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8.6.E: Problemas sobre los teoremas de integrabilidad y convergencia


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Complete los detalles que faltan en las pruebas de esta sección.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

(i) Muestre que si (f: S rightarrow E ^ {*} ) está acotada y (m ) - medible en (A, ) con (m A < infty, ) entonces (f ) es (m ) -integrable en (A ( text {Teorema} 2) ) y
[
int_ {A} f = c cdot m A,
]
donde inf (f [A] leq c leq sup f [A] ).
(ii) Demuestre que si (f ) también tiene la propiedad de Darboux en (A, ) entonces
[
left ( existe x_ {0} in A right) quad c = f left (x_ {0} right).
]
[Sugerencia: tome (g = 1 text {en el teorema} 3.] )
(iii) ¿Qué resulta si (A = [a, b] ) y (m = ) miden Lebesgue?

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Demuestre el teorema 4 asumiendo que (f_ {n} ) son medibles en (A ) y que
[
( existe k) quad int_ {A} f_ {k}> - infty
]
en lugar de (f_ {n} geq 0 ).
[Sugerencia: como ( left {f_ {n} right } uparrow ), muestra que
[
( forall n geq k) quad int_ {A} f_ {n}> - infty.
]
Si
[
( existe n) quad int_ {A} f_ {n} = infty,
]
luego
[
int_ {A} f = lim int_ {A} f_ {n} = infty.
]
De lo contrario,
[
( forall n geq k) quad left | int_ {A} f_ {n} right | < infty;
]
entonces (f_ {n} ) es integrable. (¿Por qué?) Por el Corolario 1 en §5, suponga ( left | f_ {n} right | < infty. ) (¿Por qué?) Aplique el Teorema 4 a (h_ {n} = f_ {n} - f_ {k} (n geq k), ) considerando dos casos:
[
left. int_ {A} h < infty text {y} int_ {A} h = infty. right]
]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Muestre que si (f_ {n} nearrow f ) (puntual) en (A in mathcal {M}, ) hay ( mathcal {M} ) - mapas medibles (F_ {n } geq f_ {n} ) y (F geq f ) en (A, ) con (F_ {n} nearrow F ) (puntual) en (A, ) tal que
[
int_ {A} F = overline { int} _ {A} f text {y} int_ {A} F_ {n} = overline { int} _ {A} f_ {n}.
]
[Sugerencia: según el Lema 2 de §5, corrija los mapas medibles (h geq f ) y (h_ {n} geq f_ {n} ) con las mismas integrales. Dejar
[
F_ {n} = inf _ {k geq n} left (h wedge h_ {k} right), quad n = 1,2, ldots,
]
y (F = sup _ {n} F_ {n} leq h. ) (¿Por qué?) Continuar.]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Para (A in mathcal {M} ) y cualquier función (incluso no medible) (f, f_ {n}: S rightarrow E ^ {*}, ) demuestre lo siguiente.
(i) Si (f_ {n} nearrow f ( text {a.e.}) ) en (A, ) entonces
[
overline { int} _ {A} f_ {n} nearrow overline { int} _ {A} f,
]
previsto
[
( existe n) quad overline { int} _ {A} f_ {n}> - infty.
]
(ii) Si (f_ {n} Searrow f ( text {a.e.}) ) en (A, ) entonces
[
underline { int} _ {A} f_ {n} Searrow underline { int} _ {A} f,
]
previsto
[
( existe n) quad subrayado { int} _ {A} f_ {n} < infty.
]
[Sugerencia: Reemplace (f, f_ {n} ) por (F, F_ {n} ) como en el Problema (4. ) Luego aplique el Problema 3 a (F_ {n}; ) y obtenga (I). Para (ii), use (i) y el Teorema (1 left ( mathrm {e} ^ { prime} right) ) en §5. (Todo es ortodoxo, ¿por qué?)]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Muestre con ejemplos que
(i) las condiciones
[
overline { int} _ {A} f_ {n}> - infty text {y} underline { int} _ {A} f_ {n} < infty
]
en el problema 5 son esenciales; y
(ii) El problema (5 ( mathrm {i}) ) falla para integrales inferiores. ¿Qué pasa con (5 ( mathrm {ii})? )
[Sugerencias: (i) Sea (A = (0,1) subset E ^ {1}, m = ) medida de Lebesgue, (f_ {n} = - infty ) en ( left (0 , frac {1} {n} right), f_ {n} = 1 ) en otro lugar.
(ii) Sea ( mathcal {M} = left {E ^ {1}, emptyset right }, m E ^ {1} = 1, m emptyset = 0, f_ {n} = 1 ) en ((- n, n), f_ {n} = 0 ) en otro lugar. Si (f = 1 ) en (A = E ^ {1}, ) entonces (f_ {n} rightarrow f, ) pero no
[
underline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow underline { int} _ {A} f.
]
¡Explicar!]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dado (f_ {n}: S rightarrow E ^ {*} ) y (A in mathcal {M}, ) deje
[
g_ {n} = inf _ {k geq n} f_ {k} text {y} h_ {n} = sup _ {k geq n} f_ {k} quad (n = 1,2, ldots).
]
Pruebalo
(i) ( overline { int} _ {A} underline { lim} f_ {n} leq underline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n} ) proporcionado (( existe n) overline { int} _ {A} g_ {n}> - infty; ) y
(ii) ( underline { int} _ {A} overline { lim} f_ {n} leq overline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n} text { proporcionado} ( existe n) subrayado { int} _ {A} h_ {n} < infty ).
[Sugerencia: aplique el problema 5 a ( left.g_ {n} text {y} h_ {n}. Right] )
(iii) Dé ejemplos para los que
[
overline { int} _ {A} underline { lim} f_ {n} neq overline { lim} _ {A} overline { int} _ {A} f_ {n} text {y } subrayado { int} _ {A} overline { lim} f_ {n} neq underline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n}.
]
(Ver nota 2).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Deje (f_ {n} geq 0 ) en (A in mathcal {M} ) y (f_ {n} rightarrow f ( text {ae}) ) en (A. ) Sea (A supseteq X, X in mathcal {M}. )
Demuestre lo siguiente.
(i) Si
[
overline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {A} f < infty,
]
luego
[
overline { int} _ {X} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {X} f.
]
(ii) Esto falla para el cambio de signo (f_ {n} ).
[Sugerencias: si (i) falla, entonces
[
underline { lim} _ {X} overline { int} _ {X} f_ {n} < overline { int} _ {X} f text {o} underline { lim} _ {X } overline { int} _ {X} f_ {n}> overline { int} _ {X} f.
]
Encuentra una subsecuencia de
[
left { overline { int} _ {X} f_ {n} right } text {o} left { overline { int} _ {A-X} f_ {n} right }
]
contradiciendo el Lema 2.
(ii) Sea (m = ) medida de Lebesgue; (A = (0,1), X = left (0, frac {1} {2} right) ),
[
f_ {n} = left { begin {array} {ll} {n} & { text {on} left (0, frac {1} {2 n} right],} {- n} & { text {on} left (1- frac {1} {2 n}, 1 right [.} end {array} right.
]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

( Flecha derecha 9 ). (i) Muestre que si (f ) y (g ) son (m ) - medibles y no negativos en (A, ) entonces
[
( forall a, b geq 0) quad int_ {A} (a f + b g) = a int_ {A} f + b int_ {A} g.
]
(ii) Si, además, ( int_ {A} f < infty ) o ( int_ {A} g < infty, ) esta fórmula es válida para cualquier (a, b en E ^ {1}. )
[Sugerencia: proceda como en el teorema 1.]

Ejercicio ( PageIndex {10} )

( Flecha derecha 10 ). Si
[
f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n},
]
con todo (f_ {n} ) medible y no negativo en (A, ) entonces
[
int_ {A} f = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} f_ {n}.
]
[Sugerencia: aplique el teorema 4 a los mapas
[
g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} f_ {k} nearrow f.
]
Utilice el problema 9.]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Si
[
q = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} left | f_ {n} right | < infty
]
y las (f_ {n} ) son (m ) - medibles en (A, ) entonces
[
sum_ {n = 1} ^ { infty} left | f_ {n} right | < infty (a. e.) text {on} A
]
y (f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n} ) es (m ) - integrable en (A, ) con
[
int_ {A} f = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} f_ {n}.
]
[Sugerencia: Sea (g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left | f_ {n} right |. ) Por el problema 10,
[
int_ {A} g = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} left | f_ {n} right | = q < infty;
]
entonces (g < infty (a. e.) ) en (A. ) (¿Por qué?) Aplicar el Teorema 5 y la Nota 1 a los mapas
[
g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} f_ {k};
]
tenga en cuenta que ( left. left | g_ {n} right | leq g. right] )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

(Convergencia en la medida; consulte el problema 11 (ii) del §3).
(i) Demuestre el teorema de Riesz: Si (f_ {n} rightarrow f ) en medida en (A subseteq S ), hay una subsecuencia ( left {f_ {n_ {k}} derecha } ) tal que (f_ {n_ {k}} rightarrow f ) (casi uniformemente), por lo tanto (ae), en (A ).
[Esquema: Tomando
[
sigma_ {k} = delta_ {k} = 2 ^ {- k},
]
recoger, paso a paso, naturales
[
n_ {1} ]
y establece (D_ {k} in mathcal {M} ) tal que (( forall k) )
[
m D_ {k} <2 ^ {- k}
]
y
[
rho ^ { prime} left (f_ {n_ {k}}, f right) <2 ^ {- k}
]
en (A-D_ {k}. ) (¡Explica!) Vamos
[
E_ {n} = bigcup_ {k = n} ^ { infty} D_ {k},
]
(m E_ {n} <2 ^ {1-n}. () ¿Por qué?) Demuestre que
[
( forall n) ( forall k> n) quad rho ^ { prime} left (f_ {n_ {k}}, f right) <2 ^ {1-n}
]
en ( left.A-E_ {n}. text {Problema de uso} 11 text {in} §3. right] )
(ii) Para mapas (f_ {n}: S rightarrow E ) y (g: S rightarrow E ^ {1} ) deducir que si
[
f_ {n} rightarrow f
]
en medida en (A ) y
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g ( text {a.e.}) text {en} A,
]
luego
[
| f | leq g ( text {a.e.}) text {en} A.
]
( left [ text {Pista:} f_ {n_ {k}} rightarrow f (a. e.) text {on} A. right] )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Problema continuo (12 ( text {ii}), ) deje
[
f_ {n} rightarrow f
]
en medida en (A in mathcal {M} left (f_ {n}: S rightarrow E right) ) y
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g ( mathrm {a.e.}) text {en} A,
]
con
[
overline { int_ {A}} g < infty.
]
Pruebalo
[
lim _ {n rightarrow infty} overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | = 0.
]
Lo hace
[
overline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {A} f?
]
[Esquema: del Corolario 1 de §5, infiera que (g = 0 ) en (A-C, ) donde
[
C = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} C_ {k} ( text {disjoint}),
]
(m C_ {k} < infty. ) (Podemos suponer que (g mathcal {M} ) - medible en (A. ) ¿Por qué?) Además,
[
infty> int_ {A} g = int_ {A-C} g + int_ {C} g = 0 + sum_ {k = 1} ^ { infty} int_ {C_ {k}} g;
]
por lo que la serie converge. Por eso
[
( forall varepsilon> 0) ( existe p) quad int_ {A} g- varepsilon < sum_ {k = 1} ^ {p} int_ {C_ {k}} g = int_ {H } g,
]
donde
[
H = bigcup_ {k = 1} ^ {p} C_ {k} in mathcal {M}
]
y (m H < infty. ) Como ( left | f_ {n} -f right | leq 2 g ( text {a.e.}), ) obtenemos
[
text {(1)} underline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | leq overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | leq overline { int} _ {H} left | f_ {n} -f right | + int_ {AH} 2 g < overline { int_ {H}} left | f_ {n} - f right | +2 varepsilon.
]
(¡Explicar!)
Como (m H < infty, ) podemos arreglar ( sigma> 0 ) con
[
sigma cdot m H < varepsilon.
]
Además, por el teorema (6, ) corrija ( delta ) de manera que
[
2 int_ {X} g < varepsilon
]
siempre que (A supseteq X, X in mathcal {M} ) y (m X < delta ).
Como (f_ {n} rightarrow f ) en medida en (H, ) encontramos ( mathcal {M} ) - establece (D_ {n} subseteq H ) tal que
[
left ( forall n> n_ {0} right) quad m D_ {n} < delta
]
y
[
left | f_ {n} -f right | < sigma text {on} A_ {n} = H-D_ {n}.
]
(Podemos usar la métrica estándar, como (| f | ) y ( left | f_ {n} right | < infty ) a.e. ¿Por qué?) Así de ((1), ) obtenemos
[
begin {alineado} overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | & leq overline { int_ {H}} left | f_ {n} -f right | +2 varepsilon & = overline { int} _ {A_ {n}} left | f_ { n} -f right | + overline { int} _ {D_ {n}} left | f_ {n} -f right | +2 varepsilon & < overline { int} _ {A_ {n}} izquierda | f_ {n} -f derecha | +3 varepsilon & leq sigma cdot m H + 3 varepsilon <4 varepsilon end {alineado}
]
para (n> n_ {0}. ) (¡Explique!) Por lo tanto
[
lim overline { int_ {A}} left | f_ {n} -f right | = 0.
]
Véase también el problema 7 en §5 y la nota 1 de §6 (para funciones medibles) en lo que respecta a
[
left. lim overline { int_ {A}} f_ {n} cdot right]
]

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Resuelva el problema 12 en §3 (teoremas de Lebesgue-Egorov) para (T = E, ) suponiendo
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g (a. e.) text {en} A,
]
con
[
int_ {A} g < infty
]
(en lugar de (m A < infty) ).
[Sugerencia: Con (H_ {i} (k) ) como antes, es suficiente que
[
lim _ {i rightarrow infty} m left (A-H_ {i} (k) right) = 0.
]
(¿Por qué?) Verifique que
[
( forall n) quad rho ^ { prime} left (f_ {n}, f right) = left | f_ {n} -f right | leq 2 g (a. e.) text {en} A,
]
y
[
( forall i, k) quad A-H_ {i} (k) subseteq A left (2 g geq frac {1} {k} right) cup Q (m Q = 0).
]
Inferir que
[
( forall i, k) quad m left (A-H_ {i} (k) right) < infty.
]
Ahora, como (( forall k) H_ {i} (k) seekrow emptyset ) (¿por qué?), Se aplica la continuidad derecha.]


Integrabilidad y estanqueidad uniformes.

Definición: Sea $ (X, M, mu) $ un espacio de medida y $ $ una secuencia de funciones medibles en $ x $ que son integrables.
Entonces $ $ es uniformemente integrable si por cada $ epsilon & gt0 $, hay un $ delta & gt0 $ tal que si $ E $ es un subconjunto medible de $ X $ tal que $ mu (E) & lt delta $, entonces $ int_E | f_n |

$se dice que $ es ajustado si para cada $ epsilon & gt0 $, hay un subconjunto $ X_0 $ de $ X $ tal que $ mu (X_0) & lt infty $ y $ int_ | f_n |

Teorema: (Convergencia vital) Sea $ (X, M, mu) $ un espacio de medida. Deje $ $ ser una secuencia de funciones uniformemente integrables que también forma una secuencia estrecha. Suponga $ f_n (x) af (x) $ a.e. en $ X $. Entonces, $ f $ es integrable y $ lim_ int_X f_n

Deseo demostrar lo siguiente:

Deje $ $ ser una secuencia de funciones integrables no negativas en $ X $. Suponga que $ a 0 $ para casi todos los $ x en X. $. Entonces $ lim_ int f_n

$ ( Leftarrow) $ Suponga $ f_n a 0 $. Si $ $ es uniformemente integrable y ajustado, luego, según el teorema de convergencia de Vitali, $ lim_ int f_n

$ ( Flecha derecha) $ Sea $ lim_ int f_n

d mu = 0 $. Sea $ epsilon & gt0 $. Entonces $ existe $ an $ N $ tal que $ int_X f_n

d mu & lt epsilon $ siempre que $ n geq N. $ Además, desde $ f_n geq 0 $, si $ E $ es un subconjunto medible de $ X $ y $ n geq N $, entonces $ int _E f_n

Sé que si tengo una secuencia finita $ _^ N $ de funciones integrables no negativas sobre $ X $, luego $ _^ N $ es uniformemente integrable, ya que si $ E subset X $ y $ mu (E) & lt delta_k & gt0 $ entonces $ int_E f_k

d mu & lt epsilon $. Puedo tomar $ delta = min ( delta_1, ldots, delta_k) $ para que $ mu (E) & lt delta $ y $ int_E f_k

Me temo que aquí es donde estoy atascado y no sé cómo proceder. Cualquier forma de ayuda será muy apreciada. Gracias.


Teoremas de convergencia para algunas medidas de diseño en celosías aleatorias y gráficas geométricas aleatorias

Este trabajo trata sobre los teoremas de convergencia y los límites del costo de varias medidas de diseño para gráficos de celosía, gráficos de celosía aleatorios y gráficos geométricos aleatorios dispersos. Específicamente, consideramos los siguientes problemas: Disposición lineal mínima, Ancho de corte, Corte de suma, Separación de vértices, Bisección de borde y Bisección de vértice. Para celosías cuadradas completas, proporcionamos diseños óptimos para los problemas aún abiertos. Para gráficos de celosía arbitrarios, presentamos los mejores límites posibles sin tener en cuenta un factor constante. Aplicamos la teoría de la percolación al estudio de gráficos de celosía en un entorno probabilístico. En particular, nos ocupamos del régimen subcrítico que exhibe esta clase de gráficos y caracterizamos el comportamiento de varias medidas de trazado en este espacio de probabilidad. Extendemos los resultados de las gráficas de celosía aleatorias a gráficas geométricas aleatorias, que son gráficas cuyos nodos se distribuyen al azar en el cuadrado unitario y cuyos bordes conectan pares de puntos que están dentro de una distancia determinada. También caracterizamos el comportamiento de varias medidas de diseño en gráficos geométricos aleatorios en su régimen subcrítico. Nuestros principales resultados son los teoremas de convergencia que pueden verse como un análogo del teorema de Beardwood, Halton y Hammersley para el TSP euclidiano en puntos aleatorios en el cuadrado unitario.


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  • 24. M. Labendia y J. D. Cagubcob, Condición de Double Lusin y teorema de convergencia de Vitali para la integral de Itô-McShane, Adv. Oper. Teoría5 (2020) 453–473. Crossref, académico de Google
  • 25. R. Rulete y M. Labendia, Condición de Double Lusin y teoremas de convergencia para la integral de Itô-Henstock hacia atrás, Real Anal. Intercambio45 (2020) 101–126. Crossref, académico de Google
  • 26. P. Y. Lee y E. Cabral, Un teorema fundamental de cálculo para la integral de Kurzweil-Henstock en ℝ m, Real Anal. Intercambio26 (2000) 867–876. Crossref, académico de Google
  • 27. H. Royden y P. Fitzpatrick, Análisis real , 4ª ed. (Prentice-Hall, Nueva York, 2007). Google Académico

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8.6.E: Problemas sobre los teoremas de integrabilidad y convergencia

El problema de la convergencia de momentos de una secuencia de variables aleatorias a los momentos de su distribución asintótica es importante en muchas aplicaciones. Estos incluyen la determinación del tamaño de muestra de entrenamiento óptimo en la estimación de validación cruzada del error de generalización de algoritmos informáticos y en la construcción de métodos gráficos para estudiar patrones de dependencia entre dos biomarcadores. En este artículo probamos la integrabilidad uniforme de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios de un modelo de regresión lineal, bajo supuestos adecuados sobre la matriz de diseño y los momentos de los errores. Además, probamos la convergencia de los momentos de los estimadores a los momentos correspondientes de su distribución asintótica y estudiamos la tasa de convergencia de momentos. El teorema del límite central canónico corresponde al modelo de regresión lineal más simple. Investigamos la tasa de convergencia del momento en el teorema del límite central canónico, lo que demuestra una mejora notable del teorema de von Bahr (1965).


J. Bourgain, "Suma esférica y unicidad de múltiples series trigonométricas", Internat. Matemáticas. Res. Notices, No. 3, 93–107 (1996).

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S. Saks, Teoría del Integral (Nueva York, 1939 Inostr. Lit., Moscú, 1949) [en ruso].


Introducción

Para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) (<>, n geq 1 > ) con ( mathbbX_ <1> = 0 ), Pyke y Root [12] establecieron la ley de convergencia media degenerada

Dharmadhikari [4] obtuvo una prueba considerablemente más simple de la ley límite (1.1) que no se refirió al artículo de Pyke y Root [12]. Chandra [3] estableció el siguiente resultado más general para la convergencia media de los promedios ponderados. Su prueba es más natural, directa y poderosa que la de Dharmadhikari [4]. El método de Chandra [3] es novedoso en el sentido de que el nivel de truncamiento no depende de norte (el tamaño de la muestra), mientras que Dharmadhikari [4] usó el nivel de truncamiento ( sqrt). La ley límite (1.1) se obtiene inmediatamente del resultado de Chandra [3] tomando (a_ = n ^ <-1> ), (1 leq j leq n ), (n geq 1 ).

Teorema 1.1

Dejar (<>, n geq 1 > ) ser una secuencia de pares i.I.D. variables aleatorias con ( mathbbX_ <1> = 0 ), y deja (<>, 1 leq j leq n, n geq 1 > ) ser una matriz triangular de constantes tales que

En el trabajo actual, ampliamos en los Teoremas 3.1 y 3.2 este teorema de convergencia media degenerada de Chandra [3] en dos direcciones:

Nuestros resultados se refieren a promedios ponderados ya sea de un formación de variables aleatorias cuyo norteLa fila se compone de (k_) variables aleatorias dependientes de cuadrantes negativos por pares, (n geq 1 ) (Teorema 3.1) o de un formación de variables aleatorias cuyo norteLa fila se compone de (k_) variables aleatorias independientes por pares, (n geq 1 ) (Teorema 3.2). No se imponen condiciones de independencia o dependencia entre las variables aleatorias de diferentes filas de las matrices. El resultado de Chandra [3] consideró promedios ponderados de un secuencia de pares i.i.d. variables aleatorias.

Se supone que las variables aleatorias que consideramos están dominadas estocásticamente por una variable aleatoria que es una suposición más débil que la suposición de Chandra [3] de que las variables aleatorias están distribuidas de manera idéntica.

El tercer resultado principal (Teorema 3.3) establece para una matriz de variables aleatorias cuya norteLa fila se compone de (k_) variables aleatorias dependientes de cuandrantes negativos por pares, (n geq 1 ) un resultado de convergencia media degenerada para sumas de filas normalizadas y centradas. A diferencia de los teoremas 3.1 y 3.2, los promedios ponderados y la dominación estocástica no juegan ningún papel en el teorema 3.3. Como en los teoremas 3.1 y 3.2, no se imponen condiciones de independencia o dependencia entre las variables aleatorias de diferentes filas del arreglo en el teorema 3.3.

Definición 1.1

Un conjunto finito de variables aleatorias (, ldots, X_ > ) se dice que es dependiente del cuadrante negativo por pares (PNQD) si para todos (i, j in <1, ldots, N > ) ( (i neq j )) y todos (x, y in mathbb) ,

Por supuesto, es inmediato que si (X_ <1>, ldots, X_ ) son independientes por pares (con mayor razón, independientes) variables aleatorias, entonces (, ldots, X_ > ) es PNQD.

En muchos modelos estocásticos, el supuesto clásico de independencia entre las variables aleatorias en el modelo no es razonable, la variable aleatoria puede ser "repelente" en el sentido de que valores pequeños de cualquiera de las variables aleatorias aumentan la probabilidad de que las otras son grandes. Por tanto, la suposición de algún tipo de dependencia negativa suele ser más adecuada. Pemantle [11] preparó una excelente encuesta sobre una “teoría de la dependencia negativa” general.

La elección del adjetivo “negativo” en la definición de variables aleatorias del PNQD se debe a que (1.2) equivale a

proporcionado ( mathbb

( X_ leq x) & gt 0 ).

Una coleccion de norte Las variables aleatorias del PNQD surgen al muestrear sin reemplazo de un conjunto de (N geq 2 ) números reales (ver, por ejemplo, Bozorgnia et al. [2]). Li y col. [7] mostró que para cada conjunto de (N geq 2 ) funciones de distribución continua (, ldots, F_ > ), existe un conjunto de variables aleatorias PNQD (, ldots, X_ > ) tal que la función de distribución de (X_) es (F_), (1 leq j leq N ) y tal que para todos (j in <1, ldots, N-1 > ), (X_) y (X_) no son independientes.

Una matriz de variables aleatorias (<>, 1 leq j leq k_, n geq 1 > ) se dice que es en hilera PNQD si para cada (n geq 1 ), el conjunto de variables aleatorias (<>, 1 leq j leq k_ > ) es PNQD. Existe una interesante literatura de investigación sobre el problema de la ley fuerte de los números grandes para sumas de filas de matrices PNQD en filas; consulte la discusión en Li et al. [7].

Definición 1.2

Una matriz de variables aleatorias (<>, 1 leq j leq k_, n geq 1 > ) se dice que es estocásticamente dominado por una variable aleatoria X si existe una constante D tal que

$ mathbb

bigl ( vert X_ vert & gt x bigr) leq D mathbb

bigl ( vert DX vert & gt x bigr), quad x geq 0, 1 leq j leq k_, n geq 1. $

Observación 1.1

La condición (1.3) es, por supuesto, automática con (X = X_ <1,1> ) y (D = 1 ) si la matriz (<>, 1 leq j leq k _, n geq 1 > ) consta de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica.


Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones

La convergencia de procesos estocásticos se define en términos de la llamada "convergencia débil" (w. C.) De medidas de probabilidad en espacios funcionales apropiados (c. S. M. S.).

Capítulo 1. Sea $ Re $ el c.s.m.s. y v un conjunto de todas las medidas finitas en $ Re $. Se introduce la distancia $ L ( mu _1, mu _2) $ (que es análoga a la distancia de Lévy) y la equivalencia de L-convergencia y w. C. está probado. Se muestra que $ V Re = (v, L) $ es c. s. metro. s. Luego, se dan las condiciones necesarias y suficientes para la compacidad en $ V Re $.

En la sección 1.6 se aplica el concepto de "funcionales característicos" al estudio de w. cc de medidas en el espacio de Hilbert.

Capítulo 2. Sobre la base de los resultados anteriores, las condiciones de compacidad necesarias y suficientes para las familias de medidas de probabilidad en los espacios $ C [0,1] $ y $ D [0,1] $ (espacio de funciones que son continuas en $ [ 0,1] $ excepto para saltos) están formulados.

Capítulo 3. Se desarrolla la forma general del “principio de invariancia” para las sumas de variables aleatorias independientes.

Capítulo 4. Se da una estimación del término restante en el conocido teorema de Kolmogorov (véase [3.1]).


5.2 Demostración codificada

Este teorema es razonablemente intuitivo. Suponga que la variable aleatoria (X_n ) converge en distribución a una distribución normal estándar (N (0,1) ). Para la parte 1) del Teorema, observe que cuando multiplicamos una normal estándar por una constante, “estiramos” la distribución (asumiendo (| a | & gt1 ), de lo contrario la “comprimimos”). Recuerde de la discusión de la normal estándar en el Capítulo 5 que (aN (0,1) = N (0, a ^ 2) ). A medida que (n ) se acerca al infinito, por definición (A_n xrightarrow

a ), por lo que el grado en que se estira la normal estándar también convergerá a esa constante. Para demostrar esta característica visualmente, considere la siguiente simulación:

Aquí hemos definido dos variables aleatorias: X_n es una normal estándar, y A_n converge en valor a 2. Variando el valor de n, tomo (n ) extrae de una distribución normal estándar y calculo el valor de la constante convergente ( Un) . Luego genero el producto de estas dos variables. La figura traza la distribución resultante aX. Podemos ver que a medida que n aumenta, la distribución se vuelve cada vez más normal, permanece centrada alrededor de 0 y la varianza se acerca a 4 (ya que el 95% de la curva está aproximadamente delimitada entre (0 pm 2 times sqrt = 0 pm 2 times2 = 0 pm 4 )).

De manera similar, si agregamos la constante (a ) a una distribución estándar, el efecto es cambiar la distribución en su totalidad (dado que una constante no tiene varianza, no "estira" la distribución). Como (A_n ) converge en probabilidad, por lo tanto, el desplazamiento converge en la constante (a ). Nuevamente, podemos demostrar este resultado en R:

A medida que n se hace más grande, la distribución resultante se vuelve aproximadamente normal, con una varianza de 1 y un valor medio centrado alrededor de (0 + a = 2 ).

El teorema de Slutsky es tan útil precisamente porque nos permite combinar múltiples variables aleatorias con asintóticos conocidos y retener este conocimiento, es decir, sabemos a qué convergerá la distribución resultante suponiendo (n a infty ).


8.6.E: Problemas sobre los teoremas de integrabilidad y convergencia

Instructor: Dimiter Vassilev Oficina: SMLC 326 Correo electrónico: [email protected] Número de teléfono : 505 277 2136

Horario de atención: lunes a viernes de 9:30 a. M. A 10:30 a. M. Y de 2:30 p. M. A 3 p. M.

Examen final: viernes 12 de mayo, de 9 a.m. a 11 a.m. en SMLC-124 (aula habitual)

Los estudiantes que tengan conflictos con este horario de exámenes deben notificar al instructor correspondiente antes del viernes 31 de marzo de 2017. Cualquier estudiante que tenga más de tres exámenes programados en cualquier día puede notificar al instructor sobre el último examen en la lista. Si se le notifica antes del viernes 31 de marzo de 2017, el instructor hará los arreglos necesarios para realizar un examen especial. Los conflictos que surjan como resultado de la programación fuera del patrón de horas normales o las secuencias de días deben ser resueltos por el instructor de los cursos fuera del patrón.

Textos: notas de clase basadas principalmente en los siguientes textos opcionales. Consulte UNMLearn para obtener material del curso y tareas.

A. Knapp, Análisis real básico, 2da edición digital

W. Rudin, Principios del análisis matemático 3ª ed.

V. Zorich, Análisis matemático I 2ª ed. (2015) y Análisis matemático II 2ª ed. (2016).

Libros estándar adicionales de interés

J. Munkres, Análisis de colectores

M. Spivak, Cálculo en colectores.

Tenga en cuenta las siguientes pautas para el curso:

Contenido del curso : Continuación de 510. Diferenciación en Rn. Teoremas de función inversa e implícita, integración en Rn, formas diferenciales y teorema de Stokes.
Este es también el curso que prepara a los estudiantes graduados para la Calificación de Análisis Real.

Los grados: La nota final se determinará mediante tarea (25%), dos parciales (50%) y un examen final (25%). El puntaje del examen final reemplazará todos los puntajes de mitad de período que sean más bajos que el puntaje del examen final. Todas las calificaciones se publicarán en UNMLearn.

Tarea Habrá una tarea semanal. Pueden trabajar juntos en la tarea, pero deben escribir sus propias soluciones con sus propias palabras. Para ayudar al calificador, por favor escriba sus soluciones de forma clara y ordenada (no se otorgarán puntos por trabajos que el lector no pueda seguir; esto también es cierto para los exámenes), y engrapa las sábanas. Se eliminarán las dos calificaciones más bajas de las tareas. ¡Por favor, no debe hacer la tarea tarde! Los problemas de los exámenes de calificación de análisis reales pasados ​​se incluirán en la tarea; es de esperar que al final del curso haya creado una carpeta con soluciones a la mayoría de esos problemas para referencia futura. YDebería verme tan pronto y tan a menudo como sea necesario si tiene dificultades con los problemas con la tarea.

Mapas lineales en espacios normativos - la equivalencia de la norma del operador de los espacios de Banach delimitados y de continuidad - series convergentes normalmente (o absolutas).

Espacio métrico compacto. Espacios normados de dimensión finita: compacidad de la esfera unitaria, normas equivalentes.

Diferenciación: derivadas parciales, diferenciabilidad, la regla de la cadena. Exponencial de una matriz. Partición de la unidad (versión continua)

Examples of differentiable functions involving matrices sufficient condition for differentiability (C k functions) equality of mixed derivatives for smooth functions (Clairaut's theorem) proof of thechain rule.

The MVT. The inverse function theorem.

The implict function and rank theorems. Global invertibility (Hadamard, Caccioppoli and metric version theorems) and proper maps, star-shaped and convex spaces. Connectedness in topological spaces.

The open (convex) cone of the positive definite symmetric matrices Sym+(n). The square root as a smooth map on Sym+(n). Smooth covering spaces. Taylor's formula.

Integrals depending on a parameter - continuity and differentition (with absolute or conditional convergence).

Sets of (Lebesgue) measure zero sets of (Jordan) content zero. Oscillation of a function, Riemann-Lebesgue' theorem on Riemann integrability. Non-negative functions with vanishing integrals, functions vanishing a.e. - (non-)integrability, value of the integral when integrable. Images of sets of measure/ content zero under a Lipschitz map. Sard's theorem. Fubini's theorem.

Proof of Fubini's theorem. Integrability over bounded subsets- Jordan measurable sets, Jordan content and the integral, properties. Improper integrals.

Absolute convergence of improper integrals. The bounded and dominated convergence theorems. Fundtions defined by an integral - continuity and differentiation.

The change of coordinates.formula - some key steps and their proofs. Smooth partition of unity .

Smooth partition of unity-smooth bump functions etc.

Multilinear maps, tensor products, alternating forms, the wedge product.

Differential forms - the wedge prduct, pullbacks, the integral of a 1-form. Derivations of the algebra - the exterior derivative,

Lie derivative, interior product, Cartan's formula. Closed and exact forms, proof of Poincare's lemma in a star-shaped domain..