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1: Ecuaciones lineales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

En este capítulo, aprenderá a:

  1. Grafica una ecuación lineal.
  2. Calcula la pendiente de una recta.
  3. Determina la ecuación de una línea.
  4. Resolver sistemas lineales.
  5. Resolver problemas de aplicación usando ecuaciones lineales.

Miniatura: Las líneas roja y azul de este gráfico tienen la misma pendiente (gradiente); las líneas roja y verde tienen la misma intersección con el eje y (cruzan el eje y en el mismo lugar). (CC BY-SA 1.0; ElectroKid a través de Wikipedia)


Matemáticas Precálculo Matemáticas en Nebraska

Hasta este punto, hemos aprendido cómo crear gráficos que reflejan ecuaciones lineales y cómo construir ecuaciones lineales dados los gráficos. En esta sección, presentaremos dos características que pueden tener los pares de líneas para que podamos continuar construyendo ecuaciones lineales con varias propiedades.

En esta sección, lo hará.

aprender lo que significa que dos líneas sean

aprender lo que significa que dos líneas sean

determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas a partir de sus ecuaciones

construir ecuaciones lineales para rectas con varias propiedades

Subsección Líneas paralelas y perpendiculares

son rectas en el mismo plano que nunca se cruzan. Dos líneas diferentes en el mismo plano son paralelas si sus pendientes son iguales en símbolos, si la pendiente de la primera línea es (m_1 ) y la pendiente de una línea diferente es (m_2 text <,> ) entonces las pendientes son paralelas si (m_1 = m_2 text <.> )

Ejemplo 90

Encuentra una ecuación de la línea que pasa por ((4,1) ) y es paralela a (x-2y = -2 text <.> )

Para encontrar la pendiente de la línea dada, resuelve para (y text <.> )

Aquí la línea dada tiene pendiente (m_1 = frac <1> <2> text <.> ) La línea que estamos construyendo es paralela a esta línea y por lo tanto tendrá la misma pendiente, entonces (m_2 = frac <1> <2> text <.> ) Dado que se nos ha dado un punto y ahora tenemos la pendiente, elegiremos usar la forma punto-pendiente de una ecuación lineal para determinar la forma pendiente-intersección de la ecuación.

Nuestro punto es ((4,1) ) y nuestra pendiente es (m = frac <1> <2> text <.> )

La ecuación de la línea está dada por (y-1 = dfrac <1> <2> (x-4) text <.> )

Es importante tener una comprensión geométrica de esta pregunta. La línea que nos dieron, (x-2y = -2 text <,> ) se muestra en azul. La línea que construimos, (y-1 = frac <1> <2> (x-4) text <,> ) se muestra en magenta. observe que la pendiente es la misma en la línea dada, pero son líneas distintas (es decir, no tienen la misma intersección en (y )).

son rectas en el mismo plano que se cruzan en ángulos rectos (90 grados). Dos rectas no verticales, en el mismo plano con pendientes (m_1 ) y (m_2 text <,> ) son perpendiculares si el producto de sus pendientes es (- 1 text <,> ) (m_1 cdot m_2 = -1 text <.> ) Podemos resolver (m_1 ) y obtener (m_1 = - frac <1> text <.> ) En esta forma, vemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son. En general, dados números reales distintos de cero (a ) y (b text <,> ) si la pendiente de la primera línea está dada por (m_1 = frac text <,> ) entonces la pendiente de la línea perpendicular es (m_2 = - frac text <.> )

Por ejemplo, el recíproco opuesto de (m_1 = - frac <3> <5> ) es (m_2 = frac <5> <3> text <.> ) Podemos verificar que dos pendientes producen perpendiculares líneas si su producto es (- 1 text <.> )

Ejemplo 91

Encuentra una ecuación de la línea que pasa por ((- 5, -2) ) y es perpendicular a la gráfica de (x + 4y = 4 text <.> )

Para encontrar la pendiente de la línea dada, resuelve para (y text <.> )

La línea dada tiene pendiente (m_1 = - frac <1> <4> text <.> ) Dado que estamos construyendo una línea que es perpendicular a esta línea, sus pendientes deben ser recíprocas opuestas y, por lo tanto, la línea que estamos construyendo debe tener una pendiente de (m_2 = + frac <4> <1> = 4 text <.> ) Ahora podemos sustituir la pendiente, (m_2 = 4 text <,> ) y el punto dado, ((- 5, -2) text <,> ) en forma de punto-pendiente:

La ecuación de la línea perpendicular está dada por (y + 2 = 4 (x + 5) text <.> )

Geométricamente, vemos que la gráfica de (y = 4x + 18 text <,> ) que se muestra como la línea discontinua en la gráfica, pasa por ((- 5, -2) ) y es perpendicular a la gráfica de (y = - frac <1> <4> x + 1 text <.> )

Ejemplo 92

Encuentre una ecuación de la línea que pasa por ((- 5, -1) ) y es perpendicular a ( frac <1> <3> x- frac <1> <2> y = -2 text <. > )

Para encontrar la pendiente de la línea dada, resolvemos (y text <:> )

La línea dada tiene pendiente (m_1 = frac <2> <3> text <,> ) por lo tanto, la línea que estamos construyendo debe tener una pendiente de (m_2 = - frac <3> <2> text <.> ) Usando esto y el punto ((- 5, -1) text <,> ) podemos usar la forma punto-pendiente para escribir la siguiente ecuación:


Fórmulas matemáticas para la clase 10 (por capítulos)

Antes de entrar en la lista de fórmulas, echemos un vistazo a los capítulos principales de la clase 10 de matemáticas para los que se necesitan fórmulas:

Fórmulas matemáticas de clase 10 para progresión aritmética (AP)

Si a1, a2, a3, a4 & # 8230 .. son los términos de un AP yd es la diferencia común entre cada término, entonces la secuencia se puede escribir como: a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d & # 8230 & # 8230 a + nd. donde a es el primer término y (a + nd) es el (n & # 8211 1) término. Entonces, la fórmula para calcular el enésimo término de AP se da como:

n-ésimo término = a + (n-1) d

La suma del enésimo término de AP donde a es el primer término, D es la diferencia común, y l es el último término se da como:

Snorte = n / 2 [2a + (n-1) d] o Snorte = n / 2 [a + l]

Fórmulas matemáticas de clase 10 para ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales en una, dos y tres variables tienen las siguientes formas:

Ecuación lineal en una variableax + b = 0Donde a ≠ 0 y a & amp b son números reales
Ecuación lineal en dos variables ax + por + c = 0Donde a ≠ 0 & amp b ≠ 0 y a, b & amp c son números reales
Ecuación lineal en tres variablesax + por + cz + d = 0Donde a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 y a, b, c, d son números reales

El par de ecuaciones lineales en dos variables se dan como:

Nota rápida: Las ecuaciones lineales también se pueden representar en forma gráfica.

Fórmulas de trigonometría para matemáticas de la clase 10

Las fórmulas trigonométricas para la clase 10 cubren las funciones trigonométricas básicas para un triángulo rectángulo, es decir, seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan) que se pueden usar para derivar Cosecante (cos), Secante (sec) y Cotangente (cuna).

Supongamos que un triángulo rectángulo ABC tiene un ángulo recto en el punto B y tiene ( angle theta ) es uno de los otros dos ángulos.

La Tabla trigonométrica que comprende los valores de estas funciones trigonométricas para ángulos estándar es como en:

Ángulo30°45°60°90°
pecado01/21/√2√3/21
cosθ1√3/21/√2½0
bronceado01/√31√3Indefinido
cunaIndefinido√311/√30
segundo12/√3√22Indefinido
cosecθIndefinido2√22/√31

Algunas otras fórmulas trigonométricas se dan a continuación:

  1. pecado (90° - θ) = cos θ
  2. porque (90° - θ) = pecado θ
  3. bronceado (90° - θ) = cuna θ
  4. cuna (90° - θ) = tan θ
  5. segundos (90° - θ) = cosecθ
  6. cosec (90° - θ) = segθ
  7. sin 2 θ + cos 2 θ = 1
  8. seg 2 θ = 1 + tan 2 θ para 0° ≤ θ & lt 90°
  9. Cosec 2 θ = 1 + cuna 2 θ para 0° ≤ θ ≤ 90°

Fórmulas matemáticas de clase 10 para álgebra y ecuaciones cuadráticas amp

Para conocer las fórmulas de álgebra para la Clase 10, primero, debe familiarizarse con las ecuaciones cuadráticas.

La fórmula cuadrática: Para una ecuación cuadrática pX 2 + qX + r = 0, los valores de X que son las soluciones de la ecuación están dadas por:

Ahora conoces la ecuación cuadrática básica.

Repasemos ahora la lista de fórmulas de álgebra para la Clase 10:

  1. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
  2. (a-b) 2 = a 2 + b 2 - 2ab
  3. (a + b) (a-b) = a 2 - b 2
  4. (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
  5. (x + a) (x - b) = x 2 + (a - b) x - ab
  6. (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
  7. (a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab (a - b)
  8. (x - a) (x + b) = x 2 + (b - a) x - ab
  9. (x - a) (x - b) = x 2 - (a + b) x + ab
  10. (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz
  11. (x + y - z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy - 2yz - 2xz
  12. (x - y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy - 2yz + 2xz
  13. (x - y - z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy + 2yz - 2xz
  14. x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz -xz)
  15. x 2 + y 2 = ½ [(x + y) 2 + (x - y) 2]
  16. (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc
  17. x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)
  18. x 3 - y 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2)
  19. x 2 + y 2 + z 2 -xy - yz - zx = ½ [(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2]

Nota rápida: Estas fórmulas serán importantes en las clases superiores y en varios exámenes comeptitivos. Entonces, memorícelos y entiéndalos bien.

Fórmulas matemáticas de clase 10 para círculo

Las fórmulas circulares actúan como base para la medición. Las fórmulas del círculo de matemáticas de la clase 10 para un círculo de radio r se dan a continuación:

  • 1. Circunferencia del círculo = 2 π r
  • 2. Área del círculo = π r 2
  • 3. Área del sector del ángulo θ = (θ / 360) × π r 2
  • 4. Longitud de un arco de un sector de ángulo θ = (θ / 360) × 2 π r

Fórmulas matemáticas de clase 10 para área de superficie y volumen de amplificador

Estas fórmulas son muy importantes para resolver con éxito las cuestiones de medición. Encuentre a continuación las fórmulas en forma tabulada para su conveniencia.

Aquí, LSA = Área de superficie lateral,

Fórmulas matemáticas de clase 10 para estadística

Las estadísticas de la clase 10 tratan principalmente de encontrar la media, la mediana y la moda de los datos dados. Las fórmulas estadísticas se dan a continuación:

(I) La media de los datos agrupados se puede encontrar por 3 métodos.

  1. Método directo: x̅ = ( frac < sum_^F_X_> < sum_^F_> ), donde fI XI es la suma de observaciones para i = 1 an Y fI es el número de observaciones para i = 1 an
  2. Método de la media asumida : X = a + ( frac < sum_^F_D_> < sum_^F_>)
  3. Método de desviación de paso: x̅ = a + ( frac < sum_^F_u_> < sum_^F_> veces h )

(II) El modo de datos agrupados: Modo = l + ( frac<>-f_ <0>> <2f_ <1> -f_ <0> -f_ <2>> times h )

(III) La mediana para datos agrupados: Mediana = l + ( frac < frac<2>-cf> veces h )

Algunas preguntas frecuentes sobre fórmulas matemáticas Clase 10

Aquí hay algunas preguntas frecuentes que los estudiantes hacen con respecto a las fórmulas matemáticas de la clase 10.

Respuesta: Aprender o memorizar fórmulas matemáticas requiere mucha práctica. Primero, familiarícese con el capítulo y los conceptos, luego intente comprender cómo se deriva una fórmula y luego memorícela.

Respuesta: Un formal es un conjunto de instrucciones que produce el resultado deseado, mientras que una ecuación contiene operadores numéricos. Para una ecuación, el LHS debe ser igual al RHS.

Respuesta: Para aprender fórmulas matemáticas fácilmente, puede tomar la ayuda de las fórmulas proporcionadas en este artículo. Puede aprenderlos directamente del artículo o puede imprimirlos.

Respuesta: Los estudiantes que busquen áreas de superficie y fórmulas de volumen pueden verlas a través de este artículo.

Estas son algunas de las fórmulas importantes para la clase 10 de matemáticas. Estas fórmulas matemáticas para la clase 10 resultarán útiles en su proceso de aprendizaje. Los encontrará útiles al revisar el programa de estudios de matemáticas de la clase 10 de CBSE.

Resuelve lo libre Preguntas de matemáticas de la clase 10 y consulte estas fórmulas para obtener una mejor puntuación en los exámenes de la junta de clase 10:

Fórmulas matemáticas para la clase 8Fórmulas de medición
Mesa de trigonometríaRelaciones trigonométricas

Si tiene alguna consulta con respecto a este artículo sobre Fórmulas matemáticas para la clase 10, no dude en preguntar en la sección de comentarios a continuación. Nos comunicaremos con usted lo antes posible.


ECUACIONES LINEALES

UNA N ECUACIÓN es un enunciado algebraico en el que el verbo es "igual" =. Una ecuación involucra un número desconocido, generalmente llamado x. A continuación, se muestra un ejemplo sencillo:

"Algún número, más 4, es igual a 10."

Decimos que una ecuación tiene dos lados: el lado izquierdo, x + 4, y el lado derecho, 10.

Como x aparece a la primera potencia, llamamos a eso una ecuación lineal. Una ecuación lineal también se llama ecuación de primer grado.

El grado de cualquier ecuación es el exponente más alto que aparece en el número desconocido. Una ecuación de primer grado se llama lineal porque, como veremos mucho más adelante, su gráfica es una línea recta.

La ecuación, esa afirmación, se volverá verdadera solo cuando la incógnita tenga un cierto valor, que llamamos la solución de la ecuación.

La solución a esa ecuación es obviamente 6:

6 es el único valor de x para el que la afirmación "x + 4 = 10" será verdadera. Decimos que x = 6 satisface la ecuación.

Ahora bien, el álgebra depende de cómo se vean las cosas. En cuanto a cómo se ven las cosas, entonces, sabremos que hemos resuelto una ecuación cuando hayamos aislado x a la izquierda.

¿Por qué la izquierda? Porque así leemos, de izquierda a derecha. "x es igual a..."

En la forma estándar de una ecuación lineal - ax + b = 0 - x aparece a la izquierda.

De hecho, hemos visto que, para cualquier ecuación que se vea así:

x + a = B ,
la solución siempre se verá así:
X = b & menos a.
Si
x + 4 = 10,
luego
X = 10 y menos 4
= 6.

Hay dos pares de operaciones inversas. Suma y resta, multiplicación y división.

Formalmente, para resolver una ecuación debemos aislar la incógnita en un lado de la ecuación.

Debemos llevar a, b, c al otro lado, de modo que x esté solo.

¿Cómo cambiamos un número de un lado de una ecuación?
¿al otro?

Escribiéndolo en el otro lado con la operación inversa.

Esa es la ley de las inversas. Se desprende de las dos Reglas de la Lección 5.

Ejemplo 1. Resuelve esta ecuación:

a x y menos b + c = D .
Solución. Dado que b se resta a la izquierda, lo sumaremos a la derecha:
a x + c = d + b.
Como c se suma a la izquierda, lo restaremos a la derecha:
hacha = d + b & menos c.
Y finalmente, dado que a se multiplica por la izquierda, lo dividiremos por la derecha:
X = d + b y menos c
a

Hemos resuelto la ecuación.

Entonces, resolver cualquier ecuación lineal se dividirá en cuatro formas, correspondientes a las cuatro operaciones de la aritmética. Las siguientes son las reglas básicas para resolver cualquier ecuación lineal. En cada caso, desplazaremos a al otro lado.

1. Si x + a = b, entonces x = b & menos a.

"Si se suma un número en un lado de una ecuación,
podemos restarlo en el otro lado ".

2. Si x & menos a = b, entonces x = b + a.

"Si se resta un número en un lado de una ecuación,
podemos agregarlo en el otro lado ".

"Si un número multiplica un lado de una ecuación,
podemos dividirlo en el otro lado ".

"Si un número divide un lado de una ecuación,
podemos multiplicarlo en el otro lado ".

En todos los casos, se desplazó a al otro lado mediante la operación inversa. Será posible resolver cualquier ecuación lineal aplicando una o más de esas reglas.

Cuando las operaciones son de suma o resta (Formas 1 y 2), lo llamamos transposición.

Podemos cambiar un término al otro lado de una ecuación
cambiando su signo.

+ a va al otro lado como & menos a.

& menos a va al otro lado como + a.

La transposición es una de las operaciones más características del álgebra, y se cree que es el significado de la palabra álgebra, que es de origen árabe. (Los matemáticos árabes aprendieron álgebra en la India, desde donde la introdujeron en Europa). La transposición es la técnica de aquellos que realmente usan el álgebra en ciencias y matemáticas, porque es hábil. Y, como vamos a ver, mantiene la secuencia lógica y clara de las declaraciones. Además, enfatiza que haces álgebra con la vista. Cuando veas

x + a = B ,
entonces inmediatamente ves que + a va al otro lado como & menos a:
X = b & menos a.

Sin embargo, lo que a menudo se enseña es escribir & menos a en ambos lados, trazar una línea y sumar.

Primero, nunca verá eso en ningún texto de cálculo. Lo que verá es una secuencia lógica de declaraciones, a la que estamos a punto de llegar.

Es más, probamos que simplemente podemos transponer. No es necesario volver a demostrarlo cada vez que resuelve una ecuación.

(¿Tiene que demostrar el teorema de Pitágoras cada vez que lo aplica? No, no es así).

Si quieres imaginar que has restado a de ambos lados, está bien. Pero tener que escribirlo no es habilidoso.

Esto es lo que verá en su texto de cálculo.

Consideremos nuevamente la ecuación del ejemplo 1.

Esa oración algebraica, esa declaración, implicará lógicamente otras declaraciones. Ahora veremos la secuencia lógica que conduce al enunciado final, que es la solución.

La ecuación original (1) se "transforma" transponiendo primero los términos. El enunciado (1) implica el enunciado (2).

Luego, esa declaración se transforma dividiendo por a. El enunciado (2) implica el enunciado (3), que es la solución.

Por lo tanto, resolvemos una ecuación transformándola, cambiando su apariencia, enunciado por enunciado, línea por línea, de acuerdo con las reglas del álgebra, hasta que x finalmente se aísla a la izquierda. Así es como se escriben los libros de matemáticas (¡pero lamentablemente no los libros que enseñan álgebra!). Cada línea es su propia declaración legible que sigue a la línea anterior, sin tachaduras.

En otras palabras, ¿qué es un cálculo? Es una transformación discreta de símbolos. En aritmética transformamos "19 + 5" en "24". En álgebra transformamos "x + a = b" en "x = b & menos a".

Problema 1. Escribe la secuencia lógica de enunciados que resolverán esta ecuación para x:

Para ver la respuesta, pase el mouse de izquierda a derecha.
sobre el área coloreada.
Para cubrir la respuesta nuevamente, haga clic en "Actualizar" ("Recargar").
¡Haz el problema tú mismo primero!

Primero, transponga los términos. Línea 2).

No es necesario escribir el término 0 a la derecha.

Luego divide por el coeficiente de x.

Problema 2. Escribe la secuencia lógica de enunciados que resolverán esta ecuación para x:

En los problemas 3, 4 y 5, solo se da la solución. El alumno debe escribir la secuencia lógica de enunciados que lo conducen.

Problema 3. Resuelva para x: (p & menos q) x + r = s

Problema 5. Resuelva para x: 2 x + 1 = 0

Cada una de las ecuaciones anteriores está en la forma estándar, a saber:

a no significa a. Significa el coeficiente de x. Y b no significa b. Significa cualesquiera que sean los términos.

Por eso se llama formulario. Lo que sea que se parezca a eso.

Problema 6. Resolver: hacha + b = 0.
X = &menos B
a

Esta sencilla ecuación ilustra cómo hacer álgebra con los ojos. El estudiante debería ver la solución de inmediato. Debería ver que b irá al otro lado como & menos b, y que a se dividirá.

Problema 7. Resuelva para x: ax = 0 (a 0).

Ahora, cuando el producto de dos números es 0, entonces al menos uno de ellos debe ser 0. (Lección 6) Por lo tanto, cualquier ecuación con esa forma tiene la solución,

Podríamos resolver eso formalmente, por supuesto, dividiendo por a.

Problema 9. Escribe la secuencia de afirmaciones que resolverán esta ecuación:

Cuando pasamos de la línea (1) a la línea (2), & menos x permanece a la izquierda. Porque, los términos en la línea (1) son 6 y & menos x.

Hemos "resuelto" la ecuación cuando hemos aislado x - no & menos x - a la izquierda. Por lo tanto, pasamos de la línea (3) a la línea (4) cambiando los signos en ambos lados. (Lección 5.)

Alternativamente, podríamos haber eliminado & menos x a la izquierda cambiando todos los signos inmediatamente:

Podemos resolver esto fácilmente, en una línea, simplemente transponiendo x a la izquierda y lo que está a la izquierda a la derecha:

En este ejemplo, + x está a la derecha. Como queremos + x a la izquierda, podemos lograrlo intercambiando lados:

Nota: Cuando intercambiamos lados, no cambia ningún signo.

Al transponer c, la solución sigue fácilmente:

En resumen, cuando & menos x está a la derecha, es útil simplemente transponerlo. Pero cuando + x está a la derecha, podemos intercambiar los lados.

Problema 18. Resuelva para cos & theta ("coseno thay -ta").

Lo que hay que ver es que esta ecuación tiene exactamente la misma forma que el problema 17. cos & theta es la incógnita. Lo resolverá exactamente igual que el problema 17.

El álgebra consiste en reconocer la forma. Y solo hay un número finito.


Praxis Core Math: preguntas de práctica de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales se clasifican como un tipo de problema de álgebra en el Core Math Study Companion oficial, pero se comportan como preguntas de función de muchas maneras. Una ecuación lineal es una ecuación que establece la forma en que dos variables algebraicas se comportarán siempre entre sí, incluso cuando los valores cambien.

En otras palabras, las ecuaciones lineales muestran variables que dependen unas de otras; cuando el valor de una variable cambia, el valor de la otra variable también cambiará. Y los cambios serán predecibles. Para dar un ejemplo muy simple, suponga que los valores de X y y están conectados, de modo que siempre que el valor de X sube en 1, el valor de y también aumenta en 1. Esto es bastante predecible, ¿verdad?

Pero incluso entonces, debe haber un punto en el que X y y interceptar. Este es el punto en el que X es 0. En la ecuación descrita en el párrafo anterior, si y es 0 cuando X es también 0, que la ecuación lineal sería X = y. Esto es porque X y y voluntad siempre tienen el mismo valor si se cruzan en 0 y cada número aumenta en 1 cuando el otro número aumenta en 1. Puedes ver cómo la ecuación lineal de X y yLa equivalencia exacta aumenta en la siguiente tabla:


tabla para ecuación lineal x = y

Esta misma relación podría expresarse dibujando un línea (de ahí el nombre lineal ecuación) en un plano de coordenadas:

gráfico para ecuación lineal x = y
Las ecuaciones lineales que encontrará en las preguntas de Praxis Core Math serán mucho más complicadas, por supuesto. Una relación lineal más típica podría involucrar y aumentando en 8 cada vez X aumenta en 2. 8 es cuatro veces más que 2, por lo que esto significa que y aumenta 4 veces más rápido que X.

Entonces, en términos del aumento interrelacionado de X y y, y = 4X. Ahora si y y X ambos se encuentran en 0, luego y = 4X sería la ecuación lineal correcta. Sin embargo, en Praxis Core, la intersección probablemente también será más compleja que en el ejemplo anterior. Digamos que y es 3 cuando X es 0. Para agregar esta intersección a y = 4X, puedes reescribir la ecuación lineal como y = 4X + 3. En la prueba de Core Math, la tabla de esta ecuación se vería así:

tabla para ecuación lineal y =4X + 3

Y la gráfica de la ecuación podría verse así:

gráfico para ecuación lineal x = y


Ecuaciones reducibles a forma lineal

Considere los siguientes ejemplos para ver cómo podemos reducir las ecuaciones que involucran razones a una forma lineal.

    Transpone el término variable & lsquox & rsquo al lado izquierdo y los términos numéricos al lado derecho de la ecuación cambiando su signo.

Divide ambos lados entre 4 para encontrar el valor de x.


La regla de Cramer y la eliminación gaussiana son dos buenos algoritmos de propósito general (consulte también Ecuaciones lineales simultáneas). Si está buscando código, consulte GiNaC, Maxima y SymbolicC ++ (dependiendo de sus requisitos de licencia, por supuesto).

EDITAR: Sé que estás trabajando en C land, pero también tengo que hablar bien de SymPy (un sistema de álgebra informática en Python). Puede aprender mucho de sus algoritmos (si puede leer un poco de Python). Además, está bajo la nueva licencia BSD, mientras que la mayoría de los paquetes matemáticos gratuitos son GPL.

Puede resolver esto con un programa exactamente de la misma manera que lo resuelve a mano (con multiplicación y resta, luego retroalimentando los resultados en las ecuaciones). Esta es una matemática bastante estándar a nivel de escuela secundaria.

Si vuelve a conectar estos valores en A, B y C, encontrará que son correctos.

El truco consiste en usar una matriz simple de 4x3 que se reduce a su vez a una matriz de 3x2, luego una matriz de 2x1 que es "a = n", siendo n un número real. Una vez que tenga eso, lo introduce en la siguiente matriz para obtener otro valor, luego esos dos valores en la siguiente matriz hasta que haya resuelto todas las variables.

Siempre que tenga N ecuaciones distintas, siempre puede resolver N variables. Digo distintos porque estos dos no son:

Ellos son las mismo ecuación multiplicada por dos para que no pueda obtener una solución de ellos: multiplicar el primero por dos y luego restar te deja con la afirmación verdadera pero inútil:

A modo de ejemplo, aquí hay un código C que resuelve las ecuaciones simultáneas que se le colocan en su pregunta. Primero, algunos tipos necesarios, variables, una función de soporte para imprimir una ecuación y el inicio de main:

A continuación, la reducción de las tres ecuaciones con tres incógnitas a dos ecuaciones con dos incógnitas:

A continuación, la reducción de las dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita:

Ahora que tenemos una fórmula del tipo número1 = desconocido * número2, podemos simplemente calcular el valor desconocido con desconocido & lt- número1 / número2. Luego, una vez que hayas descubierto ese valor, sustitúyelo en una de las ecuaciones con dos incógnitas y calcula el segundo valor. Luego sustituya ambas incógnitas (ahora conocidas) en una de las ecuaciones originales y ahora tendrá los valores de las tres incógnitas:


Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales son el tipo de ecuación más simple que se encuentra en matemáticas. Se le puede pedir que resuelva una ecuación lineal:

o para dibujar la gráfica de una ecuación lineal como y = 2x + 1, que es una línea recta, o para resolver ecuaciones lineales simultáneas:

Todos resolvemos ecuaciones lineales en nuestras cabezas todo el tiempo sin siquiera darnos cuenta. Si, por ejemplo, compró dos CD, por el mismo precio, y un libro, y sabe que gastó £ 20 libras en total y que el libro costaba £ 6, entonces resuelve la ecuación lineal 2x + 6 = 20 para averiguar que el precio de cada CD era de £ 7.

Pero el uso de ecuaciones lineales va mucho más allá de problemas cotidianos como este.

Gráficos de computadora

Los programadores de gráficos por computadora usan lo que se llama & # 8220 álgebra lineal & # 8221. Como ejemplo simple, tome la siguiente figura. Podemos describir la ubicación de cada punto en la imagen mediante un sistema de coordenadas. Un punto tiene coordenadas (x, y) si puede llegar a él desde el punto donde los dos ejes se encuentran tomando X pasos en dirección horizontal y pasos y en dirección vertical. Ahora suponga que le gustaría rotar esa imagen en el sentido de las agujas del reloj un sexto de vuelta. Luego puede calcular que cada punto que anteriormente tenía las coordenadas (x, y) ahora se mueve a la posición con coordenadas

Las dos nuevas coordenadas tienen una forma similar a las ecuaciones lineales anteriores y es por eso que los programadores gráficos terminan teniendo que resolver muchas ecuaciones lineales.

Este es un ejemplo simple: puede imaginar que si las imágenes involucradas son mucho más complicadas, por ejemplo, tridimensionales, y si el objeto se va a mover de una manera mucho más complicada, entonces el programador debe poder manejar una gran número de ecuaciones lineales simultáneas, que involucran muchas variables.

Ciencias económicas

La economía es otra área que utiliza mucho las ecuaciones lineales. Piense, por ejemplo, en la oferta y la demanda. Su demanda de un producto, una barra de chocolate o un automóvil, dependerá del precio del producto y de cuánto gane, entre otras cosas. Si el producto es muy caro y no eres tan rico, probablemente no quieras demasiado. Si es barato, como la barra de chocolate, es posible que desee mucho (a menos que esté preocupado por sus dientes). La demanda a menudo se expresa como ecuación lineal:
D = a - bP + cI, dónde D es la demanda, PAG el precio y I Tu ingreso. Puedes ver eso D baja si PAG sube (esa es la razón del signo menos) y aumenta a medida que aumentan sus ingresos. De manera similar, la oferta se puede expresar mediante una ecuación lineal. Los economistas y otras personas del mundo financiero trabajan con este tipo de ecuaciones todo el tiempo.

El estudio de los genes

Los sistemas de ecuaciones lineales también surgen mucho en el estudio de los genes. Si quieres saber qué hace realmente un gen en particular, tienes que ver cómo influye en todos los procesos químicos de nuestro cuerpo. Hay cientos de estos que ocurren en nuestro cuerpo todo el tiempo, por ejemplo, producimos azúcares y proteínas. La forma en que funcionan estos procesos y cómo se influyen entre sí puede expresarse mediante grandes sistemas de ecuaciones lineales.

Estos son solo tres ejemplos de cómo se utilizan estas ecuaciones en el mundo real. Pero hay otra cosa muy importante sobre ellos: son las ecuaciones más simples que existen. Las ecuaciones se utilizan en muchas áreas para modelar el mundo que nos rodea. Un biólogo los utilizará para tener una idea de cómo una población de animales podría cambiar con el tiempo. Un economista o asesor financiero los utilizará para predecir la economía o los beneficios futuros de una empresa. Un ingeniero los usará para calcular las proporciones exactas de un edificio, como un puente o un rascacielos, y cuánto y qué tipo de materiales usar. En resumen, las ecuaciones son una realidad para muchas personas, y para poder trabajar con ellas es necesario comenzar con las más simples: las ecuaciones lineales.


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Acerca del libro

Este texto cubre el material estándar para un primer curso de pregrado en los EE. UU.: Sistemas lineales y el método de Gauss, espacios vectoriales, mapas y matrices lineales, determinantes y autovectores y autovalores, así como temas adicionales como introducciones a diversas aplicaciones. Tiene conjuntos de ejercicios extensos con respuestas trabajadas a todos los ejercicios, incluidas pruebas, diapositivas de proyectores para uso en el aula y un manual de laboratorio para el trabajo con computadora. El enfoque es de desarrollo. Aunque todo está probado, presenta el material con mucha motivación, muchos ejemplos computacionales y ejercicios que van desde verificaciones de rutina hasta algunos desafíos. Los materiales auxiliares están disponibles en el enlace del editor.


Ver el vídeo: Solución de ecuaciones de primer grado - lineales. Ejemplo 1 (Enero 2022).