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13.2: Secuencias aritméticas


Objetivos de aprendizaje

  • Encuentra la diferencia común para una secuencia aritmética.
  • Escribe los términos de una secuencia aritmética.
  • Usa una fórmula recursiva para una secuencia aritmética.
  • Usa una fórmula explícita para una secuencia aritmética.

Las empresas suelen realizar grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso comercial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se llama depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.

Como ejemplo, considere una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra una camioneta nueva por $ 25,000. Después de cinco años, estima que podrá vender la camioneta por $ 8,000. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de $ 17 000, lo que equivale a $ 3400 anuales durante cinco años. El camión tendrá un valor de $ 21,600 después del primer año; $ 18.200 después de dos años; $ 14,800 después de tres años; $ 11,400 después de cuatro años; y $ 8,000 al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.

Encontrar diferencias comunes

Se dice que los valores del camión en el ejemplo forman un secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado Diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es -3,400.

La siguiente secuencia es otro ejemplo de una secuencia aritmética. En este caso, la diferencia constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y agregar (3 ) para encontrar el término siguiente.

SECUENCIA ARITMÉTICA

Un secuencia aritmética es una secuencia que tiene la propiedad de que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. Esta constante se llama Diferencia común. Si (a_1 ) es el primer término de una secuencia aritmética y (d ) es la diferencia común, la secuencia será:

[ {a_n } = {a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, ... } ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar diferencias comunes

¿Es cada secuencia aritmética? Si es así, encuentre la diferencia común.

  1. ({1,2,4,8,16,...})
  2. ({−3,1,5,9,13,...})

Solución

Reste cada término del término subsiguiente para determinar si existe una diferencia común.

  1. La secuencia no es aritmética porque no hay una diferencia común.

(2-1 = { color {rojo} 1} qquad 4-2 = { color {rojo} 2} qquad 8-4 = { color {rojo} 4} qquad 16-8 = { color {rojo} 8} )

  1. La secuencia es aritmética porque hay una diferencia común. La diferencia común es (4 ).

(1 - (- 3) = { color {rojo} 4} qquad 5-1 = { color {rojo} 4} qquad 9-5 = { color {rojo} 4} qquad 13-9 = { color {rojo} 4} )

Análisis

El gráfico de cada una de estas secuencias se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Podemos ver en los gráficos que, aunque ambas secuencias muestran crecimiento, (a) no es lineal mientras que (b) es lineal. Las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante, por lo que sus gráficos siempre serán puntos en una línea.

Preguntas y respuestas

Si se nos dice que una secuencia es aritmética, ¿tenemos que restar cada término del siguiente término para encontrar la diferencia común?

No. Si sabemos que la secuencia es aritmética, podemos elegir cualquier término de la secuencia y restarlo del término siguiente para encontrar la diferencia común.

Ejercicio ( PageIndex {1A} )

¿Es aritmética la secuencia dada? Si es así, encuentre la diferencia común.

({18, 16, 14, 12, 10,…})

Respuesta

La secuencia es aritmética. La diferencia común es (- 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {1B} )

¿Es aritmética la secuencia dada? Si es así, encuentre la diferencia común.

({1, 3, 6, 10, 15,…})

Respuesta

La secuencia no es aritmética porque (3−1 ≠ 6−3 ).

Escribir términos de secuencias aritméticas

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, encontraremos los términos si se nos da el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden encontrar comenzando con el primer término y agregando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término también se puede encontrar ingresando los valores de (n ) y (d ) en la fórmula siguiente.

[a_n = a_1 + (n − 1) d ]

Cómo: Dado el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética, encuentre los primeros términos.

  1. Suma la diferencia común al primer término para encontrar el segundo término.
  2. Suma la diferencia común al segundo término para encontrar el tercer término.
  3. Continúe hasta que se identifiquen todos los términos deseados.
  4. Escribe los términos separados por comas entre corchetes.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): escribir términos de secuencias aritméticas

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con (a_1 = 17 ) y (d = −3 ).

Solución

Sumar (- 3 ) es lo mismo que restar (3 ). Comenzando con el primer término, reste (3 ) de cada término para encontrar el siguiente.

Los primeros cinco términos son ( {17,14,11,8,5 } )

Análisis

Como era de esperar, el gráfico de la secuencia consta de puntos en una línea como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Enumere los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con (a_1 = 1 ) y (d = 5 ).

Respuesta

({1, 6, 11, 16, 21})

Cómo: dado el primer término y cualquier otro término en una secuencia aritmética, encuentre un término dado.

  1. Sustituye los valores dados para (a_1 ), (a_n ), (n ) en la fórmula (a_n = a_1 + (n − 1) d ) para resolver (d ).
  2. Encuentra un término dado sustituyendo los valores apropiados para (a_1 ), (n ) y (d ) en la fórmula (a_n = a_1 + (n − 1) d ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): escribir términos de secuencias aritméticas

Dado (a_1 = 8 ) y (a_4 = 14 ), encuentre (a_5 ).

Solución

La secuencia se puede escribir en términos del término inicial (8 ) y la diferencia común (d ).

( {8,8 + d, 8 + 2d, 8 + 3d } )

Sabemos que el cuarto término es igual a (14 ); sabemos que el cuarto término tiene la forma (a_1 + 3d = 8 + 3d ).

Podemos encontrar la diferencia común (d ).

[ begin {align *} a_n & = a_1 + (n-1) d a_4 & = a_1 + 3d a_4 & = 8 + 3d qquad text {Escribe el cuarto término de la secuencia en términos de} a_1 text {y} d. 14 & = 8 + 3d qquad text {Sustituir} 14 text {para} a_4. d & = 2 qquad text {Resuelve la diferencia común.} end {align *} ]

Encuentra el quinto término sumando la diferencia común al cuarto término.

(a_5 = a_4 + 2 = 16 )

Análisis

Observe que la diferencia común se agrega al primer término una vez para encontrar el segundo término, dos veces para encontrar el tercer término, tres veces para encontrar el cuarto término, y así sucesivamente. El décimo término se puede encontrar sumando la diferencia común al primer término nueve veces o usando la ecuación (a_n = a_1 + (n − 1) d ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Dado (a_3 = 7 ) y (a_5 = 17 ), encuentre (a_2 ).

Respuesta

(a_2 = 2 )

Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior usando un fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite encontrar cualquier término de una secuencia aritmética usando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es (5 ), entonces cada término es el término anterior más (5 ). Al igual que con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el primer término.

(a_n = a_n − 1 + d )

para (n≥2 )

FÓRMULA RECURSIVA PARA UNA SECUENCIA ARITMÉTICA

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común (d ) es:

[a_n = a_n − 1 + d ]

para (n≥2 )

Cómo: Dada una secuencia aritmética, escribe su fórmula recursiva.

  1. Reste cualquier término del término subsiguiente para encontrar la diferencia común.
  2. Enuncie el término inicial y sustituya la diferencia común en la fórmula recursiva para las secuencias aritméticas.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética

Escribe un fórmula recursiva Para el secuencia aritmética.

({−18, −7, 4, 15, 26, …})

Solución

El primer término se da como (- 18 ). La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

(d = −7 - (- 18) = 11 )

Sustituye el término inicial y la diferencia común en la fórmula recursiva para sucesiones aritméticas.

(a_1 = −18 )

(a_n = a_ {n − 1} +11 )

para (n≥2 )

Análisis

Vemos que la diferencia común es la pendiente de la línea formada cuando graficamos los términos de la secuencia, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). El patrón de crecimiento de la secuencia muestra la diferencia constante de 11 unidades.

Preguntas y respuestas

¿Tenemos que restar el primer término del segundo término para encontrar la diferencia común?

No. Podemos restar cualquier término en la secuencia del término subsiguiente. Sin embargo, es más común restar el primer término del segundo término porque a menudo es el método más fácil de encontrar la diferencia común.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Escribe una fórmula recursiva para la secuencia aritmética.

({25, 37, 49, 61, …})

Respuesta

( begin {align *} a_1 & = 25 a_n & = a_ {n − 1} +12, text {para} n≥2 end {align *} )

Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.

(a_n = a_1 + d (n − 1) )

Para encontrar la intersección en (y ) - de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.

Recuerda que la forma pendiente-intersección de una línea es (y = mx + b ). Cuando se trata de secuencias, usamos (a_n ) en lugar de (y ) y (n ) en lugar de (x ). Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por (m ) y (b ) en la forma pendiente-intersección de una línea. Sustituyendo (- 50 ) por la pendiente y (250 ) por la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:

(a_n = −50n + 250 )

No necesitamos encontrar la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es (a_n = 200−50 (n − 1) ), que se simplifica a (a_n = −50n + 250 ).

FÓRMULA EXPLÍCITA PARA UNA SECUENCIA ARITMÉTICA

Una fórmula explícita para el término (n ^ {th} ) de una secuencia aritmética viene dada por

[a_n = a_1 + d (n − 1) ]

Cómo: Dados los primeros términos de una secuencia aritmética, escriba una fórmula explícita.

  1. Encuentre la diferencia común, (a_2 − a_1 ).
  2. Sustituye la diferencia común y el primer término en (a_n = a_1 + d (n − 1) ).

Término fórmula explícita para una secuencia aritmética

Escribe una fórmula explícita para la secuencia aritmética.

({2, 12, 22, 32, 42, …})

Solución

La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

[ begin {align *} d & = a_2 − a_1 & = 12−2 & = 10 end {align *} ]

La diferencia común es (10 ​​). Sustituye la diferencia común y el primer término de la secuencia en la fórmula y simplifica.

[ begin {align *} a_n & = 2 + 10 (n − 1) a_n & = 10n − 8 end {align *} ]

Análisis

La gráfica de esta secuencia, representada en la Figura ( PageIndex {5} ), muestra una pendiente de (10 ​​) y una intersección vertical de (- 8 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Escribe una fórmula explícita para la siguiente secuencia aritmética.

({50,47,44,41,…})

Respuesta

(a_n = 53−3n )

Encontrar el número de términos en una secuencia aritmética finita

Se pueden usar fórmulas explícitas para determinar el número de términos en una secuencia aritmética finita. Necesitamos encontrar la diferencia común y luego determinar cuántas veces la diferencia común debe agregarse al primer término para obtener el término final de la secuencia.

Cómo: Dados los primeros tres términos y el último término de una secuencia aritmética finita, encuentre el número total de términos.

  1. Encuentra la diferencia común (d ).
  2. Sustituye la diferencia común y el primer término en (a_n = a_1 + d (n – 1) ).
  3. Sustituye (a_n ) por el último término y resuelve (n ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): encontrar el número de términos en una secuencia aritmética finita

Encuentra el número de términos en la secuencia aritmética finita.

({8, 1, –6, ..., –41})

Solución

La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

(1−8=−7)

La diferencia común es (- 7 ). Sustituye la diferencia común y el término inicial de la secuencia en la fórmula del enésimo término y simplifica.

[ begin {align *} a_n & = a_1 + d (n − 1) a_n & = 8 + −7 (n − 1) a_n & = 15−7n end {align *} ]

Sustituye (- 41 ) por (a_n ) y resuelve para (n )

[ begin {align *} -41 & = 15-7n 8 & = n end {align *} ]

Hay ocho términos en la secuencia.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra el número de términos en la secuencia aritmética finita.

({6, 11, 16, ..., 56})

Respuesta

Hay (11 ) términos en la secuencia.

Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas

En muchos problemas de aplicación, a menudo tiene sentido utilizar un término inicial de (a_0 ) en lugar de (a_1 ). En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para dar cuenta de la diferencia en términos iniciales. Usamos la siguiente fórmula:

[a_n = a_0 + dn ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): resolución de problemas de aplicación con secuencias aritméticas

Un niño de cinco años recibe una asignación de ($ 1 ) cada semana. Sus padres le prometen un aumento anual de ($ 2 ) por semana.

  1. Escriba una fórmula para la asignación semanal del niño en un año determinado.
  2. ¿Cuál será la asignación por hijo cuando tenga (16 ) años?

Solución

  1. La situación se puede modelar mediante una secuencia aritmética con un término inicial de (1 ) y una diferencia común de (2 ).

    Sea (A ) el monto de la asignación y (n ) el número de años después de la edad (5 ). Usando la fórmula explícita alterada para una secuencia aritmética obtenemos:

    (A_n = 1 + 2n )

  2. Podemos encontrar el número de años desde la edad (5 ) restando.

    (16−5=11)

    Buscamos el subsidio por hijo después de (11 ) años. Sustituya (11 ) en la fórmula para encontrar la asignación por hijo a la edad (16 ).

    (A_ {11} = 1 + 2 (11) = 23 )

    La asignación por hijo a la edad de (16 ) será de ($ 23 ) por semana.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Una mujer decide correr (10 ​​) minutos todos los días de esta semana y planea aumentar el tiempo de su carrera diaria en (4 ) minutos cada semana. Escribe una fórmula para el tiempo de su carrera después de (n ) semanas. ¿Cuánto tiempo durará su carrera diaria en (8 ) semanas a partir de hoy?

Respuesta

La fórmula es (T_n = 10 + 4n ) y le llevará (42 ) minutos.

Medios de comunicación

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con secuencias aritméticas.

  • Secuencias aritméticas

Ecuaciones clave

fórmula recursiva para el enésimo término de una secuencia aritmética (a_n = a_ {n − 1} + d ) (n≥2 )
fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética (a_n = a_1 + d (n − 1) )

Conceptos clave

  • Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.
  • La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común.
  • La diferencia común es el número agregado a cualquier término de una secuencia aritmética que genera el término subsiguiente. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Los términos de una secuencia aritmética se pueden encontrar comenzando con el término inicial y agregando la diferencia común repetidamente. Vea Ejemplo ( PageIndex {2} ) y Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  • Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común dd viene dada por (a_n = a_ {n − 1} + d ), (n≥2 ). Vea Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • Al igual que con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el término inicial de la secuencia.
  • Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común (d ) viene dada por (a_n = a_1 + d (n − 1) ). Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • Se puede usar una fórmula explícita para encontrar el número de términos en una secuencia. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • En problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita a (a_n = a_0 + dn ). Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ).


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