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4.4.1: Ecuaciones autónomas de segundo orden (ejercicios) - Matemáticas


Q4.4.1

En Ejercicios 4.4.1-4.4.4 encuentre las ecuaciones de las trayectorias de la ecuación no amortiguada dada. Identifique las soluciones de equilibrio, determine si son estables o inestables y trace algunas trayectorias.

1. (y '' + y ^ 3 = 0 )

2. (y '' + y ^ 2 = 0 )

3. (y '' + y | y | = 0 )

4. (y '' + ye ^ {- y} = 0 )

Q4.4.2

En Ejercicios 4.4.5–4.4.8 encuentre las ecuaciones de las trayectorias de la ecuación no amortiguada dada. Identifique las soluciones de equilibrio, determine si son estables o inestables y encuentre las ecuaciones de las separatrices (es decir, las curvas a través de los equilibrios inestables). Grafique las separatrices y algunas trayectorias en cada una de las regiones del plano de Poincaré determinadas por ellas.

5. (y '' - y ^ 3 + 4y = 0 )

6. (y '' + y ^ 3-4y = 0 )

7. (y '' + y (y ^ 2-1) (y ^ 2-4) = 0 )

8. (y '' + y (y-2) (y-1) (y + 2) = 0 )

Q4.4.3

En Ejercicios 4.4.9–4.4.12 trazar algunas trayectorias de la ecuación dada para varios valores (positivo, negativo, cero) del parámetro a. Encuentre los equilibrios de la ecuación y clasifíquelos como estables o inestables. Explique por qué las gráficas del plano de fase correspondientes a valores positivos y negativos de a difieren tan marcadamente. ¿Puedes pensar en una razón por la cual cero merece ser llamado el valor crítico de (a )?

9. (y '' + y ^ 2-a = 0 )

10. (y '' + y ^ 3-ay = 0 )

11. (y '' - y ^ 3 + ay = 0 )

12. (y '' + y-ay ^ 3 = 0 )

Q4.4.4

En Ejercicios 4.4.13-4.4.18 Trace las trayectorias de la ecuación dada para (c = 0 ) y valores pequeños distintos de cero (positivos y negativos) de (c ) para observar los efectos del amortiguamiento.

13. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

14. (y '' + cy'-y = 0 )

15. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

16. (y '' + cy '+ y ^ 2 = 0 )

17. (y '' + cy '+ y | y | = 0 )

18. (y '' + y (y-1) + cy = 0 )

Q4.4.5

19. El ecuación de van der Pol

[y '' - mu (1-y ^ 2) y '+ y = 0, tag {A} ]

donde ( mu ) es una constante positiva y (y ) es corriente eléctrica (sección 6.3), surge en el estudio de un circuito eléctrico cuyas propiedades resistivas dependen de la corriente. El término de amortiguación (- mu (1-y ^ 2) y ') funciona para reducir (| y | ) si (| y | <1 ) o para aumentar (| y | ) si (| y |> 1 ). Se puede demostrar que la ecuación de van der Pol tiene exactamente una trayectoria cerrada, que se llama ciclo límite. Las trayectorias dentro del ciclo límite se mueven en espiral hacia afuera hacia él, mientras que las trayectorias fuera del ciclo límite se mueven hacia adentro (Figura [figura: 4.4.16}). Utilice su software de ecuaciones diferenciales favorito para verificar esto para ( mu = .5,1.1.5,2 ). Utilice una cuadrícula con (- 4

20. Ecuación de Rayleigh,

[y '' - mu (1- (y ') ^ 2/3) y' + y = 0 ]

también tiene un ciclo límite. Siga las instrucciones de Ejercicio 4.4.19 para esta ecuación.

21. En relación con la ecuación 4.4.16, suponga (y (0) = 0 ) y (y '(0) = v_0 ), donde (0

  1. Sea (T_1 ) el tiempo necesario para que (y ) aumente de cero a (y _ { max} = 2 sin ^ {- 1} (v_0 / v_c) ). Muestre que [{dy over dt} = sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2}, quad 0 le t
  2. Separe las variables en (A) y muestre que [T_1 = int_0 ^ {y _ { max}} {du over sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2u / 2}} tag {B} ]
  3. Sustituye ( sin u / 2 = (v_0 / v_c) sin theta ) en (B) para obtener [T_1 = 2 int_0 ^ { pi / 2} {d theta over sqrt {v_c ^ 2-v_0 ^ 2 sin ^ 2 theta}}. etiqueta {C} ]
  4. Concluya de la simetría que el tiempo requerido para que ((y (t), v (t)) ) recorra la trayectoria [v ^ 2 = v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2 ] es (T = 4T_1 ), y que consecuentemente (y (t + T) = y (t) ) y (v (t + T) = v (t) ); es decir, la oscilación es periódica con período (T ).
  5. Muestre que si (v_0 = v_c ), la integral en (C) es impropia y diverge a ( infty ). Concluya de esto que (y (t) < pi ) para todo (t ) y ( lim_ {t to infty} y (t) = pi ).

22. Dé una definición directa de un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).

23. Sea (p ) continuo para todo (y ) y (p (0) = 0 ). Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) si (0

[ alpha (r) = min left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right } mbox { quad y quad} beta (r) = max left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right }. ]

Sea (y ) la solución del problema del valor inicial

[y '' + p (y) = 0, quad y (0) = v_0, quad y '(0) = v_0, ]

y defina (c (y_0, v_0) = v_0 ^ 2 + 2 int_0 ^ {y_0} p (x) , dx ).

  1. Muestre que [0
  2. Muestre que [v ^ 2 + 2 int_0 ^ y p (x) , dx = c (y_0, v_0), quad t> 0. ]
  3. Concluya de (b) que si (c (y_0, v_0) <2 alpha (r) ) entonces (| y | 0 ).
  4. Dado ( epsilon> 0 ), se elige ( delta> 0 ) de modo que [ delta ^ 2 + 2 beta ( delta) < max left { epsilon ^ 2/2 , 2 alpha ( epsilon / sqrt2) right }. ] Demuestre que si ( sqrt {y_0 ^ 2 + v_0 ^ 2} < delta ) entonces ( sqrt {y ^ 2 + v ^ 2} < epsilon ) para (t> 0 ), lo que implica que ( overline y = 0 ) es un equilibrio estable de (y '' + p (y) = 0 ).
  5. Ahora sea (p ) continuo para todo (y ) y (p ( overline y) = 0 ), donde ( overline y ) no es necesariamente cero. Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) si ( overline y

24. Sea (p ) continuo para todo (y ).

  1. Suponga (p (0) = 0 ) y hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) si (0 0 ). Concluya que ( overline y = 0 ) es un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).
  2. Ahora sea (p ( overline y) = 0 ), donde ( overline y ) no es necesariamente cero. Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) si ( overline y
  3. Modifica tus pruebas de (a) y (b) para mostrar que si hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) if ( overline y- rho le y < overline y ), entonces ( overline y ) es un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).

Ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden

Introduzca v = dR / dt. Entonces la ecuación diferencial es
v dv / dR = W ^ 2 R.

Integrar una vez da
v ^ 2 - v0^ 2 = W ^ 2 R ^ 2 - W ^ 2 R0^2
Donde he asumido v (t = 0) = v0 y R (t = 0) = R0.

un arreglo rápido
v = +/- raíz cuadrada (v0^ 2 - W ^ 2 R0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

y así dR / dt = +/- sqrt (v0^ 2 - W ^ 2 R0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

Esta es una EDO de primer orden separable

definir un tal que W ^ 2 a ^ 2 = v0^ 2 - W ^ 2 R0^2

Luego
dR / dt = +/- sqrt (W ^ 2 a ^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

El lado derecho es +/- Wt.
Para integrar el lado izquierdo Ponga R = a * sinh (x) de modo que
dR = a cosh (x) dx entonces
sqrt (a ^ 2 + R ^ 2) = sqrt (a ^ 2 + a ^ 2 sinh ^ 2 (x)) = a sqrt (1 + sinh (x) ^ 2)
= una raíz cuadrada (cosh ^ 2 (x)) = a * cosh (x).

Este dR / sqrt (a ^ 2 + R ^ 2) - & gt dx
La integral es entonces

arcsinh (R / a) - arcsinh (R0 / a) = +/- Peso
y por lo tanto

R = a senh (+/- Wt + arcsinh (R0 / a))
y a = sqrt (V0^ 2 / W ^ 2 - R0^2).

Conectando esto y comprobando nos muestra que el
- el signo da la v (0) = - v0


Math 2552: Ecuaciones diferenciales - Otoño 2018 Sec T

Haga clic aquí para ver el plan de estudios, donde puede encontrar el esquema de calificaciones y la política de la clase.

Horarios de atención y recitaciones

Sección de recitación TA Nombre y correo electrónico Horas de oficina de TA
T1 MW 4: 30-5: 20pm Skiles 170 Alexander Winkles
awinkles3 EN gatech.edu
Jueves 11: 15-12: 15
Clough 280 (MathLab)
T2 MW 4: 30-5: 20pm Skiles 255 Tao Yu
tyu70 EN gatech.edu
Jueves 3-4
Clough 280 (MathLab)
T3 MW 4: 30-5: 20pm Habilidades 257 Renyi Chen
rchen342 EN gatech.edu
Jueves 1: 45-2: 45pm
Clough 280 (MathLab)

Donde conseguir ayuda

  • Mi horario de atención y el horario de atención de su asistente técnico: consulte más arriba. : Servicio gratuito proporcionado por la Escuela de Matemáticas: Servicio gratuito de GT. Líder PLUS: Samantha Bordy, sbordy3 en gatech.edu. Hora y lugar de la sesión: Martes y jueves de 6 a 7 pm en CULC 262.
  • Piazza (foro de discusión en línea): He creado una página de clase en Piazza.com, que proporciona un foro en línea gratuito para debates relacionados con el curso. El sistema está altamente diseñado para obtener su ayuda de manera rápida y eficiente de los compañeros de clase, los profesores asistentes y yo mismo. En lugar de enviar preguntas por correo electrónico al personal docente, le animo a que publique sus preguntas en Piazza si sus preguntas no tienen nada que ver con su privacidad. Puedes publicar en Piazza de forma anónima si eso te hace sentir más cómodo. Todos en la clase deben sentirse absolutamente libres de hacer preguntas, discutir, ayudar, comentar, explorar e intercambiar ideas sobre Piazza. Puede encontrar nuestra página de clases de Piazza en: http://piazza.com/gatech/fall2018/math2552yaoyao.

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Nuestro examen final será el Martes (11/12) 2: 40-5: 30pm, a Boggs B9. Es libro cerrado, notas cerradas y no se permiten calculadoras. Se le permite traer una hoja de trucos de tamaño carta de doble cara (8.5 por 11 pulgadas), que debe estar escrita a mano por usted mismo. (No se permite una hoja de referencia impresa o fotocopiada).
Mi horario de oficina en esta y la próxima semana será: miércoles (5/12) 3-4pm, viernes (7/12) 2-3pm, lunes (10/12) 11 am-12pm.


Ecuaciones diferenciales elementales

Oficina: ACD 114A
Teléfono: (860) 405-9294
Horario de atención: TTh 9:30 - 10:30 am. y con cita previa
Política de puertas abiertas: puede pasar para hablar sobre cualquier aspecto del curso, en cualquier momento, los días que estoy en el campus: martes, jueves y viernes.

MATH 2410 cubre material principalmente de los capítulos 1-5 del libro de texto.


Horario / lugar de reunión de la clase: martes, jueves 2:00 - 3:15 p.m. Aula ACD 206.

Todas las clases comienzan en ACD 206.

Ecuaciones diferenciales elementales de William F. Trench.

Es un libro de texto de código abierto disponible gratis en línea aquí.

La tarea se asigna a cada clase y se recolecta todos los jueves. Se devuelven el martes siguiente con comentarios y se califican. El peso total de las calificaciones de las tareas es 50 puntos del total de 500 puntos del curso.

Horario del examen: Examen 1: martes 9 de febrero & nbsp 2:00 - 3:15 p.m., Salón: ACD 206
Examen 2: jueves 9 de marzo & nbsp 2:00 - 3:15 p.m., Salón: ACD 206
Examen 3: martes 11 de abril & nbsp 2:00 - 3:15 p.m., Salón: ACD 206
Examen final: martes 2 de mayo, 1:30 - 3:30 p.m., Sala: ACD 206

Política de calificación: Tarea: 50, Examen 1: 100, Examen 2: 100, Examen 3: 100, Examen final: 150.



Fecha Capítulo Tema Tarea
Semana 1 Mar. 17/1 1.1 Aplicaciones que conducen a ecuaciones diferenciales

Jue. 19/1 1.2 Conceptos básicos Ch. 1.2: Ejercicios 1, 2, 4 (a-d), 5, 7, 9





Semana 2 Mar. 24/1 1.3 Campos de dirección para EDO de primer orden Ch. 1.3: Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14, 15

Jue. 26/1 2.1 Ecuaciones lineales de primer orden Ch. 2.1 Ejercicios: 4,5,6,9,16,18,20,21





Semana 3 Mar. 1/31 2.2 Ecuaciones separables Ch. 2.2 Ejercicios: 1,3,4,6,11,12,17,18

Jue. 2/2 2.3 Existencia y singularidad de soluciones Ch. 2.3 Ejercicios: 1,2,3,4,14,16,17,20





Semana 4 Mar. 2/7
Examen de práctica 1
Examen de práctica 1. Soluciones


Jue. 2/9
¡Dia de nieve!





Semana 5 Mar. 14/02
Examen 1

Jue. 2/16 3.1 Método de Euler. Ch. 3.1 Ejercicios: 1,4,6,14





Semana 6 Mar. 21/2 4.1 Crecimiento y decadencia Ch. 4.1 Ejercicios: 2,3,5,11

Jue. 2/23 4.2-4.3 Refrigeración, mezcla y mecánica elemental Ch. 4.2 Ejercicios: 2,3,5,12
Ch. 4.3 Ejercicios: 4,10





Semana 7 Mar. 2/28 4.4 Ecuaciones autónomas de segundo orden Ch. 4.4 Ejercicios:

Jue. 3/2 4.5 Aplicaciones a curvas Ch. 4.5 Ejercicios:





Semana 8 Mar. 3/7
Revisar. Examen de práctica 2
Examen de práctica 2. Soluciones


Jue. 3/9
Examen 2





Semana 9 Mar. 14/3
Receso de primavera

Jue. 3/16
Receso de primavera





Semana 10 Mar. 21/3 5.1 Ecuaciones lineales homogéneas Ch. 5.1 Ejercicios:

Jue. 3/23 5.2 Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante Ch. 5.2 Ejercicios:





Semana 11 Mar. 28/3 5.3 Ecuaciones lineales no homogéneas Ch. 5.3 Ejercicios:

Jue. 30/3 5.4 El método de coeficientes indeterminados 1 Ch. 5.4 Ejercicios:





Semana 12 Mar. 4/4 5.5 El método de coeficientes indeterminados 2 Ch. 5.5 Tarea 4
Semana 12 Jue. 4/6 6.1-6.2 Problemas de primavera Ch. 6.1





Semana 12 Mar. 4/11
Revisar. Examen de práctica 3
Examen de práctica 3. Soluciones


Jue. 13/4
Examen 3





Semana 14 Mar. 18/4 8.1-8.2 Transformadas de Laplace. Transformaciones inversas Ch. 8.1-8.2 Tarea 5
Jue. 20/4 8.3-8.4 Soluciones al problema del valor inicial Ch. 8.3 Ejercicios:
Ch. 8.4 Ejercicios:





Semana 15 Mar. 25/4 8.5 Ecuaciones de coeficiente constante con funciones de forzamiento continuo por partes Ch. 8.5 Ejercicios:
Jue. 27/4
Revisar. Examen final de práctica
Práctica del examen final. Soluciones






Semana 16 Mar. 5/2
Examen final, 1:30 p.m.-3: 30 p.m.

Esta página es mantenida por Dmitriy Leykekhman
Última modificación: 27/4/2017


Esto es linealizable por oda de diferenciación.

Como has visto, aplicado así esta sustitución solo aumenta el número de variables. Obtienes un patrón homogéneo similar a una ecuación de Euler-Cauchy al multiplicar la ecuación original por $ x ^ 2 $, begin 0 & amp = 3 (x ^ 2y '') ^ 2-2 (3xy '+ y) (x ^ 2y' ') + 4 (xy') ^ 2 end Ahora se puede hacer esto autónomo tomando prestada la sustitución $ u (t) = y (e ^ t) $ de la ecuación de Cauchy-Euler, $ u '(t) = e ^ ty' (e ^ t) = xy '( x) $, $ u '' (t) = e ^ <2t> y '' (t) + e ^ ty '(e ^ t) = x ^ 2y' '(x) + u' (t) $ comenzar 0 & amp = 3 (u '' (t) -u '(t)) ^ 2-2 (3u' (t) + u (t)) (u '' (t) -u '(t)) + 4u' (t) ^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-6u''u '+ 3u' ^ 2-6u''u '+ 6u' ^ 2-2u''u + 2u'u + 4u '^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-12u''u '+ 13u' ^ 2-2u''u + 2u'u end Como es autónomo, se podría insertar $ u '= v (u) $, $ u' '= v' (u) v (u) $. Pero incluso eso no parece útil.

La expresión se puede reescribir como:

$ 3x ^ 2 (y '') ^ 2-6 x y'y '' - 2yy '' + 4 (y ') ^ 2 = 0. $

Hacemos una observación de la siguiente manera. Suponga que $ y '' neq 0 $ para todos $ x $ en el dominio apropiado. La ecuación anterior se simplifica a:

Esto implica que podemos adivinar que una posible solución podría tomar la forma de un polinomio simple $ y (x) = C_0 + C_1 x + C_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 ldots $ (Esto se debe al hecho de que la derivada de un polinomio es siempre un grado menor que el del polinomio original).

Recuerde que hemos adivinado que $ y '' neq 0 $ para todos los $ x $. Por tanto, esto inspira que supongamos $ y '' = D $ para unos $ D $ constantes. La & quot; conjetura & quot; equivalente para la solución sería

Con eso, sustituya nuestra suposición en la ecuación principal para obtener:

$ 3x ^ 2 (2C) ^ 2-6 x (B + 2Cx) (2C) = 2 (A + Bx + Cx ^ 2) (2C) - 4 (B + 2Cx) ^ 2. $

Sorprendentemente, obtenemos que el coeficiente de $ x ^ 2 $ y $ x $ es $. Por tanto, la ecuación se reduce a

Recuerde que somos libres de elegir los valores de $ A, B $ y $ C $, siempre que satisfagan la restricción que acabamos de derivar. En particular, si ha intentado resolver la ecuación utilizando WolframAlpha, la solución sugerida viene dada por:

$ y [x] rightarrow x c_1 + x ^ 2 frac + c_2. $

Dado que $ A = c_2, B = c_1, C = frac$, de hecho tenemos $ B ^ 2 = AC $. La parametrización de la solución de WolframAlpha es solo una parametrización particular para $ B ^ 2 = AC $.


Complete los conjuntos de problemas:

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4.4.1: Ecuaciones autónomas de segundo orden (ejercicios) - Matemáticas

La sección 2.1 presenta la terminología y las ideas a través de un ejemplo de depredador-presa natural. En las Secciones 2.2 y 2.3, se presentan las nociones de sistemas autónomos, campos vectoriales, campos de dirección, planos de fase, soluciones y puntos de equilibrio. Estas secciones están estrechamente relacionadas y se pueden considerar como una sección larga que requiere un par de clases para cubrir. Las ecuaciones lineales, homogéneas, de coeficiente constante, de segundo orden (osciladores armónicos) se presentan y relacionan con los sistemas en la Sección 2.4. El método de Euler para sistemas de primer orden y ecuaciones de segundo orden se cubre en la Sección 2.5, y en la Sección 2.6 discutimos métodos cualitativos para dibujar planos de fase. La sección 2.7 comienza la discusión cualitativa del sistema de Lorenz como una introducción a los sistemas tridimensionales.

La disponibilidad de algún tipo de tecnología que los estudiantes puedan usar para dibujar campos vectoriales, campos de dirección y planos de fase es esencial. Para comenzar a tener una idea de qué imágenes esperar, los estudiantes deben ver muchos ejemplos dibujados con precisión. El software está disponible en varias fuentes (consulte nuestra página web para obtener información más específica).

2.1 El modelo depredador-presa

Utilizando el análisis de un único modelo depredador-presa, en esta sección se presentan las ideas básicas de los sistemas de primer orden. Nuestro objetivo es introducir la relación entre varias representaciones gráficas del sistema, sus soluciones y la interpretación de las soluciones en términos del modelo. Las representaciones gráficas incluyen el plano de fase, los gráficos de las funciones componentes de las soluciones, el campo vectorial y el campo de dirección.

La transición a los sistemas es natural para los estudiantes. Algunos consideran difícil relacionar la solución en el plano de fase con los gráficos de los componentes, pero generalmente se domina después de un esfuerzo suficiente.

Algunos instructores sienten que se presenta demasiado material nuevo en esta sección. Sin embargo, repetimos las ideas básicas en un contexto más general en las Secciones 2.2 y 2.3, y cubrimos la Sección 2.1 rápidamente. Nos gusta usar el material de la Sección 2.1 como un ejemplo continuo para las definiciones más formales en las siguientes dos secciones.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 y 15 involucran la interpretación de los parámetros en un sistema, mientras que los ejercicios 9 a 14 involucran la interpretación de las ecuaciones.

Los ejercicios 2 a 6 requieren un análisis de un sistema depredador-presa similar al realizado en la sección.

Los ejercicios 7, 8, 16 y 17 dan práctica para pasar del plano de fase a las gráficas de funciones componentes y en la interpretación de soluciones. El ejercicio 17 es particularmente bueno para asignar un ensayo. (Este fenómeno de depredador-presa realmente ocurre).

En los Ejercicios 9 a 14 y 18, se realizan modificaciones a un modelo de presa depredadora. Esto es más fácil que desarrollar modelos desde cero, pero sigue siendo un desafío. En el ejercicio 18, hay más de una respuesta razonable.

En los ejercicios 19 a 24, se desarrollan modelos para concentraciones de reactivos en reacciones químicas simples. Estos modelos reaparecen en secciones posteriores (sección 2.3, ejercicios 22 a 26 y sección 2.6, ejercicios 14 a 18).

2.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales

Esta sección establece la notación y la terminología de los sistemas. Los vectores se introducen junto con muchos adjetivos para describir sistemas. También se analizan los campos vectoriales, los campos de dirección y los puntos de equilibrio.

Uno de los objetivos principales de la sección es desarrollar una comprensión de qué son las condiciones y soluciones iniciales y cómo verificar (mediante la sustitución en el sistema) que una función determinada con valores vectoriales es una solución. Una vez que los estudiantes dominan la capacidad de verificar las soluciones de los sistemas (y que llegan a pensar en la idea como algo natural), han alcanzado un importante avance en su comprensión de los sistemas.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 a 8 se refieren al vocabulario de sistemas. En los Ejercicios 36 y 37, se explora la relación entre los sistemas de los Ejercicios 5 y 7 y los sistemas de los Ejercicios 6 y 8 (respectivamente).

Los ejercicios 9-16 y 21-27 implican comprobar que las funciones dadas son soluciones de un sistema dado. Esta tarea es sencilla pero extremadamente necesaria.

En los ejercicios 17 a 20, los campos de dirección se relacionan con los sistemas. Este tipo de ejercicio es menos tedioso que dibujar los campos de dirección a mano. Si se requieren ensayos para justificar por qué un sistema dado corresponde a un campo de dirección particular, los estudiantes deben examinar los campos de cerca.

Los ejercicios 28 a 35 piden puntos de equilibrio y bosquejos de campos de dirección para sistemas dados. Estos sistemas reaparecen en la Sección 2.3, Ejercicios 1-8, donde también se solicita el plano de fase.

2.3 Representación gráfica de soluciones de sistemas

En esta sección, analizamos los distintos gráficos de soluciones de sistemas y cómo se pueden generar esquemas de estos gráficos a partir del campo de dirección. La relación entre una curva solución en el plano de fase y las gráficas de las funciones componentes es difícil al principio, pero finalmente la mayoría de los estudiantes la dominan. Es importante que los estudiantes se den cuenta de que ambos tipos de gráficos son necesarios porque ninguno de los gráficos por sí solo contiene toda la información sobre una solución. Una buena analogía es tratar de entender a un furtivo desde sus sombras (ver Figura 2.26).

Se dan algunos ejemplos para los cuales se pueden encontrar fórmulas para soluciones, y se introduce brevemente la idea de la solución general de un sistema. Además, se enuncia brevemente el teorema de existencia-unicidad para el sistema. Al igual que con las ecuaciones de primer orden, es la mitad de unicidad del teorema la que se enfatiza, ya que es la más útil para dibujar planos de fase de sistemas autónomos.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 a 8 piden un análisis detallado de los complicados sistemas dados. Los puntos de equilibrio se pueden encontrar a mano. Idealmente, la tecnología debe usarse para dibujar los campos de dirección, luego los estudiantes deben dibujar las curvas de solución en la parte superior de estos campos.

Los sistemas de los ejercicios 9 a 12 se pueden resolver explícitamente porque los sistemas se desacoplan. Estos ejercicios son una buena revisión de las ecuaciones lineales y separables, como se discutió en el Capítulo 1.

Los sistemas de los ejercicios 13 a 16 pueden resolverse explícitamente para la condición inicial dada debido a alguna geometría especial del sistema. Estos también dan una buena revisión de ecuaciones lineales y separables y son bastante difíciles.

Los ejercicios 17 a 21 se refieren a un modelo de carrera armamentista. Se debe fomentar el uso de tecnología para dibujar campos de dirección y planos de fase, por ejemplo, para aproximar las coordenadas de los puntos de equilibrio.

Los ejercicios 22 a 26 inician el análisis de los modelos de reacción química presentados en el conjunto de ejercicios de la sección 2.1. Estos modelos reaparecen en la Sección 2.6, Ejercicios 14-18.

Los ejercicios 27 a 31 se refieren al teorema de unicidad para sistemas.

El ejercicio 32 da un ejemplo de una solución que no está definida para todos los números reales.

2.4 Ecuaciones de segundo orden y el oscilador armónico

En esta sección, derivamos la ecuación de segundo orden para el movimiento de un oscilador armónico usando las leyes de Newton y Hooke. Esta ecuación de segundo orden se convierte luego en un sistema de primer orden y analizamos ejemplos usando el campo vectorial. Presentamos técnicas de solución en detalle en el Capítulo 3.

Relacionamos la descripción cualitativa de soluciones con lo que es físicamente razonable para el oscilador armónico masa-resorte. Este enfoque es importante y peligroso. Los estudiantes a veces piensan que el argumento físico textit el análisis del sistema en lugar de simplemente una verificación de los resultados del análisis matemático.

Elegimos no incluir el método estándar de `` adivinar y probar '' para resolver la ecuación del oscilador armónico en este punto por varias razones. Primero, deseamos mantener el énfasis en el análisis cualitativo de soluciones. En segundo lugar, dado que no hemos discutido la importancia de la linealidad, es difícil hacer mucho con la conjetura y prueba en este momento. Volvemos a esta discusión en la Sección 3.1 después de discutir el Principio de Linealidad.

Ciertamente es posible saltar directamente al Capítulo 3 en este punto, pero preferimos cubrir el material (con la posible excepción de la Sección 2.7) en el orden dado para mantener el equilibrio entre los enfoques analítico, numérico y cualitativo.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 a 4 implican la conversión de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto orden en sistemas de primer orden.

Los ejercicios 5 a 7 derivan las ecuaciones para un resorte colgante con la gravedad como fuerza adicional.

Los ejercicios 8-11 preguntan por el campo de dirección y el comportamiento cualitativo de las soluciones para el oscilador armónico con coeficientes dados. Fomentamos el uso de tecnología en estos ejercicios.

Los ejercicios 12 a 14 son similares a los ejercicios 5 a 7. Se considera un sistema que involucra dos resortes opuestos.

El ejercicio 15 solicita el modelo de resortes duros y blandos (ver también el laboratorio 4.1).

Los ejercicios 16 a 20 se refieren a un modelo de puente colgante flexible. Este modelo se trata en detalle en la Sección 5.4, y estos problemas son bastante desafiantes en este punto del curso.

2.5 Método de Euler para sistemas autónomos

El enfoque del método de Euler se mantiene lo más simple y geométrico posible. Nuevamente, el punto más difícil es la relación entre los gráficos. Por ejemplo, las soluciones cercanas a un punto de equilibrio se mueven lentamente (los vectores en el campo vectorial son pequeños), por lo que la aproximación de Euler en el plano de fase se compone de pequeños pasos.

En esta sección se presenta el ejemplo de un edificio que se balancea porque la información cuantitativa determina qué modelo es más apropiado.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 a 6 implican calcular las soluciones del método de Euler con tamaños de paso bastante grandes y comparar los resultados con el campo de dirección y / o las soluciones reales. Los cálculos son tediosos pero manejables si se hacen a mano.

Los ejercicios 7 a 11 se refieren al modelo de construcción oscilante. Se seleccionará uno de los dos modelos comparándolo con datos numéricos dados. El ejercicio 11 pregunta qué experimento se debe realizar para distinguir entre los dos sistemas.

2.6 Análisis cualitativo

En esta sección usamos el campo de dirección, junto con algunos números cuando es necesario, para estudiar el comportamiento a largo plazo de soluciones de sistemas no lineales. La única técnica nueva introducida es la ubicación de nulas en el plano de fase. Desafortunadamente, muchos estudiantes están confundidos inicialmente acerca de la diferencia entre las curvas nulas y las curvas solución.

El análisis geométrico de este tipo es particularmente difícil para los estudiantes porque implica muchos pasos y muchas ideas y técnicas diferentes. (Siguen esperando que les dé la solución mágica para comprender los sistemas y se muestran escépticos cuando les dice que no los hay). Los proyectos extendidos son particularmente útiles para que los estudiantes se den cuenta de que no hay una plantilla que lleve a completar una fase. avión.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

En los ejercicios 1 a 6, 10 a 13 y 14 a 18, se solicita un análisis cualitativo del sistema dado. Este análisis debe ir más allá de lo que un estudiante puede imprimir con un buen solucionador numérico. Los ejercicios 14-18 se relacionan con los sistemas de reacción química de la sección 2.1 (ejercicios 19-24) y la sección 2.3 (ejercicios 22-26).

El ejercicio 7 es un problema bastante difícil de geometría de soluciones en el plano de fase.

Los ejercicios 8 y 9 se refieren a los modelos generales de Volterra-Lotka de un par de especies.

Los ejercicios 19 a 21 estudian un sillín no lineal.

2.7 Las ecuaciones de Lorenz

Introducimos el sistema de Lorenz aquí principalmente porque es posible hacerlo. Casi ninguno de nuestros estudiantes ha visto matemáticas modernas (es decir, posteriores a 1800). y se sorprenden al saber que hay preguntas sin respuesta y que hay una investigación activa en matemáticas. En este punto, solo podemos describir el sistema de Lorenz y mostrar algunas soluciones numéricas. En consecuencia, esto es algo así como una sección de "golly-gee-whiz". Los sistemas lineales tridimensionales se discuten en la Sección 3.7 y el sistema de Lorenz se estudia más detenidamente en las Secciones 4.4 y 6.4.

Si cubre esta sección, le recomendamos que mencione el libro de James Gleick "Chaos". También se han producido varios videos interesantes. Por lo general, ilustran mejor las curvas de la solución que nosotros con nuestros solucionadores.

Comentarios sobre ejercicios seleccionados

Los ejercicios 1 a 5 cubren detalles del sistema de Lorenz que pueden verificarse fácilmente a mano.

El ejercicio 6 requiere algunos números bastante sofisticados para comparar soluciones del sistema de Lorenz.

Todos estos laboratorios requieren tecnología capaz de esbozar soluciones en el plano de fase. La capacidad de dibujar gráficos de las funciones de coordenadas también es muy útil.

Laboratorio 2.1: Modelos de población de especies cooperativos y competitivos

Esta práctica de laboratorio puede iniciarse tan pronto como se trate la Sección 2.1. Puede ser una exploración puramente informática o, si se ha cubierto la sección 2.6, puede incluir un análisis cualitativo más cuidadoso. Se debe prestar especial atención a la interpretación de las soluciones en términos físicos.

Laboratorio 2.2: El oscilador armónico con amortiguación modificada

La Sección 2.4 debe estar cubierta antes de que se pueda asignar este laboratorio. La primera parte se refiere al oscilador armónico. Por lo tanto, esa parte del laboratorio debe estar completa antes de profundizar en el Capítulo 3.

Laboratorio 2.3: Modelos de construcción oscilantes

Este laboratorio requiere un solucionador que produzca datos numéricos (en lugar de solo gráficos). Se puede hacer con una calculadora programable.


Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en haces de chorros y el problema inverso del cálculo de variaciones

O. Krupková, G.E. Prince, en Handbook of Global Analysis, 2008

6.1 Historia y escenario del problema

El problema inverso para las ecuaciones de segundo orden en forma normal tiene una historia y un estado actual bastante diferentes al problema en forma covariante como se discutió en la sección 3.2 y en otras partes de la sección 3. Esto se debe esencialmente a que en el caso covariante preguntamos si el sistema tal como está es variacional y en el caso contravariante tenemos que buscar una forma covariante variacional. Por tanto, el problema inverso de las semiprayecciones implica decidir si las soluciones de un sistema dado de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (49), a saber

son las soluciones de un conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange

para alguna función lagrangiana L (t, x b, x ˙ b).

Debido a que las ecuaciones de Euler-Lagrange generalmente no están en forma normal, el problema es encontrar la llamada matriz multiplicadora (no degenerada) g a b (t, x c, x ˙ c) tal que

Como en las secciones anteriores usamos la notación gramoab para enfatizar que los multiplicadores que consideramos son regulares (no degenerados).

El conjunto de condiciones necesarias y suficientes más comúnmente utilizado para la existencia del gramoab son las llamadas condiciones de Helmholtz debidas a Douglas [30] y que Sarlet las puso en la siguiente forma [118]:

donde hemos reemplazado X por tu y utilizamos todas nuestras notaciones hasta la fecha.

Estas condiciones algebraico-diferenciales requieren en última instancia la aplicación de una teoría de la integrabilidad para determinar la existencia y unicidad de sus soluciones. Hasta la fecha, las teorías de integrabilidad que se han utilizado están asociadas con los nombres de Riquier-Janet, Cartan-Kähler y Spencer. De estos, describiremos sólo el uso del teorema de Cartan-Kähler en su manifestación de sistemas diferenciales exteriores (en la sección 6.3).

Antes de continuar con la descripción y el análisis matemático, proporcionamos al lector una perspectiva histórica de este problema inverso local para las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

Helmholtz [47] primero discutió si los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden son de Euler-Lagrange para un Lagrangiano de primer orden (es decir, uno que depende de las velocidades pero no de las aceleraciones) en la forma presentada (el problema covariante inverso), y encontró las condiciones necesarias para que esto sea cierto. Mayer [99] demostró más tarde que las condiciones también son suficientes.

Sin embargo, en 1886, un año antes de que Helmholtz publicara su célebre resultado, en un artículo que, lamentablemente, permaneció desconocido durante años, Sonin [133] descubrió que uno sode

siempre se puede poner en forma de una ecuación de Euler-Lagrange multiplicando X - F por una función adecuada gramo ≠ 0. También caracterizó la multiplicidad de la solución, es decir, proporcionó una descripción de todos los lagrangianos para (63). Ahora, el resultado de Sonin & # x27 se puede demostrar fácilmente usando las condiciones de Helmholtz, que para una ecuación (63) se reduce a una única ecuación diferencial parcial para la función desconocida g (t, x, x ˙):

Ya que gramo ≠ 0, esta ecuación toma la forma

que es bien sabido que su solución general depende de una única función arbitraria de dos soluciones específicas de la ecuación homogénea correspondiente. En consecuencia, el lagrangiano más general para (63) depende de una función arbitraria de dos parámetros.

Posteriormente, Hirsch [50] formuló independientemente, y en un marco más general, el problema del multiplicador, es decir, la cuestión de la existencia de funciones multiplicadoras que convierten un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en forma normal en ecuaciones de Euler-Lagrange. Sorprendentemente, resultó que no es necesario que exista una solución al problema del multiplicador si hay más de una ecuación. Hirsch gave certain self-adjointness conditions for the problem but they are not effective in classifying second order equations according to the existence and uniqueness of the corresponding multipliers.

This multiplier problem was completely solved by Douglas in 1941 [30] for two degrees of freedom, that is, a pair of second order equations on the plane. He produced an exhaustive classification of all such equations in normal form. In each case Douglas identified all (if any) Lagrangians producing Euler-Lagrange equations whose normal form is that of the equations in that particular case. His method avoided Hirsch's self-adjointness conditions and he produced his own necessary and sufficient algebraic-differential conditions. His approach was to generate a sequence of integrability conditions, solving these using Riquier-Janet theory. While this approach is singularly effective and forms the basis of current efforts, it has been particularly difficult to see how to cast it into a form suitable for higher dimensions.

Interest from the physics community in the non-uniqueness aspects of the inverse problem provided the next contribution to solving the Helmholtz conditions. Henneaux [48] and Henneaux and Shepley [49] developed an algorithm for solving the Helmholtz conditions for any given system of second order equations. In particular, they solved the problem for spherically symmetric problems in dimension 3. In this fundamental case Henneaux and Shepley showed that a two-parameter family of Lagrangians produce the same equations of motion. Startlingly these Lagrangians produced inequivalent quantum mechanical hydrogen atoms. Further mathematical aspects of this case were elaborated by Crampin and Prince [ 17 , 19 ].)

At around the same time Sarlet [118] showed that the part of the Helmholtz conditions which ensures the correct time evolution of the multiplier matrix could be replaced by a possibly infinite sequence of purely algebraic initial conditions. Along with the work of Henneaux this provided a prototype for geometrising Douglas's Helmholtz conditions.

Over the next 10 years or so Cantrijn, CariñTena, Crampin, Ibort, Marmo, Prince, Sarlet, Saunders and Thompson explored the tangent bundle geometry of second order ordinary differential equations in general and the Euler-Lagrange equations in particular. The inverse problem provided central inspiration for their examination of the integrability theorems of classical mechanics, multi-Lagrangian systems, geodesic first integrals and equations with symmetry. Using the geometrical approach to second order equations of Klein and Grifone [ 41 , 42 , 56 , 57 ], the Helmholtz conditions for non-autonomous second order equations on a manifold were reformulated in terms of the corresponding non-linear connection on its tangent bundle (see section 5.1 ). This occurred in 1985 after a sequence of papers [ 15 , 21 , 118 ]. The work of Sarlet [121] , and collectively Martínez, Carinena and Sarlet [95, 96, 97] on derivations along the tangent bundle projection (see section 5.2 ) opened the way to the geometrical reformulation of Douglas's solution of the two-degree of freedom case. This was achieved in 1993 by Crampin, Sarlet, Martínez, Byrnes and Prince and is reported in [23] . A number of dimension norte classes were subsequently solved ([ 124 , 123 , 20 ]). The reader is directed to the review by Prince [110] for more details of this program up to the turn of the current century.

Separately Anderson and Thompson [7] applied exterior differential systems theory to some special cases of the geometrised problem with considerable success. In order to pursue the EDS approach Aldridge [1] used the Massa and Pagani connection of section 5.3 and recovered all the dimension norte results to date along with an overall classification scheme for this general case. It appears that the inverse problem still holds many accessible secrets.


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

In the introduction to this section we briefly discussed how a system of differential equations can arise from a population problem in which we keep track of the population of both the prey and the predator. It makes sense that the number of prey present will affect the number of the predator present. Likewise, the number of predator present will affect the number of prey present. Therefore the differential equation that governs the population of either the prey or the predator should in some way depend on the population of the other. This will lead to two differential equations that must be solved simultaneously in order to determine the population of the prey and the predator.

The whole point of this is to notice that systems of differential equations can arise quite easily from naturally occurring situations. Developing an effective predator-prey system of differential equations is not the subject of this chapter. However, systems can arise from (n^< ext>) order linear differential equations as well. Before we get into this however, let’s write down a system and get some terminology out of the way.

We are going to be looking at first order, linear systems of differential equations. These terms mean the same thing that they have meant up to this point. The largest derivative anywhere in the system will be a first derivative and all unknown functions and their derivatives will only occur to the first power and will not be multiplied by other unknown functions. Here is an example of a system of first order, linear differential equations.

We call this kind of system a coupled system since knowledge of (x_<2>) is required in order to find (x_<1>) and likewise knowledge of (x_<1>) is required to find (x_<2>). We will worry about how to go about solving these later. At this point we are only interested in becoming familiar with some of the basics of systems.

Now, as mentioned earlier, we can write an (n^< ext>) order linear differential equation as a system. Let’s see how that can be done.

We can write higher order differential equations as a system with a very simple change of variable. We’ll start by defining the following two new functions.

[eginleft( t ight) & = yleft( t ight) left( t ight) & = y'left( t ight)end]

Now notice that if we differentiate both sides of these we get,

Note the use of the differential equation in the second equation. We can also convert the initial conditions over to the new functions.

[eginleft( 3 ight) & = yleft( 3 ight) = 6 left( 3 ight) & = y'left( 3 ight) = - 1end]

Putting all of this together gives the following system of differential equations.

We will call the system in the above example an Initial Value Problem just as we did for differential equations with initial conditions.

Veamos otro ejemplo.

Just as we did in the last example we’ll need to define some new functions. This time we’ll need 4 new functions.

[egin & = y & Rightarrow hspace<0.25in><_1> & = y' = \ & = y' & Rightarrow hspace<0.25in><_2> & = y'' = \ & = y'' & Rightarrow hspace<0.25in><_3> & = y''' = \ & = y''' & Rightarrow hspace<0.25in><_4>& = > = - 8y + sin left( t ight)y' - 3y'' + = - 8 + sin left( t ight) - 3 + end]

The system along with the initial conditions is then,

[egin<_1> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 1 <_2> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 2 <_3> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 3 <_4> & = - 8 + sin left( t ight) - 3 + & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 4end]

Now, when we finally get around to solving these we will see that we generally don’t solve systems in the form that we’ve given them in this section. Systems of differential equations can be converted to matrix form and this is the form that we usually use in solving systems.

First write the system so that each side is a vector.

Now the right side can be written as a matrix multiplication,

The system can then be written in the matrix form,

We’ll start with the system from Example 1.

Now, let’s do the system from Example 2.

In this case we need to be careful with the t 2 in the last equation. We’ll start by writing the system as a vector again and then break it up into two vectors, one vector that contains the unknown functions and the other that contains any known functions.

Now, the first vector can now be written as a matrix multiplication and we’ll leave the second vector alone.

Note that occasionally for “large” systems such as this we will go one step farther and write the system as,

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

The last thing that we need to do in this section is get a bit of terminology out of the way. Starting with

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

we say that the system is homogeneous if (vec gleft( t ight) = vec 0) and we say the system is nonhomogeneous if (vec gleft( t ight) e vec 0).


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

Recall that we call a differential equation autonomous if it doesn't depend on the independent variable (the $"x"$) except in that the derivatives are taken with respect to $x$. For example, $displaystylefrac+3frac-5y=2$ and $displaystylefrac-2yfrac=0$ are both autonomous equations. There is a special trick that will let us reduce a second-order autonomous equation into a pair of first-order equations. This trick isn't important when we are dealing with linear equations, since a linear autonomous equation must be constant coefficient and can be more easily solved using the techniques of this section. But the trick for autonomous second-order equations also applies to non-linear equations, like the second example above, which can't be solved by the other techniques we've learned.

Consider the autonomous equation $ frac=fleft(y,fracderecho). $ We will make the substitution $displaystyle v=frac$, just as in the development of numerical methods for second-order equations. This will give us $ frac=f(y,v). ag <1>$ Now by the chain rule $ frac= frac frac= fracv. $ Substituting this into equation (1), we now have $ vfrac=f(y,v) $ and we have reduced our problem from a second-order equation in $y$ and $x$ to a first-order equation in $v$ and $y$. We now solve this using our techniques for first order equations to get a solution $v=g(y)$ for some function $g$. But recalling that $v=displaystylefrac$, this solution $v=g(y)$ becomes the first-order equation $ frac=g(y). $ We solve this equation, which is separable, and we have the solution of our original equation with $y$ as a function of $x$.


Ver el vídeo: Anden ordens differentialligning med konstante koefficienter (Enero 2022).