.

    Sin la comprensión de las matemáticas básicas de 3D, la programación 3D sería imposible. Y no me refiero a volver a hacer álgebra universitaria, sino a comprender los conceptos de las coordenadas 3D, cómo funcionan y las diversas cosas que pueden interponerse en tu camino.

    Por supuesto, antes de comprender los sistemas de coordenadas 3D, debe comprender las coordenadas cartesianas.

    El sistema de coordenadas cartesianas

    El sistema de coordenadas cartesianas podría reconocerse mejor si se llama sistema de coordenadas 2D. En otras palabras, es un sistema de localización de un punto exacto en una superficie plana.

    Un punto se define como una posición exacta a lo largo de un eje. Si quisiéramos saber qué tan lejos ha llegado algo, solemos dar un número exacto, como en & quot; Bob caminó 12 metros & quot. 12 metros es una distancia a lo largo de un solo eje. Decimos que 0 es nuestro punto de partida y, a medida que Bob avanza, avanza cada vez más a lo largo de este eje. Este es un sistema de coordenadas 1D.

    Cuando miramos este escenario de lado, como en la imagen, podemos ver que mientras Bob continúa caminando hacia la derecha de la pantalla, su distancia recorrida aumenta alejándose de 0. A esto lo llamaremos & # 390 & # 39 el origen, ya que es de donde partió. Del otro lado del origen, tendríamos valores negativos en lugar de valores positivos.

    Sin embargo, ¿qué pasaría si luego girara 90 grados y caminara en una dirección diferente? A decir verdad, Bob estaría caminando a lo largo de un segundo eje, y diagramaríamos su camino así:

    El sistema de coordenadas cartesianas

    Ahora que tenemos más de un eje, nos damos una forma de identificarlos. El eje horizontal, a lo largo del cual Bob caminó 12 metros, lo llamaremos eje x. El eje vertical lo llamaremos eje y.

    Por supuesto, este nuevo eje, al igual que el eje horizontal, también tiene un origen. Es el punto donde Bob dejó de caminar de lado y comenzó a caminar hacia arriba. Observe que al origen del eje y también se le da el valor de 0, y aumenta cuanto más camina Bob. (vaya Bob, vaya.)

    Entonces ahora tenemos dos ejes (el eje xy el eje y), y cada uno tiene su origen. Bueno, esto es lo que forma nuestro sistema de coordenadas cartesianas. Ahora podemos ubicar cualquier punto a lo largo de esta superficie (probablemente el suelo en el caso de Bob). Podemos indicar la posición exacta de Bob diciendo qué tan lejos está del origen de cada eje, por lo que podríamos decir que está en (x, y) o (12, 4), siendo 12 su posición en el eje x y 4 es su posición en el eje y.

    Estos dos números se denominan coordenadas y se utilizan para mostrar qué tan lejos está un punto exacto del origen (o el punto & # 390 & # 39 en ambos ejes).

    En realidad, el sistema de coordenadas 3D es simplemente una extensión de lo que hemos estado discutiendo. Si tomamos coordenadas cartesianas y agregamos un tercer eje (un eje z) que corre perpendicular a los ejes xey, tendríamos coordenadas 3D. Esto se ilustra aquí.

    Al igual que las coordenadas cartesianas, las coordenadas 3D pueden ser tanto positivas como negativas, según la dirección del punto. Sin embargo, en lugar de escribirse como coordenadas cartesianas, las coordenadas 3D se escriben con tres números, así: (x, y, z) o (12, 4, 15). Esto indicaría que Bob estaba de alguna manera a quince metros en el aire. También se podría escribir (12, 4, -15). Quizás esto signifique que está perdido en una mazmorra en algún lugar.

    Ahora veamos cómo se aplican las coordenadas 3D a los juegos y la programación de juegos. Si un punto en un sistema de coordenadas 3D representa una posición en el espacio, entonces podemos formar una matriz de posiciones exactas que eventualmente se convertirá en un modelo 3D. Por supuesto, establecer tantos puntos ocuparía mucho espacio en la memoria, por lo que se ha empleado una forma más fácil y rápida. Este método se configura mediante triángulos.

    Los triángulos, por supuesto, son una forma muy útil en casi cualquier área matemática. Se pueden formar para medir círculos, se pueden usar para fortalecer edificios y se pueden usar para crear imágenes en 3D. La razón por la que querríamos usar triángulos es porque los triángulos se pueden colocar para formar casi cualquier forma imaginable, como se muestra en estas imágenes:

    Modelos hechos de triángulos

    Debido a la naturaleza útil de los triángulos al crear modelos 3D, Direct3D está diseñado únicamente alrededor de triángulos y combinando triángulos para hacer formas. Para construir un triángulo, usamos algo llamado vértices.

    Vértices es plural para vértice. Un vértice se define como un punto exacto en el espacio 3D. Está definido por tres valores, x, y y z. En Direct3D, agregamos un poco a eso. También incluimos varias propiedades de este punto. Y así ampliamos la definición para que signifique "la ubicación y las propiedades de un punto exacto en el espacio 3D".

    Un triángulo se compone de tres vértices, cada uno definido en su programa en el sentido de las agujas del reloj. Cuando se codifican, estos tres vértices forman una superficie plana, que luego se puede rotar, texturizar, posicionar y modificar según sea necesario.

    Un triángulo construido a partir de vértices

    El triángulo que se muestra en la imagen de arriba está creado por tres puntos:

    x = 0, y = 5, z = 1
    x = 5, y = -5, z = 1
    x = -5, y = -5, z = 1

    Notará que todos los vértices anteriores tienen un valor z de 1. Esto se debe a que no estamos hablando de un objeto 3D, estamos hablando de un triángulo, que es un objeto 2D. Podríamos cambiar los valores z, pero no haría una diferencia esencial.

    Para hacer objetos 3D reales, necesitaremos combinar triángulos. Puedes ver cómo se combinan los triángulos en el diagrama de arriba. Para tomar un ejemplo simple, el cubo es simplemente dos triángulos colocados juntos para crear un lado. Cada lado está formado por triángulos idénticos combinados de la misma manera.

    Sin embargo, definir las coordenadas 3D de cada triángulo en tu juego varias veces es más que tedioso. ¡Es ridículamente complejo! No hay necesidad de involucrarse tanto (y verá lo que quiero decir en la próxima lección).

    En lugar de definir todos y cada uno de los rincones de cada triángulo del juego, todo lo que necesitas hacer es crear una lista de vértices, que contenga las coordenadas y la información de cada vértice, así como el orden en el que van.

    Una primitiva es un elemento único en un entorno 3D, ya sea un triángulo, una línea, un punto o lo que sea. A continuación se muestra una lista de formas en que se pueden combinar las primitivas para crear objetos 3D.

    1. Listas de puntos
    2. Listas de líneas
    3. Tiras de líneas
    4. Listas de triángulos
    5. Tiras triangulares
    6. Abanicos triangulares

    Una lista de puntos es una lista de vértices que se muestran como puntos individuales en la pantalla. Estos pueden ser útiles para renderizar campos de estrellas en 3D, crear líneas de puntos, mostrar ubicaciones en minimapas, etc. Este diagrama ilustra cómo se muestra una lista de puntos en la pantalla (sin las etiquetas, por supuesto).

    Una lista de puntos (6 primitivas)

    Una lista de líneas es una lista de vértices que crean segmentos de línea separados entre cada vértice impar y el siguiente vértice. Se pueden usar para una variedad de efectos, incluidas cuadrículas 3D, lluvia intensa, líneas de puntos de referencia, etc. Este diagrama ilustra cómo se muestra una lista de líneas en la pantalla (este es el mismo conjunto de vértices que antes).

    Una franja de líneas es similar a una lista de líneas, pero se diferencia en que todos los vértices de dicha lista están conectados por segmentos de línea. Esto es útil para crear muchas imágenes de estructura de alambre, como terreno de estructura de alambre, briznas de hierba y otros objetos que no están basados ​​en modelos. También es muy útil para depurar programas. Este diagrama ilustra cómo se muestra una franja de líneas en la pantalla.

    Una tira de línea (5 primitivas)

    Una lista de triángulos es una lista de vértices en la que cada grupo de tres vértices se utiliza para formar un único triángulo separado. Esto se puede usar en una variedad de efectos, como campos de fuerza, explosiones, objetos que se ensamblan, etc. Este diagrama ilustra cómo se muestra una lista de triángulos en la pantalla.

    Una tira de triángulos es una lista de vértices que crea una serie de triángulos conectados entre sí. Este es el método más utilizado cuando se trata de gráficos 3D. Estos se utilizan principalmente para crear modelos 3D para tu juego. Este diagrama ilustra cómo se muestra una franja triangular en la pantalla. Observe que los primeros tres vértices crean un solo triángulo, y cada vértice a partir de entonces crea un triángulo adicional basado en los dos anteriores.

    Una tira triangular (4 primitivos)

    Un abanico triangular es similar a una tira triangular, con la excepción de que todos los triángulos comparten un solo vértice. Esto se ilustra en este diagrama:

    Un abanico triangular (4 primitivas)

    Hay una pequeña peculiaridad en dibujar primitivas donde solo se muestra un lado de la primitiva. Es posible mostrar ambos lados, pero generalmente un modelo está completamente cerrado y no se puede ver el interior. Si el modelo está completamente cerrado, solo es necesario dibujar un lado de cada triángulo. Después de todo, dibujar ambos lados de un primitivo llevaría el doble de tiempo. Verá un ejemplo de esto en las próximas lecciones.

    Una primitiva de triángulo solo se dibuja cuando sus vértices se dan en el sentido de las agujas del reloj. Si lo gira, se vuelve en sentido antihorario y, por lo tanto, no se muestra.

    Primitivo solo visible cuando se dibuja en el sentido de las agujas del reloj

    Hay una manera fácil (aunque tediosa cuando te adentras en juegos más grandes) de mostrar ambos lados de una primitiva, que es mostrar la primitiva dos veces, dando una primitiva en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario.

    Primitivo visible cuando se dibuja de cualquier manera

    El color es una parte bastante simple de la programación 3D. Sin embargo, incluso si está muy familiarizado con los espectros de color y la física de la luz, sería bueno saber que Direct3D no sigue exactamente las leyes de este universo. Hacerlo sería una pesadilla para el hardware gráfico y la CPU. Es demasiado, por lo que simplemente dejaremos gráficos como ese en Matrix y crearemos nuestras propias leyes con las que podamos hacer frente.

    La luz, por supuesto, es una longitud de onda de partículas que le permite ver y diferenciar varios objetos a su alrededor. Direct3D imita esto con varios algoritmos matemáticos realizados por el hardware de gráficos. A continuación, la imagen se muestra en la pantalla con una apariencia bien iluminada. En esta sección cubriremos la mecánica de cómo Direct3D imita la luz que vemos en la naturaleza.

    Color sustractivo frente a color aditivo

    En los años más jóvenes de su educación, es posible que haya aprendido que los colores primarios son el rojo, el azul y el amarillo. En realidad, este no es el caso. Los colores son en realidad magenta, cian y amarillo. ¿Y por qué este detalle técnico inútil? Para comprender esto, debe comprender el concepto de color sustractivo y aditivo.

    La diferencia entre estos dos tipos de color tiene que ver con si el color se refiere o no al color de la luz o al color de un objeto. El color sustractivo es el color de un objeto y tiene los colores primarios magenta, cian y amarillo. El color aditivo es el color de la luz y tiene los colores primarios rojo, verde y azul.

    En un rayo de luz, cuantos más colores primarios agregue, más se acercará al blanco. Los colores se suman para hacer blanco, y por eso se le llama color aditivo.

    Los colores aditivos se suman al blanco

    Arriba puede ver los colores primarios de la luz que se combinan para hacer el blanco. Sin embargo, si miras, también verás que cuando combinas dos de los colores, obtienes uno de los colores sustractivos primarios (magenta, cian o amarillo). Si echamos un vistazo a estos colores sustractivos, veremos por qué es así.

    Los colores sustractivos son esencialmente lo opuesto a los colores aditivos. Consisten en la luz que no se refleja en la superficie de un objeto. Por ejemplo, un objeto rojo iluminado por una luz blanca solo refleja la luz roja y absorbe la luz verde y azul.Si miras la imagen de arriba, verás que el verde y el azul combinados hacen cian, por lo que el cian se restó de la luz blanca, resultando en rojo.

    Los colores sustractivos restan al negro

    En la programación de gráficos, siempre usarás los colores aditivos (rojo, verde y azul), porque los monitores consisten en luz. Sin embargo, al construir un motor 3D, es bueno comprender qué hace que los objetos se vean con los colores que tienen.

    Por cierto, esta es la razón por la que encuentra magenta, cian y amarillo en las impresoras y rojo, verde y azul en las pantallas.

    Si realmente desea sumergirse en el color, a continuación encontrará un artículo que ofrece un resumen completo del color y la física de la luz. Si estás pensando en el futuro y en los juegos nextgen de DirectX 10, te recomiendo seriamente que conozcas bien tu color. Hay mucho más de lo que piensas al principio, y marca una gran diferencia en la creación de un gran motor de juego.

    La coloración alfa es un elemento adicional al color rojo-verde-azul de la luz. Cuando incluye algo de Alfa en su color, el gráfico aparece semitransparente, lo que le permite ver un poco a través del objeto. Esto es útil para crear una pantalla semitransparente para tu juego, hacer que las unidades se oculten (pero los aliados aún las vean) y muchas otras cosas. Estoy seguro de que su imaginación puede correr desenfrenada durante algún tiempo en este caso.

    Configuración del color con 32 bits

    El color en Direct3D viene en forma de una variable de 32 bits que almacena toda la información sobre el color. Esto incluye los colores primarios (denominados RGB para rojo, verde y azul) y la cantidad de alfa en el color. Cada uno de estos se conoce como canales y cada uno ocupa 8 bits, como se muestra aquí:

    A continuación se muestra el código que define los colores anteriores:

    También hay dos funciones que podemos usar para construir estos colores para nosotros, en caso de que necesitemos insertar variables en estos valores.

    La función D3DCOLOR_ARGB () devuelve un DWORD relleno con los valores adecuados para el color que está construyendo. Si no quiere molestarse con Alpha, entonces puede usar el D3DCOLOR_XRGB () que hace exactamente lo mismo, pero llena automáticamente el canal Alpha con 255.

    Si desea ver un ejemplo de esto, consulte el ejemplo de las lecciones 1 y 2, que borran la pantalla utilizando la función D3DCOLOR_XRGB ().

    No voy a cubrir todo lo relacionado con la luz aquí. Lo guardaré para una lección posterior. Por ahora, solo quiero cubrir la ecuación de luz básica, ya que tendrá que comprender partes de ella antes de agregar iluminación a su programa.

    La luz en la naturaleza es un tema muy complicado matemáticamente hablando. Cuando el sol brilla, casi todo está iluminado por él, aunque el sol no está brillando sobre mucho de lo que se ve. Esto se debe a que la luz rebota alrededor de un área miles de veces, golpeando casi todo, ya sea que el sol brille allí o no. Para agregar aún más a esta ecuación, a medida que la luz del sol viaja a través del espacio, parte de ella se refleja en las partículas de polvo, que dispersan la luz en un patrón completamente incalculable. Incluso si una computadora pudiera calcular todo esto, no podría funcionar en tiempo real.

    Direct3D usa un sistema para imitar la luz de un entorno de la vida real. Para hacer esto, descompone la luz en tres tipos de luz que, cuando se combinan, se aproximan mucho a la luz real. Estos tres tipos de luz son Luz difusa, luz ambiental y Luz especular.

    La luz difusa es la luz que incide indirectamente sobre un objeto. Esta esfera está iluminada solo por luz difusa.

    Más tarde, aprenderá sobre las fuentes de luz. Esta esfera está iluminada por una fuente, que viene de la izquierda en algún lugar. Cuanto más se aleja la esfera de la luz, menos ilumina esa parte la fuente.

    La luz ambiental es la luz que se considera que está en todas partes. A diferencia de la luz difusa, no tiene fuente y, si se usa sola, aparece un círculo (porque todas las partes se iluminan por igual bajo esta iluminación). Esta esfera es la misma que la última vez, pero esta vez tiene iluminación ambiental incluida para rellenar las partes oscuras y sin iluminación.

    Iluminación difusa y ambiental

    Esto a veces se denomina Resaltado especular, porque resalta un objeto con un color reflectante. Esta esfera está iluminada con luz difusa y ambiental, y se le ha agregado un resaltado especular para que parezca más real.

    Iluminación difusa, ambiental y especular

    A estas alturas, debe comprender los conceptos básicos subyacentes de la tercera dimensión y cómo se aplica a la programación de juegos. Ahora sigamos y pongamos en práctica toda esta teoría. En la próxima lección, tomará lo que sabe de esta lección y construirá un triángulo básico.


    Contenido

    La parte central del algoritmo Geohash y la primera iniciativa para una solución similar se documentó en un informe de G.M. Morton en 1966, "Una base de datos geodésica orientada por computadora y una nueva técnica en secuenciación de archivos". [2] El trabajo de Morton se utilizó para implementaciones eficientes de la curva de orden Z, como en esta versión moderna de Geohash-integer (2014), basada en el entrelazado directo de enteros de 64 bits. Pero su propuesta de geocodificación no era legible por humanos y no era popular.

    Aparentemente, a finales de la década de 2000, G. Niemeyer todavía no conocía el trabajo de Morton y lo reinventó, agregando el uso de la representación en base32. En febrero de 2008, junto con el anuncio del sistema, [1] lanzó el sitio web http://geohash.org, que permite a los usuarios convertir las coordenadas geográficas en URL cortas que identifican de forma única las posiciones en la Tierra, de modo que hacer referencia a ellas en correos electrónicos, foros y sitios web es más conveniente.

    Se han desarrollado muchas variaciones, incluidas las de OpenStreetMap enlace corto [3] (utilizando base64 en lugar de base32) en 2009, el Geohash de 64 bits [4] en 2014, lo exótico Hilbert-Geohash [5] [6] en 2016 y otros.

    Para obtener el Geohash, el usuario proporciona una dirección a geocodificar, o coordenadas de latitud y longitud, en un solo cuadro de entrada (se aceptan los formatos más utilizados para pares de latitud y longitud) y realiza la solicitud.

    Además de mostrar la latitud y la longitud correspondientes al Geohash dado, los usuarios que navegan a un Geohash en geohash.org también se les presenta un mapa incrustado y pueden descargar un archivo GPX o transferir el waypoint directamente a ciertos receptores GPS. También se proporcionan enlaces a sitios externos que pueden proporcionar más detalles sobre la ubicación especificada.

    Por ejemplo, el par de coordenadas 57.64911,10.40744 (cerca de la punta de la península de Jutlandia, Dinamarca) produce un hash ligeramente más corto de u4pruydqqvj.

    Los principales usos de Geohashes son:

    También se ha propuesto el uso de geohashes para geoetiquetado.

    Cuando se utiliza en una base de datos, la estructura de los datos geohashed tiene dos ventajas. Primero, los datos indexados por geohash tendrán todos los puntos para un área rectangular dada en cortes contiguos (el número de cortes depende de la precisión requerida y la presencia de "fallas" de geohash). Esto es especialmente útil en sistemas de bases de datos donde las consultas en un solo índice son mucho más fáciles o más rápidas que las consultas de múltiples índices. En segundo lugar, esta estructura de índice se puede utilizar para una búsqueda de proximidad rápida y sucia: los puntos más cercanos se encuentran a menudo entre los geohashes más cercanos.

    Una descripción formal para las vistas computacional y matemática.

    Representación textual Editar

    Para traducciones exactas de latitud y longitud, Geohash es un índice espacial de base 4, porque transforma las coordenadas espaciales continuas de latitud y longitud en una cuadrícula discreta jerárquica, utilizando una partición recurrente de cuatro del espacio. Para ser un código compacto utiliza la base 32 y representa sus valores mediante el siguiente alfabeto, que es la "representación textual estándar".

    Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    Base 32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C D mi F gramo
    Decimal 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
    Base 32 h j k metro norte pag q r s t tu v w X y z

    El "alfabeto Geohash" (32 ghs) utiliza todos los dígitos del 0 al 9 y casi todas las letras minúsculas excepto "a", "i", "l" y "o".

    Representación geométrica Editar

    La geometría del Geohash tiene una representación espacial mixta:

    • Geohashes con 2, 4, 6,. mi Los dígitos (pares) se representan mediante una curva de orden Z en una "cuadrícula regular" donde el par decodificado (latitud, longitud) tiene una incertidumbre uniforme, válida como Geo URI.
    • Geohashes con 1, 3, 5,. D los dígitos (dígitos impares) se representan mediante "curva de orden". La latitud y la longitud del par decodificado tienen una incertidumbre diferente (la longitud está truncada).

    Es posible construir la "curva de orden И" a partir de orden Z fusionando celdas vecinas e indexando la cuadrícula rectangular de resultado por la función j= piso (I ÷ 2). La ilustración lateral muestra cómo obtener la cuadrícula de 32 celdas rectangulares a partir de la cuadrícula de 64 celdas cuadradas.

    La propiedad más importante de Geohash para los humanos es que conservas jerarquía espacial en el prefijos de código.
    Por ejemplo, en la ilustración "Cuadrícula de 1 dígito Geohash" de 32 rectángulos, arriba, la región espacial del código e (rectángulo de círculo azul grisáceo en la posición 4,3) se conserva con el prefijo e en la "Cuadrícula de 2 dígitos" de 1024 rectángulos (la escala muestra em y círculos de verde grisáceo a azul en la cuadrícula).

    Algoritmo y ejemplo Editar

    Usando el hash ezs42 como ejemplo, así es como se decodifica en una latitud y longitud decimales. El primer paso es decodificarlo a partir del texto "base 32ghs", como se muestra arriba, para obtener la representación binaria:

    Esta operación da como resultado los bits 01101 11111 11000 00100 00010. Comenzando a contar desde el lado izquierdo con el dígito 0 en la primera posición, los dígitos en las posiciones impares forman el código de longitud (0111110000000), mientras que los dígitos en las posiciones pares forman el código de latitud (101111001001).

    Luego, cada código binario se usa en una serie de divisiones, considerando un bit a la vez, nuevamente de izquierda a derecha. Para el valor de latitud, el intervalo de -90 a +90 se divide por 2, lo que produce dos intervalos: de -90 a 0 y de 0 a +90. Dado que el primer bit es 1, se elige el intervalo más alto y se convierte en el intervalo actual. El procedimiento se repite para todos los bits del código. Finalmente, el valor de latitud es el centro del intervalo resultante. Las longitudes se procesan de forma equivalente, teniendo en cuenta que el intervalo inicial es de -180 a +180.

    Por ejemplo, en el código de latitud 101111001001, el primer bit es 1, por lo que sabemos que nuestra latitud está entre 0 y 90. Sin más bits, supondríamos que la latitud es 45, lo que nos da un error de ± 45. Como hay más bits disponibles, podemos continuar con el siguiente bit, y cada bit subsiguiente reduce a la mitad este error. Esta tabla muestra el efecto de cada bit. En cada etapa, la mitad relevante del rango se resalta en verde, un bit bajo selecciona el rango inferior, un bit alto selecciona el rango superior.

    La columna "valor medio" muestra la latitud, simplemente el valor medio del rango. Cada bit posterior hace que este valor sea más preciso.

    Código de latitud 101111001001
    posición de bit valor de bit min medio max valor medio error máximo
    0 1 -90.000 0.000 90.000 45.000 45.000
    1 0 0.000 45.000 90.000 22.500 22.500
    2 1 0.000 22.500 45.000 33.750 11.250
    3 1 22.500 33.750 45.000 39.375 5.625
    4 1 33.750 39.375 45.000 42.188 2.813
    5 1 39.375 42.188 45.000 43.594 1.406
    6 0 42.188 43.594 45.000 42.891 0.703
    7 0 42.188 42.891 43.594 42.539 0.352
    8 1 42.188 42.539 42.891 42.715 0.176
    9 0 42.539 42.715 42.891 42.627 0.088
    10 0 42.539 42.627 42.715 42.583 0.044
    11 1 42.539 42.583 42.627 42.605 0.022
    Código de longitud 0111110000000
    posición de bit valor de bit min medio max valor medio error máximo
    0 0 -180.000 0.000 180.000 -90.000 90.000
    1 1 -180.000 -90.000 0.000 -45.000 45.000
    2 1 -90.000 -45.000 0.000 -22.500 22.500
    3 1 -45.000 -22.500 0.000 -11.250 11.250
    4 1 -22.500 -11.250 0.000 -5.625 5.625
    5 1 -11.250 -5.625 0.000 -2.813 2.813
    6 0 -5.625 -2.813 0.000 -4.219 1.406
    7 0 -5.625 -4.219 -2.813 -4.922 0.703
    8 0 -5.625 -4.922 -4.219 -5.273 0.352
    9 0 -5.625 -5.273 -4.922 -5.449 0.176
    10 0 -5.625 -5.449 -5.273 -5.537 0.088
    11 0 -5.625 -5.537 -5.449 -5.581 0.044
    12 0 -5.625 -5.581 -5.537 -5.603 0.022

    (Los números de la tabla anterior se han redondeado a 3 decimales para mayor claridad)

    El redondeo final debe realizarse con cuidado de manera que

    Entonces, si bien redondear 42.605 a 42.61 o 42.6 es correcto, redondear a 43 no lo es.

    Dígitos y precisión en km Editar

    longitud geohash bits lat pedazos de lng error lat error de lng error de km
    1 2 3 ±23 ±23 ±2500
    2 5 5 ±2.8 ±5.6 ±630
    3 7 8 ±0.70 ±0.70 ±78
    4 10 10 ±0.087 ±0.18 ±20
    5 12 13 ±0.022 ±0.022 ±2.4
    6 15 15 ±0.0027 ±0.0055 ±0.61
    7 17 18 ±0.00068 ±0.00068 ±0.076
    8 20 20 ±0.000085 ±0.00017 ±0.019

    Casos Edge Editar

    Los geohashes se pueden utilizar para encontrar puntos próximos entre sí basándose en un prefijo común. Sin embargo, las ubicaciones de las cajas de borde cercanas entre sí pero en lados opuestos del meridiano de 180 grados darán como resultado códigos Geohash sin un prefijo común (longitudes diferentes para ubicaciones físicas cercanas). Los puntos cercanos a los polos norte y sur tendrán geohashes muy diferentes (longitudes diferentes para ubicaciones físicas cercanas).

    Dos ubicaciones cercanas a ambos lados del ecuador (o meridiano de Greenwich) no tendrán un prefijo común largo ya que pertenecen a diferentes 'mitades' del mundo. En pocas palabras, la latitud (o longitud) binaria de una ubicación será 011111. y la otra 100000. por lo que no tendrán un prefijo común y la mayoría de los bits se invertirán. Esto también puede verse como una consecuencia de confiar en la curva de orden Z (que podría llamarse más apropiadamente una visita de orden N en este caso) para ordenar los puntos, ya que dos puntos cercanos pueden ser visitados en momentos muy diferentes. Sin embargo, dos puntos con un prefijo común largo estarán cerca.

    Para hacer una búsqueda de proximidad, se podría calcular la esquina suroeste (geohash bajo con latitud y longitud bajas) y la esquina noreste (geohash alto con latitud y longitud altas) de un cuadro delimitador y buscar geohashes entre esos dos. Esta búsqueda recuperará todos los puntos en la curva de orden z entre las dos esquinas, que pueden ser demasiados puntos. Este método también se descompone en los 180 meridianos y los polos. Solr usa una lista de filtro de prefijos, calculando los prefijos de los cuadrados más cercanos al geohash [1].

    No linealidad Editar

    Dado que un geohash (en esta implementación) se basa en coordenadas de longitud y latitud, la distancia entre dos geohashes refleja la distancia en coordenadas de latitud / longitud entre dos puntos, que no se traduce en la distancia real, consulte la fórmula de Haversine.

    Ejemplo de no linealidad para el sistema latitud-longitud:

    • En el Ecuador (0 grados) la longitud de un grado de longitud es de 111,320 km, mientras que un grado de latitud mide 110,574 km, un error de 0,67%.
    • A 30 grados (latitudes medias) el error es 110,852 / 96,486 = 14,89%
    • A 60 grados (Alto Ártico) el error es 111,412 / 55,800 = 99,67%, alcanzando el infinito en los polos.

    Tenga en cuenta que estas limitaciones no se deben al geohashing ni a las coordenadas de latitud-longitud, sino a la dificultad de mapear coordenadas en una esfera (no lineal y con envoltura de valores, similar a la aritmética de módulo) a coordenadas bidimensionales y dificultad de explorar un espacio bidimensional de manera uniforme. El primero está relacionado con el sistema de coordenadas geográficas y la proyección del mapa, y el otro con la curva de Hilbert y la curva de orden z. Una vez que se encuentra un sistema de coordenadas que representa puntos linealmente en la distancia y se envuelve en los bordes, y se puede explorar de manera uniforme, la aplicación de geohashing a esas coordenadas no sufrirá las limitaciones anteriores.

    Si bien es posible aplicar geohashing a un área con un sistema de coordenadas cartesiano, solo se aplicaría al área donde se aplica el sistema de coordenadas.

    A pesar de estos problemas, existen posibles soluciones y el algoritmo se ha utilizado con éxito en Elasticsearch, [7] MongoDB, [8] HBase, Redis, [9] y Accumulo [10] para implementar búsquedas de proximidad.

    Una alternativa para almacenar Geohashes como cadenas en una base de datos son los códigos de ubicación, que también se denominan claves espaciales y son similares a QuadTiles. [11] [12]

    En algunos sistemas de información geográfica y bases de datos espaciales de Big Data, una indexación basada en la curva de Hilbert se puede utilizar como una alternativa a la curva de orden Z, como en el Biblioteca de geometría S2. [13]

    En 2019, QA Locate [14] diseñó un front-end en lo que llamaron GeohashPhrase [15] para usar frases para codificar Geohashes para facilitar la comunicación a través del idioma inglés hablado. Había planes para hacer que GeohashPhrase fuera de código abierto. [dieciséis]

      (2002) (2018, propietario) (2017) (1980) (2011) (2008) (2014, también conocido como "códigos plus", Google Maps) (1959) (2013, propietario) (código de jerarquía similar de 2 dígitos) ( 2018, código abierto)

    El algoritmo Geohash fue puesto en el dominio público por su inventor en un anuncio público el 26 de febrero de 2008. [17]

    Si bien se han patentado con éxito algoritmos comparables [18] y se han reclamado derechos de autor, [19] [20] GeoHash se basa en un algoritmo y un enfoque completamente diferentes.


    Contexto

    Editar: El título de la pregunta original era: ¿Cómo transformar una foto en un ángulo determinado para formar parte de una foto panorámica?

    ¿Alguien puede ayudarme con qué pasos debo tomar si quiero transformar una foto tomada en cualquier ángulo dado de tal manera que pueda colocar la imagen resultante (distorsionada / transformada) en la ubicación específica correspondiente en una proyección equirrectangular, mapa de cubos? , o cualquier proyección de foto panorámica?

    La proyección que sea más fácil de hacer es suficientemente buena, porque hay muchos recursos sobre cómo convertir entre diferentes proyecciones. Simplemente no sé cómo dar el paso de una foto real a tal proyección.

    Es seguro asumir que la cámara permanecerá en una ubicación fija y puede girar en cualquier dirección desde allí. Los datos que creo que se requieren para hacer esto, probablemente sean algo como esto:

    • Ángulo horizontal de la cámara física [-180, +180] (p. Ej., + 140 grados).
    • Ángulo vertical de la cámara física [-90, +90] (p. Ej., -30 grados).
    • Resolución de la foto de ancho x alto (por ejemplo, 1280x720 píxeles).
    • Ángulo horizontal de la foto (por ejemplo, 70 grados).
    • Ángulo vertical de la foto (por ejemplo, 40 grados).
    • Parámetros de corrección de lente a, b, c (ver más abajo).

    Tengo estos datos, y supongo que el primer paso es hacer la corrección de la lente para que todas las líneas que deberían ser rectas sean de hecho rectas. Y esto se puede hacer usando Barrel Distortion de imagemagick, en el que solo necesitas completar tres parámetros: a, by c. La transformación que se aplica a la imagen para corregir esto es sencilla.

    Estoy atascado en el siguiente paso. O no lo entiendo completamente, o los motores de búsqueda no me ayudan, porque la mayoría de los resultados se tratan de convertir entre proyecciones ya dadas o usar aplicaciones avanzadas para unir fotos de manera inteligente. Estos resultados no me ayudaron a responder mi pregunta.

    EDITAR: Pensé que tal vez una figura ayudará a explicarlo mejor :)

    El problema es que una foto determinada rojo no se puede colocar en la proyección equirrectangular sin una transformación. La siguiente figura ilustra el problema.

    Así que tengo rojo, y necesito transformarlo en Verde. Azul muestra la diferencia en la transformación, pero esto depende del ángulo horizontal / vertical.


    Resumen

    La determinación de la secuencia de montaje en conjuntos mecánicos generales juega un papel importante en términos de coste de fabricación, duración y calidad.

    En la producción de barcos y plantas marinas, la consideración de los factores de productividad y la deformación de la soldadura es crucial para determinar la secuencia de montaje óptima. En las industrias de construcción naval y offshore, la mayor parte de la planificación de la secuencia de montaje se ha realizado de acuerdo con las decisiones de los ingenieros y # x27 basadas en una amplia experiencia. Esto puede resultar en una planificación propensa a errores y una secuencia subóptima, especialmente cuando se trata de ensamblajes de bloques desconocidos compuestos por docenas de partes.

    Este documento presenta un método de planificación de la secuencia de ensamblaje para ensamblajes de bloques.El método propuesto básicamente considera las características geométricas de los bloques para determinar las secuencias de ensamblaje factibles, así como el proceso de ensamblaje y los factores de productividad. Luego, la secuencia de ensamblaje con una deformación de soldadura mínima se selecciona en función de un análisis simplificado de distorsión de soldadura. El método se valida mediante un modelo de ensamblaje asimétrico y los resultados indican que es capaz de generar una secuencia de ensamblaje óptima.