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21.6: Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Escribe la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones.
  • Usar operaciones de fila en una matriz
  • Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Resuelve: (3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Resuelve: (0.25p + 0.25 (x + 4) = 5.20 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Evalúa cuando (x = −2 ) y (y = 3: 2x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones puede ser una operación tediosa en la que un simple error puede causar estragos en la búsqueda de la solución. Está disponible un método alternativo que utiliza los procedimientos básicos de eliminación pero con una notación más simple. El método implica el uso de un matriz. Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.

MATRIZ

A matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.

Una matriz con metro filas y norte las columnas tienen orden (m veces n ). La matriz de la izquierda a continuación tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene el orden (2 times 3 ). Decimos que es una matriz de 2 por 3.

Cada número de la matriz se denomina elemento o entrada en la matriz.

Usaremos una matriz para representar un sistema de ecuaciones lineales. Escribimos cada ecuación en forma estándar y los coeficientes de las variables y la constante de cada ecuación se convierten en una fila en la matriz. Entonces, cada columna serían los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes. Una línea vertical reemplaza los signos iguales. A la matriz resultante la llamamos matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.

Observe que la primera columna está formada por todos los coeficientes de X, la segunda columna son todos los coeficientes de yy la tercera columna son todas las constantes.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Ⓐ ( left { begin {array} {l} 5x − 3y = −1 y = 2x − 2 end {array} right. ) Ⓑ ( left { begin {array} {l} 6x − 5y + 2z = 3 2x + y − 4z = 5 3x − 3y + z = −1 end {matriz} right. )

Respuesta

Ⓐ La segunda ecuación no está en forma estándar. Reescribimos la segunda ecuación en forma estándar.

[ begin {alineado} y = 2x − 2 −2x + y = −2 end {alineado} nonumber ]

Reemplazamos la segunda ecuación con su forma estándar. En la matriz aumentada, la primera ecuación nos da la primera fila y la segunda ecuación nos da la segunda fila. La línea vertical reemplaza los signos iguales.

Ⓑ Las tres ecuaciones están en forma estándar. En la matriz aumentada, la primera ecuación nos da la primera fila, la segunda ecuación nos da la segunda fila y la tercera ecuación nos da la tercera fila. La línea vertical reemplaza los signos iguales.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Escribe cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada:

Ⓐ ( left { begin {array} {l} 3x + 8y = −3 2x = −5y − 3 end {array} right. ) Ⓑ ( left { begin {array } {l} 2x − 5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x + 3y + 2z = −3 end {matriz} right. )

Respuesta

Ⓐ ( left [ begin {matrix} 3 & 8 & -3 2 & 5 & −3 end {matrix} right] )

Ⓑ ( left [ begin {matrix} 2 & 3 & 1 & −5 ​​−1 & 3 & 3 & 4 2 & 8 & 7 & −3 end {matrix} right] )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Escribe cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada:

Ⓐ ( left { begin {array} {l} 11x = −9y − 5 7x + 5y = −1 end {array} right. ) Ⓑ ( left { begin {array } {l} 5x − 3y + 2z = −5 ​​2x − y − z = 4 3x − 2y + 2z = −7 end {matriz} right. )

Respuesta

Ⓐ ( left [ begin {matrix} 11 & 9 & −5 ​​7 & 5 & −1 end {matrix} right] )
Ⓑ ( left [ begin {matrix} 5 & −3 & 2 & −5 ​​2 & −1 & −1 & 4 3 & −2 & 2 & −7 end {matrix} right] )

Es importante cuando resolvemos sistemas de ecuaciones usando matrices para poder ir y venir entre el sistema y la matriz. El siguiente ejemplo nos pide que tomemos la información de la matriz y escribamos el sistema de ecuaciones.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Escribe el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada:

( left [ begin {array} {ccc | c} 4 & −3 & 3 & −1 1 & 2 & −1 & 2 −2 & −1 & 3 & −4 end {array} right] ).

Respuesta

Recordamos que cada fila corresponde a una ecuación y que cada entrada es un coeficiente de una variable o la constante. La línea vertical reemplaza al signo igual. Dado que esta matriz es (4 times 3 ), sabemos que se traducirá en un sistema de tres ecuaciones con tres variables.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Escribe el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada: ( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 2 & 3 2 & 1 & −2 & 1 4 & −1 & 2 & 0 end {matrix} derecho] ).

Respuesta

( left { begin {array} {l} x − y + 2z = 3 2x + y − 2z = 1 4x − y + 2z = 0 end {array} right. )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Escribe el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada: ( left [ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 4 2 & 3 & −1 & 8 1 & 1 & −1 & 3 end {matrix} right] ).

Respuesta

( left { begin {array} {l} x + y + z = 4 2x + 3y − z = 8 x + y − z = 3 end {array} right. )

Usar operaciones de fila en una matriz

Una vez que un sistema de ecuaciones está en su forma de matriz aumentada, realizaremos operaciones en las filas que nos llevarán a la solución.

Para resolver por eliminación, no importa en qué orden coloquemos las ecuaciones en el sistema. Del mismo modo, en la matriz podemos intercambiar las filas.

Cuando resolvemos por eliminación, a menudo multiplicamos una de las ecuaciones por una constante. Dado que cada fila representa una ecuación, y podemos multiplicar cada lado de una ecuación por una constante, de manera similar podemos multiplicar cada entrada en una fila por cualquier número real excepto 0.

En la eliminación, a menudo agregamos un múltiplo de una fila a otra fila. En la matriz podemos reemplazar una fila con su suma con un múltiplo de otra fila.

Estas acciones se llaman operaciones de fila y nos ayudarán a usar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.

OPERACIONES DE FILA

En una matriz, las siguientes operaciones se pueden realizar en cualquier fila y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.

  1. Intercambie dos filas cualesquiera.
  2. Multiplica una fila por cualquier número real excepto 0.
  3. Agregue un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.

Realizar estas operaciones es fácil de hacer, pero toda la aritmética puede resultar en un error. Si usamos un sistema para registrar la operación de la fila en cada paso, es mucho más fácil volver atrás y verificar nuestro trabajo.

Usamos letras mayúsculas con subíndices para representar cada fila. Luego mostramos la operación a la izquierda de la nueva matriz. Para mostrar el intercambio de una fila:

Para multiplicar la fila 2 por (- 3 ):

Para multiplicar la fila 2 por (- 3 ) y agregarla a la fila 1:

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Realice las operaciones indicadas en la matriz aumentada:

Ⓐ Intercambie las filas 2 y 3.

Ⓑ Multiplica la fila 2 por 5.

Ⓒ Multiplica la fila 3 por −2−2 y suma a la fila 1.

( left [ begin {array} {ccc | c} 6 & −5 & 2 & 3 2 & 1 & −4 & 5 3 & −3 & 1 & −1 end {array} right] )

Respuesta

Ⓐ Intercambiamos las filas 2 y 3.

Ⓑ Multiplicamos la fila 2 por 5.

Ⓒ Multiplicamos la fila 3 por (- 2 ) y la sumamos a la fila 1.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Realice las operaciones indicadas en la matriz aumentada:

Ⓐ Intercambie las filas 1 y 3.

Ⓑ Multiplica la fila 3 por 3.

Ⓒ Multiplique la fila 3 por 2 y sume a la fila 2.

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 4 & -1 & −4 & 4 -2 & 3 & 0 & −1 end {array} derecho] )

Respuesta

Ⓐ ( left [ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 5 & −2 & −2 & −2 end {matrix} right] )

Ⓑ ( left [ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 15 & −6 & −6 & −6 end {matrix} right] )

Ⓒ ( left [ begin {matrix} -2 & 3 & 0 & 2 & 3 & 4 & -13 & -16 & -8 15 & -6 & -6 & -6 & end {matrix} right ] )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Realice las operaciones indicadas en la matriz aumentada:

Ⓐ Intercambie las filas 1 y 2,

Ⓑ Multiplica la fila 1 por 2,

Ⓒ Multiplique la fila 2 por 3 y sume a la fila 1.

( left [ begin {array} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 4 & 1 & −3 & 2 5 & 0 & 4 & −1 end {array} right] )

Respuesta

Ⓐ ( left [ begin {matrix} 4 & 1 & −3 & 2 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
Ⓑ ( left [ begin {matrix} 8 & 2 & −6 & 4 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
Ⓒ ( left [ begin {matrix} 14 & −7 & −12 & −8 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )

Ahora que hemos practicado las operaciones de fila, veremos una matriz aumentada y averiguaremos qué operación usaremos para alcanzar una meta. Esto es exactamente lo que hicimos cuando hicimos la eliminación. Decidimos por qué número multiplicar una fila para que se elimine una variable al sumar las filas.

Dado este sistema, ¿qué haría para eliminar X?

Este siguiente ejemplo esencialmente hace lo mismo, pero con la matriz.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 4 & −8 & 0 fin {matriz} derecha] )

Respuesta

Para hacer 4 a 0, podríamos multiplicar la fila 1 por (- 4 ) y luego sumarla a la fila 2.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 3 & −6 & 2 fin {matriz} derecha] )

Respuesta

( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 2 0 & −3 & −4 end {matrix} right] )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 -2 & −3 & 2 end {matriz} derecha] )

Respuesta

( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 3 0 & −5 & 8 end {matrix} right] )

Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices

Para resolver un sistema de ecuaciones usando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada usando operaciones de fila. Para un sistema de ecuaciones consistente e independiente, su matriz aumentada está en forma escalonada cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas debajo de la diagonal son ceros.

FORMULARIO FILA ECHELON

Para un sistema de ecuaciones consistente e independiente, su matriz aumentada está en forma escalonada cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas debajo de la diagonal son ceros.

Una vez que tengamos la matriz aumentada en forma escalonada, podemos escribir el sistema equivalente de ecuaciones y leer el valor de al menos una variable. Luego sustituimos este valor en otra ecuación para continuar resolviendo las otras variables. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. )

Respuesta

La solución es ((4, −1) ).

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} 2x + y = −4 x − y = −2 end {array} right. )

Respuesta

La solución es ((- 2,0) ).

Los pasos se resumen aquí.

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES UTILIZANDO MATRICES.

  1. Escribe la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.
  2. Usando operaciones de fila, la entrada en la fila 1, columna 1 es 1.
  3. Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1.
  4. Usando operaciones de fila, obtenga la entrada en la fila 2, columna 2 para que sea 1.
  5. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma escalonada por filas.
  6. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente.
  7. Utilice la sustitución para encontrar las variables restantes.
  8. Escribe la solución como un par o triple ordenado.
  9. Verifica que la solución haga verdaderas las ecuaciones originales.

Aquí hay una imagen para mostrar el orden para colocar los 1 y 0 en la posición adecuada para la forma escalonada de fila.

Usamos el mismo procedimiento cuando el sistema de ecuaciones tiene tres ecuaciones.

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x + 3y + 2z = −3 fin {matriz} right. )

Respuesta

((6,−1,−3))

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} −3x + y + z = −4 −x + 2y − 2z = 1 2x − y − z = −1 end {matriz} derecha. )

Respuesta

((5,7,4))

Hasta ahora, nuestro trabajo con matrices solo ha sido con sistemas que son consistentes e independientes, lo que significa que tienen exactamente una solución. Veamos ahora qué sucede cuando usamos una matriz para un sistema dependiente o inconsistente.

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} x − 2y + 2z = 1 −2x + y − z = 2 x − y + z = 5 fin {matriz} right. )

Respuesta

sin solución

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} 3x + 4y − 3z = −2 −2x + 3y − z = −1 2x + y − 2z = 6 end {matriz} right. )

Respuesta

sin solución

El último sistema era inconsistente y, por lo tanto, no tenía soluciones. El siguiente ejemplo es dependiente y tiene infinitas soluciones.

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} x + y − z = 0 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y − 3z = 9 end {matriz} derecha. )

Respuesta

infinitas soluciones ((x, y, z) ), donde (x = z − 3; space y = 3; space z ) es cualquier número real.

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando una matriz: ( left { begin {array} {l} x − y − z = 1 −x + 2y − 3z = −4 3x − 2y − 7z = 0 end {matriz} right. )

Respuesta

infinitas soluciones ((x, y, z) ), donde (x = 5z − 2; space y = 4z − 3; space z ) es cualquier número real.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con la eliminación gaussiana.

  • Eliminación gaussiana

Conceptos clave

Glosario

matriz
Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
forma escalonada
Una matriz está en forma escalonada cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas debajo de la diagonal son ceros.

Involucrar a los estudiantes: resolver sistemas lineales de ecuaciones con matrices

En mi clase culminante para futuros profesores de matemáticas de secundaria, les pido a mis alumnos que propongan ideas para atractivo sus alumnos con diferentes temas en el currículo de matemáticas de secundaria. En otras palabras, el objetivo de la tarea no era diseñar un plan de lección completo sobre este tema. En cambio, les pedí a mis estudiantes que pensaran en tres formas diferentes de hacer que sus estudiantes se interesen en el tema en primer lugar.

Planeo compartir algunas de las mejores de estas ideas en este blog (después de pedir permiso a mis estudiantes & # 8217, por supuesto).

Esta presentación de estudiante proviene de mi ex alumno Andrew Sansom. Su tema, de Álgebra II: resolución de sistemas lineales de ecuaciones con matrices.

A1. ¿Qué problemas de palabras interesantes (es decir, no elaborados) que usen este tema pueden hacer sus estudiantes ahora? (Puede encontrar recursos como http://www.spacemath.nasa.gov muy útiles en este sentido, siéntase libre de sugerir otros).

The Square en el centro de Denton es un lugar popular para visitar y pasar el rato. El propietario de un nuevo negocio debe decidir en qué carretera debe poner un anuncio para que la mayoría de la gente lo vea mientras conduce. No tiene suficientes recursos para transitar en cada cuadra y calle, pero sabe que puede usar álgebra para resolver las que no encontró. En el mapa de arriba, puso un recuadro azul que contiene la cantidad de personas que caminaron por cada calle durante una hora. Utilice un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuánto tráfico hay en cada calle / cuadra de este mapa.

SUGERENCIA: Recuerde que en cada intersección, la misma cantidad de personas tiene que entrar y salir cada hora, así que escriba una ecuación para cada intersección en la que la suma de personas que entran es igual a la cantidad de personas que salen.
SUGERENCIA: Recuerde que las mismas personas entran y salen de todo el mapa cada hora. Escribe una ecuación que tenga la suma de cada calle que entra en el mapa igual a la suma de cada calle que sale del mapa.

1. Construya cada ecuación, como lo sugieren las sugerencias.

2. Reescriba el sistema de ecuaciones lineales simultáneas en forma estándar.

3. Reescribe el sistema como una matriz aumentada.

4. Reducir el sistema a la forma escalonada de fila reducida (usando una calculadora)


5. Usa esta matriz reducida para encontrar soluciones para cada variable.

Esto nos da un mapa completo:


Claramente, el propietario de la empresa debería anunciarse en Hickory Street entre Elm y Locust St (posiblemente frente a Beth Marie's).

B1. ¿Cómo se puede utilizar este tema en los futuros cursos de matemáticas o ciencias de sus alumnos?

Los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas aparecen con frecuencia en la mayoría de los problemas que implican modelar más de una cosa a la vez. En la escuela secundaria, la capacidad de usar matrices para resolver tales sistemas (especialmente los grandes) simplemente muchos problemas que aparecerían en los exámenes de Física AP o IB. El análisis de circuitos (incluidas las leyes de Kirchhof y Ohm) con frecuencia equivale a establecer grandes sistemas de ecuaciones simultáneas similares al problema de tráfico de red anterior. De manera similar, existen problemas de cinemática en los que múltiples fuerzas / momentos de torsión actúan sobre un objeto que naturalmente se prestan a grandes sistemas de ecuaciones.

En química, los problemas de mezcla se pueden resolver utilizando sistemas de ecuaciones. Si se mezcla más de una sustancia, el sistema puede volverse demasiado grande para resolverlo de manera eficiente, excepto mediante la eliminación gaussiana y las operaciones de matriz. (DeFreese, sin fecha)

A nivel universitario, aprender a resolver sistemas usando matrices prepara al estudiante para el álgebra lineal, que es útil en casi todas las clases de matemáticas que se toman a partir de entonces.

D4. ¿Cuáles son las contribuciones de varias culturas a este tema?

Las ecuaciones lineales simultáneas se presentaron en la antigua China en un texto llamado Jiuzhang Suanshu o Nueve capítulos del arte matemático para resolver problemas que involucran pesos y cantidades de granos. El método prescrito implica enumerar los coeficientes de los términos en una matriz que es excepcionalmente similar a la eliminación gaussiana.

Más tarde, en la Europa moderna temprana, se conocieron los métodos de eliminación, pero no se enseñaron en los libros de texto hasta que Newton publicó un texto en inglés en 1720, aunque no usó matrices en ese texto. Gauss proporcionó un enfoque aún más sistemático para resolver ecuaciones lineales simultáneas que involucran mínimos cuadrados en 1794, que se usó en 1801 para encontrar a Ceres cuando se avistó y luego se perdió. Durante la vida de Gauss y en el siglo siguiente, el método de eliminación de Gauss fue una forma estándar de resolver grandes sistemas para computadoras humanas. Además, al adoptar paréntesis, "Gauss liberó a las computadoras del tedio de tener que reescribir ecuaciones y, al hacerlo, les permitió considerar cómo organizar mejor su trabajo". (Grcar J. F., 2011).


Representar sistemas de ecuaciones lineales usando matrices

Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar en forma de matriz utilizando una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante.

La matriz de coeficientes se puede formar alineando los coeficientes de las variables de cada ecuación en una fila. Asegúrese de que cada ecuación esté escrita en forma estándar con el término constante a la derecha.

Entonces, la matriz de coeficientes para el sistema anterior es

Las variables que tenemos son xey. Entonces podemos escribir la matriz de variables como [x y].

En el lado derecho de la igualdad tenemos los términos constantes de las ecuaciones, 8 y & menos 2. Los dos números en ese orden corresponden a la primera y segunda ecuaciones y, por lo tanto, ocupan los lugares en la primera y segunda filas de la matriz constante. Entonces, la matriz se convierte en [8 y menos 2].

Ahora, el sistema se puede representar como [2 3 5 & minus 1] [x y] = [8 & minus 2].

Usando la multiplicación de matrices, puede ver que la representación de la matriz es equivalente al sistema de ecuaciones.

Es decir, [2 x + 3 y 5 x & menos y] = [8 & menos 2].

Igualando las entradas correspondientes de las dos matrices obtenemos:

Ahora entendamos qué significa esta representación.

Si considera esto como una función del vector [x y], se puede definir como

f ([x y]) = [2 3 5 y menos 1] [x y]

Entonces, resolviendo el sistema, estamos encontrando un vector [x y] para el cual f ([x y]) = [8 & minus 2].

Esta representación puede facilitar los cálculos porque, si podemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes, el vector de entrada [x y] se puede calcular multiplicando ambos lados por la matriz inversa.

De manera similar, para un sistema de tres ecuaciones en tres variables,

a 1 x + b 1 y + c 1 z = re 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = re 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = re 3


21.6: Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices - Matemáticas

Operaciones de matriz legal

En la Figura 1 anterior, puede ver una solución normal de un sistema de ecuaciones en escritura negra a la izquierda. Este sistema se resolvió sumando las dos ecuaciones. Esta adición provocó que la variable y para caer, y resultó una ecuación de una sola variable. Esto nos permitió resolver X. Una vez que supimos X, podríamos encontrar fácilmente y.

A la derecha en la Figura 1 arriba, en escritura azul , puede ver que se realiza un trabajo similar en las filas de la matriz. La fila de la matriz 1,1,8 simplemente representa la ecuación: 1X + 1y = 8. Entonces, la fila de la matriz es simplemente los coeficientes de la ecuación. La fila de la matriz 1, -1,4 representa la ecuación:
1X - 1y = 4.

Así como es legal para nosotros agregar dos ecuaciones a la izquierda, es legal para nosotros agregar a las filas de la derecha. Puedes ver esto en la línea etiquetada a + B - & gt a, donde verá la nueva fila 2,0,12. Esta es solo la suma de filas a y B. La siguiente fila etiquetada a - B - & gt b muestra el resultado de restar la fila B de la fila a, a saber, 0,2,4.

La sección final a la derecha muestra que así como es legal multiplicar una ecuación por un número o dividir una ecuación por un número, también es legal multiplicar o dividir una fila de la matriz por un número (escalar).

En la parte inferior izquierda hay un resumen de las operaciones legales dentro de las matrices. Puede realizar legalmente cualquiera de esos tres procedimientos. También puede realizar cualquier combinación de estas tres operaciones. Realmente, estas operaciones legales son las mismas operaciones legales que aprendiste previamente a usar en álgebra.

Resolver un sistema de ecuaciones usando álgebra

En la Figura 2 anterior, tomamos la solución de un sistema primero usando las técnicas de álgebra que debe conocer por su experiencia en álgebra. El sistema de tres ecuaciones se muestra en la parte superior izquierda. Primero, te recuerdo el hecho de que si estás resolviendo un sistema con 3 variables, necesitas 3 ecuaciones. Si está resolviendo un sistema con 9 variables, necesita 9 ecuaciones. En la situación general, si está resolviendo un sistema con norte variables, necesitas norte ecuaciones. Entonces ves que para este sistema con 3 variables, tenemos 3 ecuaciones.

En el proceso de resolver un sistema de este tipo, necesitamos eliminar variables hasta llegar a una ecuación con 1 variable. Así que necesitamos encontrar algunas formas de deshacernos legalmente de algunas variables.

Puede notar que si agrega ecuaciones a y B, puedes obtener la variable y dejar caer. También puede hacer que la y caiga si agrega ecuaciones B y C.

Ahora tenemos 2 ecuaciones con 2 variables. Arriba, estas son ecuaciones están etiquetadas como ecuaciones D y mi. Todavía tenemos que deshacernos de una variable más. Vemos que si multiplicamos la ecuación D por 2, y sumarlo a la ecuación mi, podemos resolver una de nuestras variables. Encontramos eso X = 1. No toma mucho más tiempo ver en la ecuación b que y debe ser igual a -2. Y finalmente, sustituyendo X = 1 y y = -2 en la ecuación a, podemos encontrar eso z debe ser igual a -1. No terminamos hasta que verifiquemos los tres resultados en cada una de las tres ecuaciones con las que comenzamos.

La flecha roja en la Figura 2 apunta a una forma matricial de las mismas tres ecuaciones con las que comenzamos. Esta matriz de 3 x 4 tiene una matriz cuadrada a la izquierda y una columna adicional a la derecha. Debido a que esta matriz se ha agregado, a veces se le llama matriz aumentada. Ahora trabajaremos en resolver este mismo sistema usando simplemente la matriz.

La figura 3 anterior nos muestra dos elementos importantes para nuestro procedimiento de solución matricial. En la parte superior de la Figura 3, verá el "objetivo deseado". Esta es la forma en la que queremos que se modele nuestra matriz. Observe que queremos que la parte izquierda de la matriz se convierta en una matriz de identidad. También habrá una columna adicional con tres cantidades. Estas cantidades a, B, y C, con ser las soluciones al sistema. La fila superior dice: & quot1X + 0y + 0z = a& quot, que en efecto dice: & quotX = a. & quot La segunda línea en efecto dice: & quoty = B. & quot La tercera línea en efecto dice: & quotz = C. & quot; Y así, una matriz en esta forma está completamente resuelta.

La segunda parte de la Figura 3 anterior es el orden estratégico recomendado para transformar la parte izquierda de la matriz en una matriz de identidad. La razón para darle este orden estratégico recomendado es minimizar o eliminar con un esfuerzo inútil. A medida que solucionamos un problema a continuación, eventualmente verá que esta orden ayudará a eliminar cualquier trabajo desperdiciado.

En la Figura 4 anterior, vemos que el 1 en la segunda fila está encerrado en un círculo. Esto se debe a que nuestro plan estratégico de pedidos nos obliga a transformar primero esta primera celda en la segunda fila. ¿En qué queremos que se convierta esta primera celda de la segunda fila? Un vistazo rápido a la Figura 3 debería decirnos que queremos que sea un cero. ¿Cómo podemos hacer que esto se convierta en cero? Bueno, por supuesto, debemos seguir solo las operaciones legales que estaban en la Figura 1. Un plan que logrará esto es multiplicar filas B por -2 y agregue el resultado a la fila a. Luego pondremos el resultado en fila. B. Esto se simboliza arriba con el -2B + a - & gt B notación. Eso sí, debemos realizar esta operación para todos y cada uno de los números de la fila. B. (los 4) En la segunda matriz se puede ver el resultado después de realizar esta operación.

El siguiente número que debemos cambiar es el elemento de la parte inferior izquierda, que está encerrado en un círculo en la Figura 5 anterior. Nuevamente necesitamos que este número se transforme en cero. Podemos ver que la fila B no hace ningún bien. Cero más nada no cambia nada. Entonces ahora sabemos que tenemos que usar row a. Podríamos tomar 3 veces la fila ay -2 veces la fila C. Sumar estos dos juntos dará un cero en la primera posición. La figura 5 muestra lo que sucede si realiza este plan en toda la fila.

El siguiente número que debemos cambiar es el segundo elemento de la fila. C. Necesitamos que este elemento sea cero. Es muy importante en esta etapa del problema recordar que si bien queremos cambiar el segundo elemento de la fila C, necesitamos proteger el cero que previamente cambiamos a cero. Para proteger el cero en la primera posición, necesitamos operar con una fila que también tenga un cero en la primera posición. Esto nos dice que necesitamos hacer una operación que involucre filas B. Nuestro plan es multiplicar -3 por fila C, añadir By poner en C. Realice esta operación y vea si obtiene la misma fila inferior que se muestra en la Figura 6 anterior.

El siguiente número que debemos cambiar es el segundo elemento de la fila. B. Este es el primer elemento que queremos transformar en un 1. Te gustarán estas transformaciones. Para transformar un elemento en 1, solo se requiere una operación de una sola fila. Todo lo que necesita hacer es dividir cada elemento de la fila B por -3. Los resultados volverán directamente a la fila. B. Vea los resultados en la Figura 7 anterior.

El siguiente elemento que debe transformarse es el tercer elemento de la fila. C. Debe transformarse en un 1. Las transformaciones de un elemento en uno son las más fáciles de todas. Nuevamente, todo lo que necesitamos hacer es multiplicar cada elemento en fila C por -1/20.

Nuestra siguiente transformación es el tercer elemento de la fila. B. Este elemento debe ser cero. Una preocupación aquí es "proteger" los dos primeros elementos de esta fila, que hemos trabajado duro para conseguir en su forma actual. Los dos ceros iniciales en fila C son la protección perfecta para estos dos elementos. Por lo tanto, queremos hacer un antes de Cristo operación. Nuestro plan es multiplicar la fila C por 1/3, y agregue el resultado a B.

¡Dos filas hechas! Observe que ahora filas B y C están completamente hechos. Ahora estamos trabajando en transformar el tercer elemento de la fila. a a cero. No hay nada en fila a que necesita protección. Simplemente restaremos fila a menos fila Cy vuelve a poner el resultado en fila a.

Ahora necesitamos transformar el segundo elemento de la fila. a en un cero. Tenemos un elemento para proteger en fila. a, entonces notamos esa fila B Es una protección perfecta porque tiene un cero en la tercera posición. Aquí solo podemos agregar una fila a remar By volver a poner en fila a.

Un último elemento para transformar. Debido a que este elemento debe ser uno, podemos simplemente dividir la fila a a las 2. ¡Terminamos! Ahora, debido a que la matriz tiene la matriz de identidad a la izquierda, nuestras respuestas están en la tercera columna. Sistema resuelto.

Situaciones especiales

Algunos sistemas de ecuaciones no tienen solución. Si imagina el sistema de ecuaciones anterior como un sistema de tres líneas en un espacio tridimensional. entonces puedes imaginar que 3 de esas líneas no tienen que cruzarse en un punto común. De hecho, sería bastante raro que se cruzaran en un punto común.

Al resolver matrices, luchamos por convertir la parte izquierda de la matriz en una matriz de identidad. Si una matriz no tiene solución, verá matrices que terminan luciendo así:



Observe que, en efecto, la fila inferior nos dice que 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 1, lo cual es imposible. Esta es nuestra señal de que es una matriz imposible de encontrar una única solución.

Otro tipo de matriz puede resultar de nuestros esfuerzos por lograr una matriz de identidad en el lado izquierdo de la matriz. A continuación se muestra este tipo:


Aquí tenemos la única fila inferior de todos los ceros. La ecuación algebraica que esto representa, a saber, 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 0 es verdadera. Es cierto, pero ciertamente no nos dice nada sobre el sistema de ecuaciones. Este sistema tiene infinitas soluciones.

Debe poder reconocer estos dos tipos especiales de resultados de matriz y lo que significan.


SOLUCIÓN: Resuelve el sistema de ecuaciones usando matrices y filas de operaciones. x-y + z = -4 2x-3y + 4z = -15 5x + y-2z = 12


Primero déjalo. Esta es la matriz formada por los coeficientes del sistema de ecuaciones dado.


Tenga en cuenta que los valores del lado derecho del sistema son, y están resaltados aquí:


Estos valores son importantes ya que se utilizarán para reemplazar las columnas de la matriz A.


Ahora calculemos el determinante de la matriz A a obtener. Para ahorrar espacio, no estoy mostrando los cálculos del determinante. Sin embargo, si necesita ayuda para calcular el determinante de la matriz A, consulte este solucionador.

Nota de notación: denota el determinante de la matriz A.

Ahora reemplace la primera columna de A (que corresponde a la variable 'x') con los valores que forman el lado derecho del sistema de ecuaciones. Denotaremos esta nueva matriz (ya que estamos reemplazando la columna 'x', por así decirlo).


Ahora calcule el determinante de para obtener. Nuevamente, para ahorrar espacio, no incluí los cálculos del determinante. Consulte este solucionador para ver cómo encontrar este determinante.

Para encontrar la primera solución, simplemente divida el determinante de por el determinante de para obtener:


Seguiremos la misma idea básica para encontrar las otras dos soluciones. Restablezcamos dejando de nuevo (esta es la matriz de coeficientes).


Ahora reemplace la segunda columna de A (que corresponde a la variable 'y') con los valores que forman el lado derecho del sistema de ecuaciones. Denotaremos esta nueva matriz (ya que estamos reemplazando la columna 'y' de alguna manera).


Ahora calcule el determinante de para obtener.

Para encontrar la segunda solución, divida el determinante de por el determinante de para obtener:

Entonces la segunda solución es

Reiniciemos nuevamente dejando cuál es la matriz de coeficientes.

Reemplaza la tercera columna de A (que corresponde a la variable 'z') con los valores que forman el lado derecho del sistema de ecuaciones. Denotaremos esta nueva matriz


Ahora calcule el determinante de para obtener.

Para encontrar la tercera solución, divida el determinante de por el determinante de para obtener:


Entonces las tres soluciones son, y dando el triple ordenado (1, 3, -2)


Nota: hay mucho trabajo oculto para encontrar los determinantes. Eche un vistazo a este solucionador de determinantes de 3x3 para ver cómo obtener cada determinante.


Lesson Using systems of equations to solve problems on investment

Madison invested a total of $30,000 at two different banks. At one bank she earned 3.5% on her investment
and at the other bank she earned 4.5%. If her total earning per year is $1,320 then how much did she invest at each bank?


The method I used to solve the system of equations in this problem was the Substitution method .

Problema 2

Sue has $80,000 to invest in a savings account, which pays 7% and a certificate of deposit which pays 8.4%.
Sue would like to receive $6,300 as interest income. How much should she invest in each?


The method I used to solve the system of equations in this problem was the Elimination method .

Problema 3

$15,074 is invested part at 14% and the rest at 5%. If the interest earned from the amount invested at 14% exceeds
the interest earned from the amount invested at 5% by $1694.07, how much is invested at each rate?

Problema 4

Jack inherited 250000 pesos and invested money in SM, Meralco, and Manila Water. After a year, he got a small return of 16200 pesos
from the three investments. SM returned 6%, Meralco returned 7%, and Manila Water returned 8%. There was 60000 more pesos invested
in Meralco than in Manila Water. How much did he invest in SM, Meralco, and Manila Water?

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Lesson Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

In this lesson you will learn the Substitution method for solving systems of three linear equations in three unknowns.

The method is to express one variable via two others using one equation and then to substitute this expression into the two remaining equations. In this step you reduce the original system of three linear equations in three unknowns to the system of two linear equations in two unknowns.

When this step is done, you solve the obtained system of two linear equations by repeatedly applying the substitution method as described in the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Substitution method of the section Algebra-I in this site. For it, you express the second unknown via the third one using one of the two linear equations of the obtained system, and then substitute it into the remaining equation of this system.

After completing this, you will get the single linear equation in one unknown which you can easily solve. Then back-substitute the found value into the intermediate system of two linear equations in two unknowns to get the second unknown. As the last step, back-substitute the two found values for unknowns into either appropriate of the original equations - it will allow you to find the last unknown.

Examples below show how this method works.

Ejemplo 1

Solve the system of linear equations

Express from the third equation:
= .

Substitute it into the first and the second equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by distracting the first equation from the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the first equation of the system (2)
=

and substitute it into the second equation. You will get
.

Simplify it by opening parentheses and collecting common terms. You get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the first one. You get
,

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (1):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (1) is , , .

Ejemplo 2

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You are lucky! You got the system whose solution is obvious: and . You don't need to make more calculations!

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (3):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (3) is , , .

Ejemplo 3

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by adding the first equation and the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the second equation of the system (6)
=

and substitute it into the first equation. You will get
.

Simplify it by collecting common terms. You will get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the second one. You get
,

Now, back-substitute the found values into the first equation of the system (5):
.

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (5) is , , .


Lessons learned from Examples 1, 2 and 3
As you saw, in Examples 1, 2 and 3 the substitution method worked smoothly and produced the unique solution.
It is not necessary to start the substitution method from the very first equation. You can start from any appropriate equation.
It is not necessary to start the substitution method from the very first unknown. You can start from any appropriate unknown.
If there is an equation and an unknown with the coefficient 1 in your system, you may prefer to start the substitution method from this equation and this
unknown.

When applying the substitution method, you can discover in some cases that some steps become trivial and you can perform them mentally, as it happened in the
solution to the Example 3. So be attentive and be aware - do not neglect and do not miss such opportunities. It may save you from unnecessary calculations.
Beside of it, the teacher will recognize your mathematical competence :-)

Below are Examples 4 - 8 that highlight the last point in more details.

Systems of linear equations with diagonal coefficient matrices

Ejemplo 4

Solve the system of equations


It is the system of linear equations with the diagonal coefficient matrix . The equations are separated each from the other and each contains only one unknown. The solution is obvious: , and . In this case you do not need to apply the substitution method :-)

Systems of linear equations with upper triangular coefficient matrices

Ejemplo 5

Solve the system of linear equations

It is also a special kind of linear equation systems. It has the upper triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(8)

It is again the case when you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the back-substitution step only. Start from the third equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the first equation. You get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the upper triangular coefficient matrix.


It may happen that you will be offered to solve the system of linear equations in three unknown with the upper triangular coefficient matrix, where the explicit "upper triangular structure" is masked or hidden, as, for example, in the following example.

Ejemplo 6

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'p', 'y' to 'r' and 'z' to 'q'. The system (10) has the upper triangular coefficient matrix , similar to that of the Example 5 .


Figure 1a . The profile of
the coefficient matrix (11)


Figure 1b . The profile of
the coefficient matrix (10)


You easily will find the solution to (10) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (9).

Notice that the system (9) has the profile shown in the Figure 1a , while the system (10)
has the profile shown in the Figure 1b , the same as the systems (7) and (8) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.


Systems of linear equations with lower triangular coefficient matrices

Ejemplo 7

Solve the system of linear equations

(11)
This system has the lower triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(12)

In this case you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the straight-forward substitution only.
Start from the first equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You will get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the third equation. You will get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the lower triangle coefficient matrix.
The back-substitution step for the upper triangle coefficient matrix case and the straight-forward substitution step for the lower triangle coefficient matrix case do not differ much.

Ejemplo 8

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'q', 'y' to 'p' and 'z' to 'r'. The system (14) has the lower triangular coefficient matrix similar to that of the Example 7 .


Figure 2a . The profile of
the coefficient matrix (13)


Figure 2b . The profile of
the coefficient matrix (14)


You easily will find the solution to (14) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (13).

Notice that the system (13) has the profile shown in the Figure 2a , while the system (14)
has the profile shown in the Figure 2b , the same as the systems (11) and (12) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.



Lessons learned from Examples 4 - 8
If you need to solve a system with an upper triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. You need to make
the back-substitution step only. Same if you are given a system with the masked upper triangular matrix.

Similarly, if you need to solve a system with a lower triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. It is enough
to make the straight-forward substitution only. Same if you are given a system with the masked lower triangular matrix.

Examples 1 , 2 and 3 are the cases, when the linear equation system has the unique solution. They are examples of the consistent equation systems with independent equations. The substitution method works smoothly for such systems and produces their unique solutions.

Nevertheless, there are cases when the systems of linear equations have more than one solution or have no solutions at all. The substitution method has its own specifics in these cases.

Ejemplo 9

Solve the system of linear equations in three unknowns

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(16)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (17)

Any value of satisfies the equation (17). So, this equation has infinitely many solutions.
Now we can start first back-substitution step of the substitution method. Let us take any arbitrary value and substitute it into the first equation of the system (16).
You will get
= .
Hence, for any arbitrary the pair (,) = (,) is the solution of the first equation of the system (16). At the same time, this pair satisfies the second equation of the system (16) too, because these two equations are equivalent (they are different only in the sign). Thus the system (16) has infinitely many solutions.

Now we can make next back-substitution step of the substitution method. Namely, substitute this pair of solutions = , = into the first equation of the system  (15). You will get
- () = 1.

Then find from the last equation:  .
Finally, I state that the triple , and is the solution of the system (15)  for any arbitrary value of .

Let us check this statement. Simply substitute the triple of numbers , and into the system (15). You will get
- () = 1 for the left side of the first equation, and it coincides with its right side
- = 2 for the left side of the second equation,  and it coincides with its right side
- () = -3 for the left side of the third equation,  and it coincides with its right side.

Answer . The system (15) has infinitely many solutions , and for any arbitrary value .

Ejemplo 10

Solve the system of three linear equations in three unknowns by the substitution method

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(19)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (20)

The last equation (20) has no solution, because its left side is zero for any number . It means that the original system (18) has no solution. Indeed, if the system (18) would have a solution, then the equation (20) should have it, which is impossible.

Answer . The system (18) has no solution.


Lessons learned from Examples 9 and 10.
When solving a systems of three linear equations in three unknowns, you can meet one of three cases:
1) the case when the system has a unique solution
2) the case when the system has infinitely many solutions, and
3) the case when the system has no solutions.

The substitution method allows you to recognize, to distinct and to identify these cases.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form with non-zero coefficient , then it is the first case: the system
has a unique solution, and you can get it in the back-substitution process.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form or or with the zero coefficient (or, generally,
an equation = with zero coefficients , and , where are the modified matrix coefficients and is the modified
right side), then it is the second or the third case.

Further, if the right side (or in the general case) is equal to zero, then it is the second case: the original system has infinitely many solutions, and
you can get them in the back-substitution process.
Otherwise, if the right side (or in the general case) is not equal to zero, then it is the third case: the original system has no solutions.

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Solving Systems of Equations using Matrices

Videos, worksheets, solutions, and activities to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the inverse of matrices.

This video explains how to solve a system of two linear equations with two unknowns using a matrix equation.

Matrices to solve simultaneous equations tutorial
Using Matrices to Solve Systems of Equations on the Graphing Calculator
This video shows how to use matrices to solve systems of linear equations on the TI83 and TI84 series of graphing calculators.

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Solving Systems of Equations by Matrix Row Reduction Method

Examples, solutions, videos, and lessons to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the matrix row reduction method.

Row Reducing a Matrix to Solve A System of Linear Equations

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4 Answers 4

Whether or not your matrix is square is not what determines the solution space. It is the rank of the matrix compared to the number of columns that determines that (see the rank-nullity theorem). In general you can have zero, one or an infinite number of solutions to a linear system of equations, depending on its rank and nullity relationship.

To answer your question, however, you can use Gaussian elimination to find the rank of the matrix and, if this indicates that solutions exist, find a particular solution x0 and the nullspace Null(A) of the matrix. Then, you can describe all your solutions as x = x0 + xn, where xn represents any element of Null(A). For example, if a matrix is full rank its nullspace will be empty and the linear system will have at most one solution. If its rank is also equal to the number of rows, then you have one unique solution. If the nullspace is of dimension one, then your solution will be a line that passes through x0, any point on that line satisfying the linear equations.

Ok, first off: a non-square system of equations lata have an exact solution

clearly has a solution (actually, it has an 1-dimensional family of solutions: x=z=1). Even if the system is overdetermined instead of underdetermined it may still have a solution:

(x=y=1). You may want to start by looking at least squares solution methods, which find the exact solution if one exists, and "the best" approximate solution (in some sense) if one does not.

Taking Ax = b , with A having m columns and n rows. We are not guaranteed to have one and only one solution, which in many cases is because we have more equations than unknowns (m bigger n). This could be because of repeated measurements, that we actually want because we are cautious about influence of noise.

If we observe that we can not find a solution that actually means, that there is no way to find b travelling the column space spanned by A. (As x is only taking a combination of the columns).

We can however ask for the point in the space spanned by A that is nearest to b. How can we find such a point? Walking on a plane the closest one can get to a point outside it, is to walk until you are right below. Geometrically speaking this is when our axis of sight is perpendicular to the plane.

Now that is something we can have a mathematical formulation of. A perpendicular vector reminds us of orthogonal projections. And that is what we are going to do. The simplest case tells us to do a.T b . But we can take the whole matrix A.T b .

For our equation let us apply the transformation to both sides: A.T Ax = A.T b . Last step is to solve for x by taking the inverse of A.T A :