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3.3.5: Resolución de problemas de velocidad - Matemáticas


Lección

Usemos las tasas unitarias como un profesional.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): cuadrícula de 100

¿Cuánto está sombreado en cada uno?

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Clasificación de tarjetas: ¿Es una oferta?

Tu profesor te dará un juego de tarjetas con diferentes ofertas.

  1. Busque la tarjeta A y trabaje con su socio para decidir si la oferta de la tarjeta A es un buen negocio. Explique o muestre su razonamiento.
  2. A continuación, divida las cartas B – E para que usted y su pareja tengan dos cada uno.
    1. Decida individualmente si sus dos cartas son buenas ofertas. Explica tu razonamiento.
    2. Para cada una de tus cartas, explícale a tu pareja si crees que es un buen negocio y por qué. Escuche las explicaciones de su compañero sobre sus tarjetas. Si no está de acuerdo, explique su pensamiento.
    3. Revise cualquier decisión sobre sus tarjetas basándose en los comentarios de su socio.
  3. Cuando usted y su compañero estén de acuerdo sobre las cartas B – E, coloque todas las cartas que crea que son un buen reparto en una pila y todas las cartas que crea que son un mal reparto en otra pila. Esté preparado para explicar su razonamiento.

¿Estás listo para más?

¡Es hora de hacer tu propio trato! Lea la información de la tarjeta F y luego decida cuánto cobraría si fuera el secretario. Cuando su maestro indique, intercambie cartas con otro grupo y decida si aceptará o no la oferta del otro grupo.

Tenga en cuenta que puede ofrecer un trato justo o injusto, pero el objetivo es establecer un precio lo suficientemente cercano al valor que debería ser para que el otro grupo no pueda decir inmediatamente si el trato que ofrece es bueno.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): el más rápido de todos

Los animales salvajes de todo el mundo querían realizar una competición atlética, pero nadie los dejaba subir a un avión. Decidieron medir qué tan lejos podía correr cada animal en un minuto y enviarte los resultados para que decidas el ganador.

Busca la siguiente información sobre la conversión de unidades de longitud:

1 pulgada = 2,54 centímetros

animaldistancia de sprint
Puma1,408 yardas
antílope1 milla
liebre49,632 pulgadas
canguroMetros 1,073
avestruz1,15 kilómetros
coyote3,773 pies
Tabla ( PageIndex {1} )
  1. ¿Qué animal corrió más lejos?
  2. ¿Cuáles son las clasificaciones de lugar para todos los animales?

Resumen

A veces podemos encontrar y usar más de una tasa unitaria para resolver un problema.

Suponga que una tienda de comestibles vende queso rallado. Una bolsa pequeña que contiene 8 onzas se vende por $ 2. Una bolsa grande que contiene 2 kilogramos se vende por $ 16. ¿Cómo saber cuál es la mejor oferta?

Aquí hay dos formas diferentes de resolver este problema:

Compare dólares por kilogramo.

  • La bolsa grande cuesta $ 8 por kilogramo, porque (16 div 2 = 8 ).
  • La bolsa pequeña contiene ( frac {1} {2} ) libra de queso, porque hay 16 onzas en 1 libra y (8 div 16 = frac {1} {2} ).
    La bolsa pequeña cuesta $ 4 por libra, porque (2 div frac {1} {2} = 4 ). Esto es aproximadamente $ 8.80 por kilogramo, porque hay alrededor de 2.2 libras en 1 kilogramo y (4.00 cdot 2.2 = 8.80 ).

La bolsa grande es mejor porque cuesta menos dinero por la misma cantidad de queso.

Compare onzas por dólar.

  • Con la bolsa pequeña, obtenemos 4 onzas por dólar, porque (8 div 2 = 4 ).
  • La bolsa grande contiene 2000 gramos de queso. Hay 1,000 gramos en 1 kilogramo y (2 cdot 1,000 = 2,000 ). Esto significa 125 gramos por dólar, porque (2,000 div 16 = 125 ).
    Hay alrededor de 28,35 gramos en 1 onza y (125 div 28,35 approx 4,4 ), por lo que esto es alrededor de 4,4 onzas por dólar.

La bolsa grande es mejor porque obtienes más queso por la misma cantidad de dinero.

Otra forma de resolver el problema sería comparar los precios unitarios de cada bolsa en dólares por onza. ¡Intentalo!

Entradas del glosario

Definición: Ritmo

El ritmo es una forma de describir qué tan rápido se está moviendo algo. El ritmo indica cuánto tiempo le toma al objeto viajar una cierta distancia.

Por ejemplo, Diego camina a un ritmo de 10 minutos por milla. Elena camina a un ritmo de 11 minutos por milla. Elena camina más lento que Diego, porque le toma más tiempo recorrer la misma distancia.

Definición: Velocidad

La velocidad es una forma de describir qué tan rápido se mueve algo. La velocidad indica la distancia que recorre el objeto en una determinada cantidad de tiempo.

Por ejemplo, Tyler camina a una velocidad de 4 millas por hora. Priya camina a una velocidad de 5 millas por hora. Priya camina más rápido que Tyler, porque recorre más distancia en la misma cantidad de tiempo.

Definición: Precio unitario

El precio unitario es el costo de un artículo o de una unidad de medida. Por ejemplo, si 10 pies de cercas de tela metálica cuestan $ 150, entonces el precio unitario es (150 div 10 ), o $ 15 por pie.

Definición: Tasa unitaria

Una tasa unitaria es una tasa por 1.

Por ejemplo, 12 personas comparten 2 pasteles por igual. Una tasa unitaria es de 6 personas por pastel, porque (12 div 2 = 6 ). La otra tasa unitaria es ( frac {1} {6} ) de un pastel por persona, porque (2 div 12 = frac {1} {6} ).

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Este paquete de queso rebanado cuesta $ 2.97.

¿Cuánto costaría un paquete con 18 rebanadas al mismo precio por rebanada? Explique o muestre su razonamiento.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Una fotocopiadora puede imprimir 480 copias cada 4 minutos. Para cada pregunta, explique o muestre su razonamiento.

  1. ¿Cuántas copias puede imprimir en 10 minutos?
  2. Un maestro imprimió 720 copias. ¿Cuánto tiempo se tardó en imprimir?

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Ordene estos objetos del más pesado al más ligero.

(Nota: 1 libra = 16 onzas, 1 kilogramo ( approx ) 2.2 libras y 1 tonelada = 2,000 libras)

Articulopeso
autobús escolar (9 ) toneladas
caballo (1,100 ) libras
elefante (5500 ) kilogramos
piano de cola (15,840 ) onzas
Tabla ( PageIndex {2} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Andre a veces corta el césped los fines de semana para ganar dinero extra. Hace dos semanas, cortó el césped de un vecino durante ( frac {1} {2} ) hora y ganó $ 10. La semana pasada, cortó el césped de su tío durante ( frac {3} {2} ) horas y ganó $ 30. Esta semana, cortó el césped de un centro comunitario durante 2 horas y ganó $ 30.

¿Qué trabajos pagan mejor que otros? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 3.3.1)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Calcula y expresa tu respuesta en forma decimal.

  1. ( frac {1} {2} cdot 17 )
  2. ( frac {3} {4} cdot 200 )
  3. ((0,2) cdot 40 )
  4. ((0,35) cdot 60 )

(De la Unidad 3.1.1)

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Aquí hay un polígono.

  1. Descompón este polígono para poder calcular su área. Todas las medidas están en centímetros.
  2. Calcula su área. Organice su trabajo para que otros puedan seguirlo.

(De la Unidad 1.5.1)


Hojas de trabajo de problemas verbales de matemáticas de tercer grado

Los problemas verbales de matemáticas ayudan a profundizar la comprensión de los conceptos matemáticos por parte del estudiante al relacionar las matemáticas con la vida cotidiana.

Es mejor intentar usar estas hojas de trabajo después de que el estudiante haya estudiado la habilidad subyacente, por ejemplo, nuestras hojas de trabajo de problemas de palabras de "adición en columnas" no deben intentarse hasta que los estudiantes se sientan cómodos con la adición de columnas.

En muchos de nuestros problemas de palabras incluimos intencionalmente datos superfluos, por lo que los estudiantes necesitan leer y pensar en las preguntas con cuidado, en lugar de simplemente aplicar un patrón de cálculo para resolver los problemas.


Página siguiente: una verificación de la realidad matemática

Llámelo el control de la realidad matemática. De repente, recuerda Rusczyk, los estudiantes que antes tenían logros se enfrentaron a una nueva idea: que las matemáticas requerían más que el aprendizaje de memoria: requería creatividad, agallas y una agotadora gimnasia mental. “Les habían enseñado que las matemáticas eran un conjunto de destinos y les enseñaron a seguir un conjunto de reglas para llegar a esos lugares”, recuerda. "Nunca les enseñaron cómo leer un mapa, ni siquiera que hay un mapa".

De hecho, el plan de estudios de matemáticas tradicional consiste en enseñar algoritmos discretos, un conjunto de reglas que obtienen una respuesta correcta, como cómo hacer una división larga, por ejemplo, o cómo usar el teorema de Pitágoras. Luego, los estudiantes "aprenden" el material haciendo una gran cantidad de problemas similares. El resultado, dice Rusczyk, es que rara vez se pide a los estudiantes que resuelvan un problema con el que no están completamente familiarizados. En cambio, llegan a pensar en las matemáticas como una serie de reglas que deben memorizarse. El problema es que los niños no necesariamente aprenden a abordar una ecuación nueva o diferente.

Rusczyk observó a muchos de sus compañeros de estudios, acostumbrados durante mucho tiempo a ser "estudios rápidos", mientras se amargaban en matemáticas después de experimentar lo que percibían como un fracaso. Renunciaron, transfiriendo sus esperanzas y sueños a un campo menos desafiante numéricamente como la sociología o el diseño gráfico.

Rusczyk, por el contrario, se sintió mucho más preparado cuando se enfrentó a un problema que no sabía cómo resolver. A pesar de haber asistido a lo que él caracteriza como una escuela pública promedio sin muchas clases de matemáticas avanzadas, había participado en clubes y concursos de matemáticas. En los clubes de matemáticas, se había acostumbrado a enfrentar problemas más difíciles y multifacéticos donde el enfoque correcto no era evidente de inmediato.


RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE PALABRAS DE MARCADO Y DEMASIADO

Una tienda de informática utilizó un margen de beneficio de & # xa040%. & # Xa0Encuentre el precio de venta de un juego de ordenador que le costó al minorista & # xa0 $ 25.

Entonces, el precio de venta es de $ 35.

Una tienda de golf paga a su mayorista & # xa0 $ 40 & # xa0 por un determinado palo y luego se lo vende a un golfista por & # xa0 $ 75. ¿Cuál es la tasa de margen de beneficio?

Entonces, la tasa de margen es 87.5%

Una tienda usa un & # xa040% & # xa0markup sobre el costo. Calcula el costo de un par de zapatos que se vende por & # xa0 $ 63.

Sustituye 63 por S.P y 40 por m en (1). & # Xa0

Entonces, & # xa0el costo de un par de zapatos es de $ 45.

Un producto tiene un precio original de & # xa0 $ 55 & # xa0 está marcado & # xa025% & # xa0off. Cual es el precio de venta?

Sustituya L.P por 55 y m por 25 en (1). & # Xa0

Entonces, el precio de venta es $ 41.25.

Un & # xa0producto que se vende regularmente por & # xa0 $ 425 & # xa0 se rebaja a & # xa0 $ 318,75. ¿Qué es la tasa de descuento?

Precio rebajado & # xa0 = & # xa0 $ 318,75

Valor marcado hacia abajo & # xa0 = & # xa0425 - 318.75 & # xa0 = & # xa0106.25

Tasa de reducción marcada & # xa0 = & # xa0 (106.25 / 425) & # xa0 ⋅ & # xa0100%

Un producto está rebajado & # xa015% el precio de venta es & # xa0 $ 127,46. ¿Cuál era el precio original?

Precio de venta (S.P) & # xa0 = & # xa0 (100 - m)% & # xa0 ⋅ & # xa0 Precio original ----- (1)

Sustituya 127,46 por S.P y 15 por m en (1). & # Xa0

127.46 / 0.85 & # xa0 = & # xa0Precio original & # xa0

Entonces, el precio original es $ 149.95.

A vende a B un artículo con un beneficio del 15%. B vende el mismo artículo a C con una ganancia del 20%. Si C paga $ 1656 por él. ¿Cuál es el precio al que A compró el artículo?

Sea x el precio de costo de A. & # Xa0

Dado : & # xa0 El costo de C es $ 1656.

Por lo tanto, el precio de & # xa0 al que A compró el artículo es de $ 1200. & # Xa0

El Sr. Lenin vendió una silla con una pérdida del 15%. Si hubiera vendido a una tasa de recargo del 10%, habría obtenido $ 100 más. ¿Cuál es el precio de costo de la silla? & # Xa0

Sea x el precio de costo de la silla.

En (2), obtuvo $ 100 más que (1).

Entonces, el precio de costo de la silla es de $ 400.

Si desea tener más problemas de práctica sobre el marcado y la reducción, haga clic en los enlaces que se indican a continuación. & # Xa0

Aparte de las cosas que se proporcionan en esta sección, & # xa0 & # xa0, si necesita cualquier otra cosa en matemáticas, utilice nuestra búsqueda personalizada de Google aquí.

Si tiene algún comentario sobre nuestro contenido matemático, envíenos un correo electrónico a: & # xa0

Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

También puede visitar las siguientes páginas web sobre diferentes temas de matemáticas. & # Xa0


3.3.5: Resolución de problemas de velocidad - Matemáticas

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Ahora podemos hacer varias observaciones. No importa quiénes son las personas a mano: hermanos, hermanas o monstruos. Tampoco es importante si poseían, compraban o tenían los bienes en cuestión. La naturaleza de los productos tampoco es esencial. Lo esencial es que el problema tiene que ver con tres cantidades, dos de las cuales se suman a la tercera. Se desconoce una de las cantidades.

Parece que el problema pertenece a toda una clase de problemas similares: todos los problemas de esa clase se traducen en el lenguaje matemático en la ecuación (1). La ecuación (1), a su vez, también proporciona varias observaciones.

En primer lugar, la ecuación contiene una operación aritmética: la suma. Esto viene directamente del problema que menciona dos cantidades juntos. En segundo lugar, el nombre de la cantidad desconocida es bastante arbitrario. Lo único importante es que anticipemos la existencia de un número que satisfaga las condiciones del problema. Los matemáticos encontraron conveniente dar un nombre al número desconocido. Fran & ccedilois Vi & egravete (1540-1603) introdujo letras para denotar incógnitas y números constantes en ecuaciones. Vocales llamadas incógnitas, consonantes llamadas constantes. Fue René y Eacute Descartes (1596-1650) quien utilizó por primera vez las letras al final del alfabeto para las incógnitas. A estas alturas, el uso de Descartes se convirtió en una tradición bien establecida.

Un símbolo utilizado para denotar una cantidad desconocida (o la cantidad misma) se llama variable. Esto no suena bien ya que no hay nada que realmente varíe. Pero esta es otra tradición, parte de la cultura matemática.

La tercera observación se relaciona con otras partes de la ecuación. Una de las dos cantidades de la izquierda y la de la derecha reciben números. Estos constituyen el problema datos, lo dado. Para resolver la ecuación (1), restamos el número de la izquierda de ambos lados de la ecuación. Este es uno de los principios anunciados por Euclides hace más de 2000 años: si se restan iguales de iguales, los restos son iguales. La transformación conduce a la ecuación (2). El siguiente paso es realizar la resta a la derecha. Lo que da como resultado la ecuación (3). La ecuación (3) tiene una forma particularmente simple: la variable, la incógnita, es igual a una constante. Pero esto es exactamente lo que buscábamos: el valor de lo desconocido. La ecuación se ha resuelto.

Es importante darse cuenta de que los pasos (1) - (3) resuelven la ecuación independientemente de los valores específicos de las dos constantes que aparecen en la ecuación. Resolver una ecuación dada es un problema matemático por derecho propio. Por lo tanto, podemos observar que el problema de resolver la ecuación (1) pertenece a una cierta clase de problemas que se resuelven todos de la misma manera, como se muestra en los pasos (1) - (3). La ecuación general de esta clase se puede describir como

donde x representa una variable o la cantidad desconocida, pero ayb, aunque no se les asigna ningún valor específico, se consideran constantes, arbitrario pero dado. (Las letras al principio del alfabeto suelen estar reservadas para tal uso. Al igual que con los nombres de variables, esta convención también se originó con René Descartes.) Además, los nombres "a" y "b" son tan arbitrarios como las constantes mismas. La ecuación B + u = F describe exactamente la misma clase de ecuaciones que (4). Para resolver (4), aplique el principio de Euclides para obtener

y finalmente realice una resta para encontrar el valor de la x desconocida.

Ahora tenemos que comprobar si el número que se acaba de obtener resuelve el problema verbal original. De hecho, puede que resuelva el problema o no. Por ejemplo, suponga que b = 5 y a = 7. Entonces x = -2 es la solución a la ecuación (4). ¿Resuelve el siguiente problema?

Dos hermanas compraron juntas 5 libros. Uno compró 7 libros. ¿Cuántos libros compró la otra hermana?

Por supuesto, debemos admitir que comprar -2 libros no tiene sentido. Como resultado, aunque x = -2 resuelve la ecuación 7 + x = 5, no resuelve el problema verbal anterior. Claramente, este último no tiene solución. Esto es bastante obvio para un problema tan simple. De hecho, podríamos haber notado desde el principio que el problema verbal no tenía solución. La situación es menos obvia cuando consideramos problemas más complicados. Para entonces, valdrá la pena haber desarrollado hábitos útiles para la resolución de problemas.

El siguiente diagrama puede ayudar a comprender las relaciones entre los problemas que analizamos.

La general clase de problema descrita por la ecuación a + x = b es especializado por otra clase que agrega restricciones sobre la posible solución. El problema verbal está relacionado con la última clase. Las restricciones que encontramos hasta ahora están implícitas en la formulación del problema verbal. Tales restricciones se denominan semántico.

Resumen

  1. Al traducir un problema verbal al lenguaje matemático busque lo esencial. Lo inesencial se puede modificar sin afectar el significado del problema.
  2. Una variable en una ecuación es simplemente una cantidad desconocida. Su nombre es bastante arbitrario.
  3. Piense en una clase de problema a la que pertenece el problema dado.
  4. Una ecuación puede ser menos restrictiva que el problema original. Compare la respuesta con el trasfondo del problema.

Problemas de palabras

(Hay muchos más problemas de palabras discutidos y resueltos en este sitio. El tutorial de matemáticas que comenzó aquí continúa con un enfoque similar sobre varios ejemplos adicionales).


Recursos para tasas y cálculo de velocidad

Tasas de reacción en química ayuda a los estudiantes a calcular las velocidades de reacción de las reacciones químicas.

Calcular tasas de cambio y pendiente para un gráfico describe y explica el proceso de encontrar la pendiente de una función y, por lo tanto, la tasa. Esto es de M. Casco Learning Center y tiene algunos buenos applets matemáticos.
por el Dr. Eric M. Baer, ​​Programa de Geología, Highline Community College y la Dra. Jennifer M. Wenner, Departamento de Geología, Universidad de Wisconsin Oshkosh


II. Los beneficios y las dificultades de enseñar matemáticas desde una perspectiva de justicia social

Beneficios:

  • Reconozca el poder de las matemáticas como una herramienta analítica esencial para comprender y potencialmente cambiar el mundo, en lugar de simplemente considerar las matemáticas como una colección de reglas desconectadas que deben memorizarse y regurgitarse.
  • Participar en un pensamiento de alto nivel sobre grandes ideas matemáticas.
  • Profundizar su comprensión de los problemas sociales y económicos a escala local y global.
  • Comprender su propio poder como ciudadanos activos en la construcción de una sociedad democrática y prepararse para desempeñar un papel más activo en esta sociedad.
  • Motivarse más para aprender matemáticas
  • Participar en proyectos comunitarios reales (no solo teóricos) de resolución de problemas
  • Responda esta pregunta por sí mismos: & quot¿Por qué tengo que saber esto? & Quot
  • Diferenciar su currículum más fácilmente
  • Crear unidades y asociaciones interdisciplinarias
  • Aprenda sobre las familias y comunidades de sus estudiantes y desarrolle una conciencia sociocultural.
  • Evaluar el aprendizaje de una manera contextualizada y holística.

Escollos / Desafíos:

  • Pruebas estandarizadas: debido a la presión de NCLB, es un desafío evitar "enseñar para la prueba". Sin embargo, es posible preparar a los estudiantes para tales exámenes y seguir enseñando sobre justicia social.
  • Currículos obligatorios: muchas escuelas tienen libros de texto que requieren que sus maestros usen. Esta es una batalla tanto local como nacional que debemos tener con nuestros administradores y funcionarios. Tendrá que decidir por su cuenta si está dispuesto a enseñar algo diferente a lo que le dicen que enseñe.
  • ¡Buenas matemáticas no son lo mismo que buenas políticas! - Hay varios buenos libros de texto de matemáticas (aunque hay mucho debate sobre cuáles son) que tienen grandes ideas sobre el trabajo en grupo y el desarrollo de habilidades, y se encuentran dentro de problemas contextuales más amplios, pero no tienen nada político en su material.
  • ¡La buena política no es lo mismo que las buenas matemáticas! - Es fácil pensar que una unidad o lección es excelente solo porque cubre temas importantes. Pero debe asegurarse de que las matemáticas en sí sean sólidas, que permita múltiples puntos de acceso, tenga espacio para la exploración y el descubrimiento y se desarrolló teniendo en cuenta los estándares.
  • Tiempo: se necesita tiempo para redactar un buen plan de estudios. Sea paciente, vale la pena el trabajo.

¿Qué causa la ansiedad matemática?

Las principales causas de ansiedad matemática incluyen:

La presión causada por los límites de tiempo en las pruebas.

Los plazos que imponen los exámenes cronometrados a los estudiantes los llevan a sentirse ansiosos. Esto les lleva a olvidar conceptos que no tienen problemas para recordar en casa. Dado que estas pruebas pueden tener un impacto negativo en las calificaciones, se confirma el miedo del estudiante al fracaso. Esto crea un círculo vicioso que puede ser difícil de romper.

El miedo a la vergüenza pública

La ansiedad matemática también se ha relacionado con emociones negativas del pasado. Si un estudiante ha sido regañado por obtener una respuesta incorrecta, puede empeorar su ansiedad. Lo mismo es cierto si él o ella se ha sentido avergonzado frente a otros.


Lección CÓMO resolver problemas de ritmo de trabajo (pintura, llenado de piscinas, etc.)

Muchas veces, los estudiantes no saben cómo empezar a lidiar con estos problemas. En realidad, son bastante simples una vez que se sabe cómo configurar la ecuación o el sistema de ecuaciones adecuados. Te daré ahora la fórmula más importante que te ayudará a resolver estos problemas.

Fórmula básica

Supongamos que tenemos dos trabajadores (tuberías, máquinas, etc.): A y B.
El trabajador A puede terminar un trabajo en X horas cuando trabaja solo.
El trabajador B puede terminar un trabajo en Y horas cuando trabaja solo
La cantidad de horas que necesitan para completar el trabajo.
cuando son los dos trabajando al mismo tiempo es dado por

Una vez que esté "armado" con esta fórmula, resolver estos problemas será muy fácil. Veremos algunos ejemplos a continuación, pero primero, permítanme mostrar de dónde proviene esta fórmula.

¿De dónde viene la fórmula?

Comenzamos el problema con las siguientes suposiciones. Hay dos trabajadores (tuberías, máquinas, etc.), A y B. El trabajador A puede terminar un trabajo en X horas cuando trabaja solo El trabajador B puede terminar el mismo trabajo en Y horas cuando trabaja solo.

Ahora considere esto: si A puede terminar el trabajo en X horas, entonces ¿cuál es su tasa de trabajo por hora? Es decir, ¿cuántos trabajos puede completar en una hora? Claramente, si tarda X horas en completar un trabajo, puede completar trabajos por hora. Por ejemplo, si necesita 10 horas para terminar un trabajo, entonces puede completar 1/10 (una décima parte) del trabajo en 1 hora. Si necesita 30 minutos (0,50 horas), entonces puede completar 1 / 0,50 = 2 trabajos en una hora. El mismo razonamiento se aplica al trabajador B.

¿Qué pasa si trabajan juntos? En este caso tenemos que agregar sus tasa de trabajo. Mucha gente comete el error de asumir que si A toma X horas y B toma Y horas, ambos toman X + Y horas. Esto es claramente incorrecto, ya que implicaría que necesitan más tiempo cuando trabajan juntos que cuando trabajan solos. Así que tenemos que sumar su ritmo de trabajo. Si A completa trabajos por hora y B completa trabajos por horas, entonces, cuando trabajan juntos, pueden completar trabajos por hora.
Finalmente, dado que pueden completar trabajos por hora, ¿cuántas horas necesitan para completar un trabajo? Esta es simplemente la inversa de la fórmula anterior. Para que puedan completar 1 trabajo en horas.

¿Qué significa que un trabajador trabaja N veces más rápido que otro?

También existe cierta confusión cuando el problema dice, por ejemplo, "El trabajador B es dos veces (N = 2 veces) más rápido que el trabajador A". Tenga en cuenta que si alguien trabaja dos veces más rápido que otra persona, entonces necesita mitad el tiempo para terminar el trabajo si trabaja 4 veces más rápido, entonces necesita 1/4 del tiempo para terminar el trabajo, y así sucesivamente. Por lo tanto, si X es el número de horas que el trabajador A necesita para terminar un trabajo e Y es el número de horas que el trabajador B necesita para terminar un trabajo, entonces la declaración "El trabajador A trabaja N veces más rápido que el trabajador B" se "traduce" como . Por ejemplo, si trabaja dos veces más rápido que B, entonces

Problemas de muestra

Resolvamos los 3 problemas con los que comencé usando lo que aprendimos aquí.
1. El trabajador A puede terminar un trabajo en 3 horas. Cuando trabajan al mismo tiempo que el trabajador B, pueden terminar el trabajo en 2 horas. ¿Cuánto tiempo le toma al Trabajador B terminar el trabajo si trabaja solo?

Empiece siempre por definir las variables. Llamemos X al número de horas que el trabajador A necesita para terminar el trabajo e Y al número de horas que el trabajador B necesita para terminar el trabajo. Ya sabemos que X = 3. También sabemos que cuando trabajan al mismo tiempo, necesitan 2 horas. Entonces, usando la fórmula que les di antes:


Concluimos que B necesita 6 horas para completar el trabajo cuando trabaja solo.


2. Los pintores A y B pueden pintar una pared en 10 horas cuando trabajan al mismo tiempo. El pintor B trabaja dos veces más rápido que A. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada uno de ellos pintarlo si trabajaran solos?

Llamemos X al número de horas que el pintor A necesita para terminar el trabajo e Y al número de horas que el pintor B necesita para terminar el trabajo. Sabemos que "los pintores A y B pueden pintar una pared en 10 horas cuando trabajan al mismo tiempo". Usando la fórmula que di arriba, esto significa que tenemos la ecuación:

También sabemos que "el pintor B trabaja dos veces más rápido que A". Entonces la otra ecuación es:

[recuerde, el hecho de que trabaje el doble de rápido implica que necesita la mitad del tiempo para hacer el mismo trabajo]
Entonces tenemos el sistema de ecuaciones:

Reordenando la 1ra ecuación:

Sustituyendo la segunda ecuación en esta:


Entonces, el pintor A necesitaría 30 horas para terminar la pared si trabajara solo. Dado que el pintor B es dos veces más rápido, necesitaría 15 horas si trabajara solo.


3. Una piscina de 10,000 litros se llena con dos tuberías: A y B. La tubería A entrega 1,000 litros por hora. Cuando la tubería A y B están encendidas, pueden llenar esta piscina en 4 horas. ¿Cuántos litros por hora puede entregar la tubería B?

Observe que hay una diferencia importante entre la redacción de este problema y los otros dos. En este caso, se nos da la tasa de trabajo de la tubería A en lugar del tiempo que necesita para completar una actividad. Ahora voy a dar una solución que establece las variables de manera un poco diferente pero usa el mismo principio.
Llamemos X al número de litros por hora que entrega la tubería A e Y al número de litros por hora que entrega la tubería B. Observe la diferencia con los problemas 1 y 2: estoy configurando las variables para que sean tasas de trabajo en lugar de "tiempo para terminar un trabajo".
Cuando ambas tuberías están funcionando, pueden entregar litros por hora. Observe que sumamos tasas de trabajo, tal como lo hicimos en los problemas anteriores. Ahora deberíamos usar la información que dice que "Cuando las tuberías A y B están encendidas, pueden llenar esta piscina en 4 horas". Dado que la piscina tiene 10.000 litros, el hecho de que puedan llenarla en 4 horas implica que cuando ambos están encendidos pueden entregar 10.000 litros cada 4 horas o 10.000 / 4 = 2.500 litros por hora. Entonces obtenemos la ecuación:

Como ya sabemos que X = 1000, concluimos que la tubería B puede entregar 1.500 litros por hora.


Como habrás adivinado si has tenido problemas con este tipo de problemas antes, su principal dificultad es definir correctamente las variables y entender cómo se suman las tasas de trabajo. Espero que esta lección le haya ayudado a comprender mejor estos problemas.


Conceptos económicos

Los siguientes términos se utilizan al discutir la producción y venta de un producto.

1) El producción es el número de unidades producidas.

2) El costo de producción de un producto básico depende de muchos factores.

a) Se incurre en algunos costos sin importar el resultado. Estos son los costes fijos.

b) El coste variable son aquellos costos que varían con la producción. Para cualquier salida dada, el costo variable promedio es el costo variable dividido por la producción.

c) El coste total es la suma del costo fijo y el costo variable.

Costo total = Costo fijo + (Costo variable promedio) x Producto

3) El los ingresos totales de la venta de un bien es el precio de venta multiplicado por el número de unidades vendidas este es el ingreso total de las ventas.

4) El lucro es la diferencia entre ingresos y costos,

Beneficio = Ingresos - Costo.

5) El punto de equilibrio es el punto donde los ingresos son iguales al costo, o lo que es lo mismo, la ganancia = 0. La producción es rentable solo cuando los ingresos son mayores que el costo.

6) El costo total promedio, (o, brevemente, el costo promedio) es el costo total dividido por la producción,

.

Ejemplo 1

Si los costos fijos son $ 100 si el costo variable promedio es $ 2, y si el precio de venta es $ 2.50 por unidad, entonces:

a) el costo total de producir q unidades está dado por el función de costo

b) el ingreso de la venta de q unidades viene dado por función de ingresos

c) la ganancia de producir y vender q unidades viene dada por el función de beneficio

d) el punto de equilibrio se determina resolviendo la ecuación

Esto también se ilustra en la figura siguiente.

e) El costo promedio es .

Ejemplo 2

A veces, el costo variable promedio no es constante. Los proveedores pueden ofrecer un descuento para pedidos grandes, lo que haría que el costo variable promedio disminuya a medida que aumenta la producción. Por ejemplo, si el costo variable promedio es, entonces este disminuye a medida que aumenta. Suponga nuevamente que los costos fijos siguen siendo $ 100 y que el precio de venta es $ 2.50 por unidad.

a) La función de costo es.

b) La función de ingresos es.

c) La función de beneficio es

d) El punto de equilibrio se determina resolviendo la ecuación cuadrática

Seleccionamos la respuesta positiva. Tenga en cuenta que . Consulte la figura siguiente para obtener una solución gráfica.

e) El costo promedio es

Ejemplo 3

Por otro lado, el aumento de la producción podría crear una escasez de materias primas y, por lo tanto, elevar los costos de producción. En este caso, el costo variable promedio aumentará. Por ejemplo, si el costo variable promedio es mientras los costos fijos siguen siendo $ 100 y el precio de venta es $ 2.50, entonces

a) la función de costo es

b) la función de ingresos es

c) la función de beneficio es

d) el punto de equilibrio se determina resolviendo la ecuación cuadrática

Esto no tiene una solución real y no hay un punto de equilibrio. El siguiente gráfico es informativo. Tenga en cuenta que a un precio de venta de $ 2.50, vender más y más productos conduce a un aumento en su pérdida.

mi)

Ejemplo 4

Suponga que el costo fijo es $ 1000 y el costo variable promedio de producir q unidades es. ¿Qué debería establecer como precio de venta si desea alcanzar el punto de equilibrio cuando la producción es de 800 unidades?

Primero, determine la función de costo. . El costo de producir 800 unidades es y el costo promedio por unidad es. Por lo tanto, el precio de venta debe ser de 533,25 dólares. La función de ingresos será y costo = ingresos cuando q = 800.

Cantidades marginales

La costo marginal es el cambio en el costo total que resulta de producir una unidad adicional. Cuando la producción es q, el costo marginal es

esta es la pendiente de la línea entre los puntos y. La derivada, que es la pendiente de la recta tangente en, da una buena aproximación al cambio exacto en el costo, y se acostumbra usar la derivada para calcular el costo marginal.

La ingreso marginal es el ingreso adicional derivado de la venta de una unidad adicional,

.

Al igual que con la función de costo, usaremos la derivada de la función de ingresos para determinar el ingreso marginal.

La beneficio marginal es el beneficio adicional derivado de la venta de una unidad adicional,

.

Nuevamente, usaremos la derivada de la función de ganancia para determinar la ganancia marginal. Tenga en cuenta que esta es la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal,

Beneficio marginal = Ingresos marginales - Costo marginal.

Observación importante: si la función de ganancia tiene un máximo, esto ocurre cuando el ingreso marginal = el costo marginal.

Volvemos a los ejemplos. Para cada uno, determinamos el costo marginal, los ingresos y la ganancia también, determinamos cuándo la ganancia es máxima.

Ejemplo 5

Si los costos fijos son $ 100 si el costo variable promedio es $ 2, y si el precio de venta es $ 2.50 por unidad, entonces determinamos que la función de costo es, los ingresos por vender q unidades es la función de ingresos y la función de ganancias es.

a) El costo marginal es. Observe en este caso que esto es exactamente lo mismo que la cantidad y que es lo mismo que el costo variable promedio por unidad.

b) El ingreso marginal es. Nuevamente, observe en este caso que esto es exactamente lo mismo que la cantidad y este es el precio de venta por unidad.

c) El ingreso marginal es, y este es el beneficio por unidad.

d) La función de beneficio está aumentando, por lo que la función de beneficio no tiene un máximo.

Ejemplo 6

Si el costo variable promedio es, los costos fijos son $ 100 y el precio de venta es $ 2.50 por unidad. Entonces la función de costos es, la función de ingresos es y la función de ganancias es

a) Calcule el costo marginal usando la derivada. Por lo tanto, . El costo marginal disminuye a medida que aumenta la producción. Esto tiene sentido ya que el costo variable promedio está disminuyendo.

i) Por ejemplo, si la cantidad producida es de 60 unidades, el costo real de producir una unidad adicional es mientras que el costo marginal, calculado usando la derivada, da. Consulte la figura siguiente.

ii) Si la cantidad producida es de 80 unidades, entonces el costo real de producir una unidad adicional es mientras que el costo marginal, calculado utilizando la derivada, da. Consulte la figura siguiente.

b) El ingreso marginal es el mismo que en el ejemplo anterior,.

d) Dado que las funciones de ganancia siempre aumentan y no hay una ganancia máxima.

Ejemplo 7

In this example, the average variable cost is , the fixed costs are $100 and the selling price is $2.50. Then the cost function is , the revenue function is and the profit function is .

b) The marginal revenue is the same as previously, .

d) The profit is maximum when (notice that and so this critical value will produce a maximum). Solving

Therefore profit is maximum when the output is 25. The maximum profit is -93.75. In other words, you are still losing money (profit is negative) but this is the least you would use.

Supply and Demand

A supply curve describes the relationship between the quantity supplied and the selling price. The amount of a good or service that producers plan to sell at a given price during a given period is called the quantity supplied. The quantity supplied is the maximum amount that producers are willing to supply at a given price. Quantity supplied is expressed as an amount per unit of time. For example, if a producer plans to sell 750 units per day at $15 per unit we say that the quantity supplied is 750 unit per day at price $15.

Similarly, the amount of a good or service that consumers plan to buy at a given price during a given period is called the quantity demanded. The quantity demanded is the maximum amount that consumers can be expected to buy at a given price, and it also is expressed as amount per unit of time.

La equilibrium price is the price at which the quantity demanded equals the quantity supplied. La equilibrium quantity. is the quantity bought and sold at the equilibrium price. If the curves are graphed on the same coordinate system, the point of intersection is the equilibrium point, and is where supply equals demand. If the price is below equilibrium there will be a shortage and the price will rise, while if the price is above equilibrium there will be a surplus and the price will fall. If the price is at equilibrium it will stay there unless other factors enter to cause changes.

Ejemplo 8

Assume that the supply function is and the demand function is . The breakeven point is found by setting equating the two functions and then solving the resulting equation:

This gives the first coordinate the second coordinate is (or, using the demand equation, )

Ejemplo 9

We make the following assumptions about supply and demand.

  • The supplier will produce 1000 units when the selling price is $20 per unit and will produce 1500 units if the price is $25 per unit.
  • Consumers will demand 1500 units when the selling price is $20 per unit but that the demand will decrease by 10% if the price increases by 5%.
  • Both supply and demand functions are linear.

Determine the supply function, the demand function and the equilibrium point.

1) To determine the supply function, we use a coordinate system and write the equation of the line through the points (1000,20) and (1500,25).

2) For the demand function, one point is (1500,20). If the price increases 5% to $21, the demand will decrease 10% to 1350. Thus the second point is (1350,21) and we can now determine the demand function.


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