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3.3.E: Problemas sobre intervalos en Eⁿ (Ejercicios) - Matemáticas


(Aquí (A ) y (B ) denotan intervalos).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Demuestre los corolarios 1-3.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Demuestre que si (A subseteq B, ) entonces (d A leq d B ) y (v A leq v B ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Da una definición apropiada de una "cara" y un "vértice" de (A ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra las longitudes de los bordes de (A = ( overline {a}, overline {b}) ) en (E ^ {4} ) si
[
overline {a} = (1, -2,4,0) text {y} overline {b} = (2,0,5,3).
]
¿Es (A ) un cubo? Encuentra algunos puntos racionales en él. Encuentra (d A ) y (v A ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Demuestre que los conjuntos (P ) y (Q ) como se definen en la nota al pie 1 son intervalos, de hecho. En particular, se pueden hacer semiabiertos (semiabiertos) si (A ) está semiabierto (semiabierto).
([ text {Sugerencia: Sea} A = ( overline {a}, overline {b}] ),
[
P = left { overline {x} in A | x_ {k} leq c right }, text {y} Q = left { overline {x} in A | x_ {k}> c right }.
]
Para arreglar ideas, deje (k = 1, ) es decir, corte el primer borde. Entonces deja
[
overline {p} = left (c, a_ {2}, ldots, a_ {n} right) text {y} overline {q} = left (c, b_ {2}, ldots, b_ {n} right) text {(ver Figura} 2),
]
y verifica que (P = ( overline {a}, overline {q}] ) y (Q = ( overline {p}, overline {b}]. ) Da una prueba. (] )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

En el problema (5, ) suponga que (A ) es cerrado y haga que (Q ) sea cerrado. (¡Pruébalo!)

Ejercicio ( PageIndex {7} )

En el problema 5, muestre que (( text {con} k text {fijo}) ) las (k ) ésima longitud de los bordes de (P ) y (Q ) son iguales a (c-a_ {k} ) y (b_ {k} -c, ) respectivamente, mientras que para (i neq k ) la longitud del borde ( ell_ {i} ) es la misma en (A, P, ) y (Q, ) a saber, ( ell_ {i} = b_ {i} -a_ {i} ).
[Sugerencia: Si (k = 1, ) define ( overline {p} ) y ( overline {q} ) como en el Problema (5.] )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Demuestre que si un intervalo (A ) se divide en subintervalos (P ) y (Q (P cap Q = emptyset) ), entonces (v A = v P + v Q. )
[Sugerencia: Utilice el problema 7 para calcular (v A, v P, ) y (v Q. ) Suma. (] )
Dar un ejemplo. (Tome (A ) como en el problema 4 y divídalo por el plano (x_ {4} = 1.) )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

* 9. Demuestre la aditividad del volumen de intervalos, es decir, si (A ) se subdivide, de cualquier manera, en (m ) subintervalos mutuamente disjuntos (A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ { m} ) (en E ^ {n}, ) entonces
[
v A = sum_ {i = 1} ^ {m} v A_ {i}.
]
(Esto también es cierto si algunos (A_ {i} ) contienen caras comunes).
[Esquema de prueba: Para (m = 2, ) utilice el problema 8.
Luego, por inducción, suponga que la aditividad se cumple para cualquier número de intervalos menor que un cierto (m ) ((m> 1). ) Ahora sea
[
A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} quad left (A_ {i} text {disjoint} right).
]
Uno de los (A_ {i} ) (digamos, (A_ {1} = [ overline {a}, overline {p}]) ) debe tener una longitud de borde menor que la longitud de borde correspondiente de (A left ( operatorname {say}, ell_ {1} right). ) Ahora corte todo (A ) en (P = [ overline {a}, overline {d} ] ) y (Q = AP ( text {Figura} 4) ) por el plano (x_ {1} = c left (c = p_ {1} right) ) de modo que (A_ { 1} subseteq P ) while (A_ {2} subseteq Q. ) Para simplificar, suponga que el plano corta cada (A_ {i} ) en dos subintervalos (A_ {i} ^ { prime } ) y (A_ {i} ^ { prime prime}. ) (Uno de ellos puede estar vacío).
Luego
[
P = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} ^ { prime} text {y} Q = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} ^ { prime prime }.
]
Sin embargo, en realidad, (P ) y (Q ) se dividen en menos de (m ) (no vacíos) intervalos desde (A_ {1} ^ { prime prime} = emptyset = A_ {2 } ^ { prime} ) por construcción. Por lo tanto, según nuestra suposición inductiva,
[
v P = sum_ {i = 1} ^ {m} v A_ {i} ^ { prime} text {y} v Q = sum_ {i = 1} ^ {m} v A_ {i} ^ { prime prime},
]
donde (v A_ {1} ^ { prime prime} = 0 = v A_ {2} ^ { prime}, ) y (v A_ {i} = v A_ {i} ^ { prime} + v A_ {i} ^ { prime prime} ) por el Problema (8. ) Completa la prueba inductiva mostrando que
[
v A = v P + v Q = sum_ {i = 1} ^ {m} v A_ {i}.]
]


13. La distribución de probabilidad de Poisson

La distribución de Poisson fue desarrollada por el matemático francés Simeon Denis Poisson en 1837.

La variable aleatoria de Poisson cumple las siguientes condiciones:

El número de éxitos en dos intervalos de tiempo separados es independiente.

La probabilidad de éxito durante un pequeño intervalo de tiempo es proporcional a la duración total del intervalo de tiempo.

Aparte de los intervalos de tiempo disjuntos, la variable aleatoria de Poisson también se aplica a regiones disjuntas del espacio.

Aplicaciones

  • el número de muertes por patadas a caballo en el ejército prusiano (primera solicitud)
  • defectos de nacimiento y mutaciones genéticas
  • enfermedades raras (como la leucemia, pero no el SIDA porque es infeccioso y, por lo tanto, no es independiente), especialmente en casos legales
  • accidentes automovilísticos
  • flujo de tráfico y distancia de separación ideal
  • número de errores tipográficos en una página
  • pelos encontrados en hamburguesas de McDonald's
  • propagación de un animal en peligro de extinción en África
  • falla de una máquina en un mes

Notación

Usamos mayúscula variables (como X y Z) para denotar variables aleatoriasy letras minúsculas (como X y z) para denotar valores específicos de esas variables.

El distribución de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson X que representa el número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica del espacio viene dada por la fórmula:

`x = 0, 1, 2, 3.`

`e = 2.71828` (pero usa la calculadora mi botón)

`& mu =` número medio de éxitos en el intervalo de tiempo o región del espacio dados


Ejemplo 2

La gráfica de f (x) = sin (x) + 2 para 0 & # 8804 x & # 8804 2 & # 960 se muestra a continuación. f (0) = f (2 & # 960) = 2 yf es continua en [0, 2 & # 960] y diferenciable en (0, 2 & # 960) por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Rolle, existe al menos un valor (hay puede ser más de uno!) de x = c tal que f '(c) = 0.
f '(x) = cos (x)
f '(c) = cos (c) = 0
La ecuación anterior tiene dos soluciones en el intervalo [0, 2 y # 960]
C 1 = & # 960/2 yc 2 = 3π/2.
Por lo tanto, tanto en x = & # 960/2 como en x = 3 & # 960/2 hay tangentes al gráfico que tienen una pendiente igual a cero (línea horizontal) como se muestra en la figura 2 a continuación.

Figura 2. Teorema de Rolle, ejemplo 2 con dos tangentes


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3.3.E: Problemas sobre intervalos en Eⁿ (Ejercicios) - Matemáticas

Sea $ displaystyle A = sqrt < frac<2>> , $ $ Displaystyle B = sqrt, $ $ 2A ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 , $ $ B ^ 2 = uv. , $ Más

$ Displaystyle begin & (u + v) ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 + 2uv = 2A ^ 2 + 2B ^ 2 & u + v geq A + B Leftrightarrow (u + v) ^ 2 geq (A + B) ^ 2 & 2A ^ 2 + 2B ^ 2 geq (A + B) ^ 2 Leftrightarrow (AB) ^ 2 geq 0. end$

Solucion 2

Contamos con la siguiente propiedad:

$ Displaystyle arctan (a) + arctan (b) = arctan left ( frac<1-a b> right) + mathbb <1> _ <0 leq a b leq 1> pi $

(note el error en Abramowicz & Stigum, p 80)

$ Displaystyle tan left ( arctan (a) + arctan (b) right) = frac<1-a b>, $

$ Displaystyle a, b in left [0, frac < pi> <2> right]. $

Dado que todas las variables están en $ displaystyle left (0, frac < pi> <2> right), , $ $ displaystyle I (u, v) = frac<2> - frac<2>, $, el integrando se convierte misteriosamente en $ x $, entonces

para $ displaystyle a, b, c, in [0, frac < pi> <2>] $, con igualdad para $ a = b = c = 1 $.

En el proceso se encontró un error potencial aterrador en la literatura. La gente parece haberlo sospechado en @StackMath

Riemann Surfaces, más o menos. A continuación se muestra el Abr. & Stig. ahora usado por 50 años!

Reconocimiento

Este es un problema de Dan Sitaru de la Revista Matemática Rumana. Dan me ha enviado amablemente el problema y su solución en un archivo LaTeX, al igual que N. N. Taleb (Solución 2). Aprecio mucho este tipo de consideración.


Comparar distribuciones binomial y de Poisson

La mejor forma de explicar la fórmula de la distribución de Poisson es resolver el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2
Mi computadora se bloquea en promedio una vez cada 4 meses
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se bloquee en un período de 4 meses?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se bloquee una vez en un período de 4 meses?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se bloquee dos veces en un período de 4 meses?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se bloquee tres veces en un período de 4 meses?

Solución al ejemplo 2
a)
El promedio ( lambda = 1 ) cada 4 meses. Por lo tanto, la probabilidad de que mi computadora no se bloquee en un período de 4 meses se escribe como (P (X = 0) ) y está dada por
(P (X = 0) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 1^0> <0!>= 0.36787 )
B)
El promedio ( lambda = 1 ) cada 4 meses. Por lo tanto, la probabilidad de que mi computadora se bloquee una vez en un período de 4 meses se escribe como (P (X = 1) ) y está dada por
(P (X = 1) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 1^1> <1!>= 0.36787 )
C)
(P (X = 2) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 1^2> <2!>= 0.18393 )
D)
(P (X = 3) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 1^3> <3!>= 0.06131 )

Ejemplo 3
Un centro de ayuda al cliente recibe una media de 3,5 llamadas cada hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba como máximo 4 llamadas cada hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos 5 llamadas cada hora?

Solución al ejemplo 3
a)
como máximo 4 llamadas significa que no hay llamadas, 1 llamada, 2 llamadas, 3 llamadas o 4 llamadas.
(P (X le 4) = P (X = 0 o X = 1 o X = 2 o X = 3 o X = 4) )
(= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) )
(= dfrac 3.5 ^ 0> <0!> + Dfrac 3.5 ^ 1> <1!> + Dfrac 3.5 ^ 2> <2!> + Dfrac 3.5 ^ 3> <3!> + Dfrac 3.5^4> <4!>+ )
( = 0.03020 + 0.10569 + 0.18496 + 0.21579 + 0.18881 = 0.72545 )
B)
Al menos 5 clases significan 5 llamadas o 6 llamadas o 7 llamadas u 8 llamadas. que puede escribirse como (x ge 5 )
(P (X ge 5) = P (X = 5 o X = 6 o X = 7 o X = 8.) )
Lo anterior tiene un número infinito de términos. La probabilidad del complemento se puede utilizar de la siguiente manera
(P (X ge 5) = P (X = 5 o X = 6 o X = 7.) = 1 - P (X le 4) )
(P (X le 4) ) ya se calculó arriba. Por eso
(P (X ge 5) = 1 - P (X le 4) = 1 - 0,7254 = 0,2746 )

Ejemplo 4
Una persona recibe en promedio 3 correos electrónicos por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 5 correos electrónicos en un período de dos horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 2 correos electrónicos en un período de dos horas?

Solución al ejemplo 4
a)
Se nos da el promedio por hora, pero pedimos encontrar probabilidades durante un período de dos horas. Por lo tanto, necesitamos encontrar el promedio ( lambda ) durante un período de dos horas.
( lambda = 3 times 2 = 6 ) correos electrónicos durante 2 horas
La probabilidad de que reciba 5 correos electrónicos durante un período de dos horas viene dada por la fórmula de probabilidad de Poisson
(P (X = 5) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 6^5> <5!>= 0.16062 )
B)
Más de 2 correos electrónicos significa 3 correos electrónicos o 4 correos electrónicos o 5 correos electrónicos.
(P (X gt 2) = P (X = 3 o X = 4 o X = 5.) ​​)
Usando el complemento
(= 1 - P (X le 2) )
(= 1 - (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) )
Sustituir por fórmulas
(= 1 - ( dfrac6 ^ 0> <0!> + Dfrac6 ^ 1> <1!> + Dfrac6^2> <2!>) )
( = 1 - (0.00248 + 0.01487 + 0.04462 ) )
( = 0.93803 )

Ejemplo 5
A continuación se muestra la tabla de frecuencia de los goles marcados por un futbolista en cada uno de sus primeros 35 partidos de las temporadas.

Goles marcados, (x ) 0 1 2 3 ( gt ) 3
Frecuencia (coincidencias), (f ) 12 15 6 2 0
Suponiendo que los goles marcados pueden aproximarse mediante una distribución de Poisson, calcule la probabilidad de que el jugador marque
a) un gol en un partido determinado
b) al menos un gol en un partido determinado

Solución al ejemplo 5
a)
Primero calculamos la media ( lambda )
( lambda = dfrac < Sigma f cdot x> < Sigma f> = dfrac <12 cdot 0 + 15 cdot 1 + 6 cdot 2 + 2 cdot 3> <12 + 15 + 6 + 2> aproximadamente 0,94 )
La probabilidad de que marque un gol en un partido viene dada por la fórmula de probabilidad de Poisson
(P (X = 1) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 0.94^1> <1!>= 0.36719 )
B)
Al menos un gol significa 1 o 2 o 3 o 4. metas
(P (X ge 1) = P (X = 1 o X = 2 o X = 3.) )
Usando el complemento
(= 1 - P (X = 0) )
Sustituir por fórmulas
(= 1 - dfrac0.94^0> <0!>)
( = 1 - 0.39062 )
( = 0.60938 )

Ejemplo 6
El número de artículos defectuosos devueltos cada día, durante un período de 100 días, a una tienda se muestra a continuación.

Número de artículos defectuosos, (x ) 0 1 2 3 4 ( gt ) 4
Frecuencia (días), (f ) 50 20 15 10 5 0
Suponiendo que el número de artículos defectuosos puede aproximarse mediante una distribución de Poisson, calcule la probabilidad de que
a) no se devuelve ningún artículo defectuoso en un día determinado
b) se devuelven tres o más artículos defectuosos en un día determinado

Solución al ejemplo 6
a)
Primero calculamos la media ( lambda )
( lambda = dfrac < Sigma f cdot x> < Sigma f> = dfrac <50 cdot 0 + 20 cdot 1 + 15 cdot 2 + 10 cdot 3 + 5 cdot 4> < 50 + 20 + 15 + 10 + 5> = 1 )
La probabilidad de que no se devuelva ningún artículo defectuoso está dada por la fórmula de probabilidad de Poisson
(P (X = 0) = dfrac lambda ^ x> = dfrac 1^0> <0!>= 0.36787 )
B)
Se devuelven al menos tres o más artículos defectuosos, es decir, 3 o 4 o 5. temas o (x ge 3 )
(P (X ge 3) = P (X = 3 o X = 4 o X = 5.) ​​)
Usando el complemento
(= 1 - P (X = 0 o X = 1 o X = 2) )
Usa la fórmula de suma de probabilidades y Poisson por fórmula
(= 1 - ( dfrac 1 ^ 0> <0!> + Dfrac 1 ^ 1> <1!> + Dfrac 1^2><2!>) )
( = 1 - 0.91969 )
( = 0.08031 )

Más referencias y enlaces


3.3.E: Problemas sobre intervalos en Eⁿ (Ejercicios) - Matemáticas

En esta sección queremos encontrar las rectas tangentes a las ecuaciones paramétricas dadas por,

[x = f left (t right) hspace <0.5in> y = g left (t right) ]

Para hacer esto, primero recordemos cómo encontrar la recta tangente a (y = F left (x right) ) en (x = a ). Aquí la línea tangente está dada por,

Ahora, observe que si pudiéramos averiguar cómo obtener la derivada ( frac <><> ) de las ecuaciones paramétricas podríamos simplemente reutilizar esta fórmula ya que podremos usar las ecuaciones paramétricas para encontrar las coordenadas (x ) y (y ) del punto.

Entonces, solo por un segundo, supongamos que pudimos eliminar el parámetro de la forma paramétrica y escribir las ecuaciones paramétricas en la forma (y = F left (x right) ). Ahora, inserte las ecuaciones paramétricas para (x ) y (y ). Sí, parece una tontería eliminar el parámetro y luego volver a colocarlo inmediatamente, pero es lo que tenemos que hacer para tener en nuestras manos la derivada. Hacer esto da,

Ahora, diferencie con respecto a (t ) y observe que necesitaremos usar la regla de la cadena en el lado derecho.

Hagamos otro cambio en la notación. Debemos tener cuidado con nuestras derivadas aquí. Las derivadas de la función en minúsculas son con respecto a (t ) mientras que las derivadas de funciones en mayúsculas son con respecto a (x ). Entonces, para asegurarnos de mantener esto en orden, reescribamos las cosas de la siguiente manera.

En este punto, debemos recordarnos a nosotros mismos lo que buscamos. Necesitábamos una fórmula para ( frac <><> ) o (F ' left (x right) ) que está en términos de las fórmulas paramétricas. Sin embargo, observe que podemos obtener eso de la ecuación anterior.

Derivada para ecuaciones paramétricas

Observe también que esto será una función de (t ) y no de (x ).

Como acotación al margen, observe que también podríamos obtener la siguiente fórmula con una derivación similar si fuera necesario,

¿Por qué querríamos hacer esto? Bueno, recuerde que en la sección de longitud de arco de la sección Aplicaciones de la integral, de hecho, en ocasiones, necesitábamos esta derivada.

Entonces, busquemos una línea tangente.

Tenga en cuenta que aparentemente existe la posibilidad de que haya más de una línea tangente aquí. Analizaremos esto más a fondo una vez que hayamos terminado con el ejemplo.

Lo primero que debemos hacer es encontrar la derivada para poder obtener la pendiente de la recta tangente.

En este punto, tenemos un pequeño problema. La derivada está en términos de (t ) y todo lo que tenemos es una x-y par de coordenadas. El siguiente paso entonces es determinar el valor o valores de (t ) que darán este punto. Los encontramos conectando los valores de (x ) y (y ) en las ecuaciones paramétricas y despejando (t ).

[comenzar0 & = - 4 = left (<- 4> right) & Rightarrow hspace <0.25in> & t = 0, pm 2 4 & = & Flecha derecha hspace <0.25in> & t = pm 2 end]

Cualquier valor de (t ) que aparezca en ambas listas dará el punto. Entonces, dado que hay dos valores de (t ) que dan el punto, de hecho obtendremos dos rectas tangentes. Eso definitivamente no es algo que sucedió en Cálculo I y vamos a necesitar investigar esto un poco más. Sin embargo, antes de hacer eso, obtengamos las líneas tangentes.

(t = - 2: )
Como ya conocemos las coordenadas (x ) y (y ) del punto, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la pendiente de la recta tangente.

La recta tangente (en (t = - 2 )) es entonces,

(t = 2: )
Nuevamente, todo lo que necesitamos es la pendiente.

La recta tangente (en (t = 2 )) es entonces,

Antes de dejar este ejemplo, echemos un vistazo a cómo podríamos obtener dos líneas tangentes en un punto. Definitivamente, esto no fue posible en Cálculo I, donde encontramos por primera vez las líneas tangentes.

Un gráfico rápido de la curva paramétrica explicará lo que está sucediendo aquí.

Entonces, ¡la curva paramétrica se cruza sola! Eso explica cómo puede haber más de una línea tangente. Hay una línea tangente para cada instancia en la que la curva pasa por el punto.

El siguiente tema que debemos discutir en esta sección es el de las tangentes horizontales y verticales. Podemos identificar fácilmente dónde ocurrirán (o al menos las (t ) que los darán) al observar la fórmula de la derivada.

Las tangentes horizontales ocurrirán donde la derivada es cero y eso significa que obtendremos la tangente horizontal en los valores de (t ) para los cuales tenemos,

Tangente horizontal para ecuaciones paramétricas

Las tangentes verticales ocurrirán donde la derivada no esté definida y, por lo tanto, obtendremos tangentes verticales en los valores de (t ) para los que tenemos,

Tangente vertical para ecuaciones paramétricas

Echemos un vistazo rápido a un ejemplo de esto.

Primero necesitaremos las derivadas de las ecuaciones paramétricas.

Tangentes horizontales
Tendremos tangentes horizontales donde,

[6t = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> t = 0 ]

Ahora, este es el valor de (t ) que da las tangentes horizontales y se nos pidió que encontráramos el x-y coordenadas del punto. Para obtener estos, solo necesitamos insertar (t ) en las ecuaciones paramétricas. Por lo tanto, la única tangente horizontal ocurrirá en el punto ( left (<0, - 9> right) ).

Tangentes verticales
En este caso tenemos que resolver,

[3 left (<- 1> right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> t = pm 1 ]

Las dos tangentes verticales ocurrirán en los puntos ( left (<2, - 6> right) ) y ( left (<- 2, - 6> right) ).

En aras de la integridad y al menos una verificación parcial, aquí está el bosquejo de la curva paramétrica.

El tema final que necesitamos discutir en esta sección realmente no está relacionado con las rectas tangentes, pero encaja muy bien con la derivación de la derivada que necesitábamos para obtener la pendiente de la recta tangente.

Antes de pasar al nuevo tema, recordemos primero la fórmula de la primera derivada y, en el proceso, la reescribamos ligeramente.

Escrito de esta manera, podemos ver que la fórmula en realidad nos dice cómo diferenciar una función (y ) (como una función de (t )) con respecto a (x ) (cuando (x ) es también una función de (t )) cuando estamos usando ecuaciones paramétricas.

Pasemos ahora al tema final de esta sección. También nos gustaría saber cómo obtener la segunda derivada de (y ) con respecto a (x ).

Obtener una fórmula para esto es bastante simple si recordamos la fórmula reescrita para la primera derivada anterior.

Segunda derivada para ecuaciones paramétricas

Es importante observar que,

Trabajemos con un ejemplo rápido.

Este es el conjunto de ecuaciones paramétricas que usamos en el primer ejemplo, por lo que ya tenemos los siguientes cálculos completados.

Primero necesitaremos lo siguiente,

La segunda derivada es entonces,

Entonces, ¿por qué querríamos la segunda derivada? Bueno, recuerde de su clase de Cálculo I que con la segunda derivada podemos determinar dónde una curva es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Podríamos hacer lo mismo con ecuaciones paramétricas si quisiéramos.

Para calcular la segunda derivada, primero necesitaremos lo siguiente.

Tenga en cuenta que también podemos usar la primera derivada anterior para obtener información sobre la naturaleza creciente / decreciente de la curva. En este caso, parece que la curva paramétrica aumentará si (t & lt 0 ) y disminuirá si (t & gt 0 ).

Pasemos ahora a la segunda derivada.

Está claro, con suerte, que la segunda derivada solo será cero en (t = 0 ). Usando esto podemos ver que la segunda derivada será negativa si (t & lt 0 ) y positiva si (t & gt 0 ). Entonces, la curva paramétrica será cóncava hacia abajo para (t & lt 0 ) y cóncava hacia arriba para (t & gt 0 ).


3.3.E: Problemas sobre intervalos en Eⁿ (Ejercicios) - Matemáticas

1) ¿Cuánto dinero debe depositar ahora al 6% de interés compuesto trimestralmente para poder retirar $ 3,000 al final de cada trimestre durante dos años?

2) Suponga que invirtió $ 1000 por trimestre durante un período de 15 años. Si el dinero gana una tasa anual de 6.5% compuesta trimestralmente, ¿cuánto estaría disponible al final del período de tiempo? ¿Cuánto se gana el interés?

3) Un banco presta a una familia $ 90,000 a una tasa de interés anual del 4.5% para comprar una casa. La familia se compromete a cancelar el préstamo mediante pagos mensuales durante un período de 15 años. ¿Cuánto debe ser el pago mensual para saldar la deuda en 15 años?

4) Suponga que ha seleccionado un automóvil nuevo para comprarlo por $ 19,500. Si el automóvil se puede financiar durante un período de 4 años a una tasa anual de 6,9% compuesto mensualmente, ¿a cuánto ascenderán sus pagos mensuales? ¿Cuánto de su primer pago son intereses? ¿Cuánto de su segundo pago son intereses?

5) Suponga que necesitará $ 12 000 en 3 años. ¿Cuánto debe invertir por mes para tener $ 12,000 si el dinero gana una tasa anual compuesta del 6% mensualmente? ¿Cuánto de los $ 12000 son intereses?

6) Suponga que en su cumpleaños número 21 comienza a hacer pagos mensuales de $ 500 en una cuenta que paga un 8% compuesto mensualmente. Si continúa con los pagos hasta que cumpla 51 años (30 años), ¿cuánto dinero habrá en la cuenta? ¿Cuánto de eso es interés?

7) Suponga que sus padres deciden darle $ 10,000 para que los ponga en un fondo fiduciario universitario que se pagará en cuotas trimestrales iguales durante un período de 5 años. Si deposita el dinero en una cuenta pagando 1.5% por cuarto, cuánto son los pagos trimestrales (suponga que la cuenta tendrá un saldo cero al final del período). Pista: ¿Qué es i?

8) Suponga que los padres de un niño comienzan a hacer pagos trimestrales de $ 1,000 en una cuenta que paga el 7% compuesto trimestralmente. Los pagos comienzan a partir del décimo cumpleaños. ¿Cuánto estará disponible en el a) 15 y b) 21 cumpleaños?

9) ¿Cuánto tiempo tardarán los pagos mensuales de $ 500 en tener un valor futuro de $ 100,000 si el dinero gana un 6% compuesto mensualmente? Debes resolver esto usando la fórmula apropiada que requerirá logaritmos.

10) Finalmente encontró la casa de sus sueños. Se vende por $ 120,000 y se puede comprar pagando un 10% de anticipo y financiando el saldo a una tasa anual de 9,6% compuesta mensualmente.

a) ¿A cuánto ascienden sus pagos si paga mensualmente durante 30 años?

B) Determine cuánto se pagaría en intereses.

C) Determine el pago después de que se hayan realizado 100 pagos.

D) Cambie la tasa al 8,4% y el tiempo a 15 años y calcule el pago.

mi) Determine cuánto se pagaría en intereses y compárelo con el interés anterior. (al dólar más cercano)

11) Los expertos dicen que la generación del baby boom (nacidos entre 1946 y 1960) no puede contar con una pensión de la empresa o los beneficios del Seguro Social para proporcionar una jubilación cómoda. Se recomienda que comiencen a ahorrar con regularidad y temprano. Michael, un baby boom, ha decidido depositar $ 200 cada mes en una cuenta que paga un 7,2% compuesto mensualmente durante 20 años.

a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al final de los 20 años?

B) Suponga que Michael ha determinado que necesita acumular $ 130 000 de esta anualidad. ¿Qué tasa alcanzaría este objetivo (utilice gráficos)?

C) Si no puede obtener la tasa más alta, ¿qué monto deberían ser sus pagos para lograr la meta?

D) Suponga que Michael no puede obtener la tasa de interés más alta ni aumentar sus pagos. ¿Cuántos meses necesitaría invertir para lograr su objetivo? Utilice registros.

12) Un hombre compró una casa hace 10 años valorada en $ 80.000. Pagó el 20% de anticipo y firmó una hipoteca a 30 años con una tasa de interés anual compuesta del 6,6% mensual. Hoy, el valor de mercado neto de la casa es de $ 120 000. ¿Cuánto capital tiene el hombre en la casa hoy?

En el resto, no enumeré el tipo.

13) EQUIDAD: La familia Jones compró una casa de $ 150,000 hace 14 años. Pagaron un 10% de anticipo y financiaron el saldo restante durante un período de 30 años. Su tasa de interés anual es 4.8% compuesto mensualmente y el valor de mercado actual de la vivienda es de $ 190,000. ¿Cuánto capital (monto en dólares más cercano) tienen los Jones en su casa?

14) El Sr. Ray ha depositado $ 150 por mes en una anualidad ordinaria. Después de 14 años, la anualidad vale $ 85,000. Qué tarifa anual compuesto mensualmente, ¿ha ganado esta anualidad durante el período de 14 años? Resuelve graficando.

15) Resolver la tasa en un problema de PV

Suponga que desea comprar un automóvil de $ 20 000 y pagarlo en 60 pagos mensuales de $ 375 por pago. ¿Cuál es la tasa de interés anual que le permitirá saldar la deuda en exactamente 60 pagos? Resuelve usando una calculadora gráfica.

16) Marie ha determinado que necesitará $ 5000 por mes durante la jubilación durante un período de 30 años. Ella ha pronosticado que su dinero ganará 7.2% compuesto mensualmente. Marie pasará 25 años trabajando para lograr este objetivo invirtiendo mensualmente a una tasa anual del 7.2%. ¿Cuánto deberían ser los pagos mensuales de Marie durante sus años de trabajo para satisfacer sus necesidades de jubilación? Sugerencia: averigüe cuánto debe tener Marie al jubilarse, luego encuentre los pagos mensuales para alcanzar esa meta.

16b) ¿Qué cantidad máxima podría retirar Marie cada mes para que su saldo nunca disminuya (el dólar más cercano)?


Ejercicios 8.3.1 Ejercicios

Ejercicio 1

Primero hacemos un diagrama de la situación.

A continuación, explicamos las distintas cantidades y tasas del problema.

Cuánto ha subido el globo desde que se lanzó.

¿Qué tan lejos está el observador del globo (t ) segundos después de que se soltó?

La velocidad a la que sube el globo.

La velocidad a la que cambia la distancia entre el observador y el globo.

A continuación, encontramos una ecuación que relaciona las cantidades y la usamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas.

Cuando el globo está (400 ) pies en el aire, podemos determinar los valores de algunas de las variables de la ecuación de tasas relacionada.

Variable Lo que sabemos
(h ) El valor de esta variable es (400 text <.> )
(D) El valor de esta variable es (d = sqrt <300 ^ 2 + 400 ^ 2> = 500 text <.> )
( lz) El valor de esta variable es (10 ​​ text <.> )
( lz) Esta es la variable que necesitamos resolver.
Tabla 8.3.3 Lo que sabemos sobre las variables en el momento descrito

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación de tasas relacionada y resolver para ( lz text <.> )

Entonces, cuando el globo está (400 ) pies en el aire, la distancia entre el observador y el globo aumenta a una velocidad de (8 ) pies ⁄s.

Ejercicio 2

Primero hacemos un diagrama de la situación.

A continuación, explicamos las distintas cantidades y tasas del problema.

Qué tan lejos ha corrido Rex (t ) segundos después del fuerte ruido.

Qué tan lejos ha corrido Muffin (t ) segundos después del fuerte ruido.

La distancia entre Muffin y Rex (t ) segundos después del fuerte ruido.

La velocidad a la que Rex está corriendo (t ) segundos después del ruido fuerte.

La velocidad a la que Muffin se está ejecutando (t ) segundos después del ruido fuerte.

La velocidad a la que cambia la distancia entre Rex y Muffin (t ) segundos después del ruido fuerte.

A continuación, encontramos una ecuación que relaciona las cantidades y la usamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas.

Tres segundos después de su ejecución, podemos determinar los valores de algunas de las variables de la ecuación de tasas relacionada.

El valor de esta variable es (3 cdot2.1 = 6.3 text <.> )

El valor de esta variable es (3 cdot1.7 = 5.1 text <.> )

Usando el diagrama y el Teorema de Pitágoras, encontramos que (d = sqrt <6.3 ^ 2 + 5.1 ^ 2> approx8.105 ldots text <.> )

El valor de esta variable es (2.1 text <.> )

El valor de esta variable es (1.7 text <.> )

Esta es la variable que necesitamos resolver.

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación de tasas relacionada y resolver para ( lz text <.> )

Entonces (3 ) s después de que los animales comienzan a correr, la distancia entre ellos aumenta a una velocidad de aproximadamente (2.701 ) ft ⁄s.

Ejercicio 3

Primero hacemos un diagrama de la situación.

A continuación, explicamos las distintas cantidades y tasas del problema.

La distancia entre las puntas de las manos en el momento (t text <.> )

El ángulo de la manecilla de los minutos a la manecilla de las horas en el momento (t text <.> )

La velocidad a la que cambia la distancia entre las puntas de las manos en el tiempo (t ).

La velocidad a la que cambia el ángulo entre la manecilla de los minutos y la manecilla de las horas en el momento (t ).

A continuación, encontramos una ecuación que relaciona las cantidades y la usamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas. Aquí podemos usar la Ley de los cosenos.

Cuando el minutero llega a 12, podemos determinar los valores de algunas de las variables de la ecuación de tasas relacionada.

El valor de esta variable se encuentra usando la Ley de los cosenos: (d = sqrt <30 ^ 2 + 20 ^ 2-2 (30) (20) fe < cos> < frac <2 pi> < 3 >>> approx43.58 ldots text <.> )

El valor de esta variable es ( frac <2 pi> <3> text <.> )

Esta es la variable que necesitamos resolver.

El valor de esta variable es (- frac <2 pi> <60> text <,> ) ya que el minutero realiza una revolución completa cada (60 ) min. Es negativo, porque en el momento que estamos investigando, el minutero se acerca a la manecilla de las horas.

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación de tasas relacionada y resolver para ( lz text <.> )

Entonces, cuando el minutero llega al 12, la distancia entre las puntas de las dos manecillas disminuye a una velocidad de aproximadamente (1.248 ) cm ⁄min.

Ejercicio 4

Primero hacemos un diagrama de la situación.

A continuación, explicamos las distintas cantidades y tasas del problema.

La distancia desde la base de la lámpara hasta donde se encuentra Bahram en el momento (t text <.> )

La longitud de la sombra de Bahram en el momento (t text <.> )

La velocidad a la que la distancia de Bahram desde la base del poste de luz cambia en el momento (t text <.> )

La velocidad a la que cambia la longitud de la sombra de Bahram en el tiempo (t text <.> )

A continuación, encontramos una ecuación que relaciona las cantidades y la usamos para encontrar la ecuación de tasas relacionadas. Aquí podemos usar triángulos similares.

Cuando Bahram está a (80 ) pies de la base de la lámpara, podemos determinar los valores de algunas de las variables de la ecuación de tasas relacionada.

El valor de esta variable es (80 text <.> )

El valor de esta variable se puede encontrar usando la cita de triángulos similares, pero dado que esta variable no aparece en la ecuación de tasas relacionada, no es necesario encontrar su valor.

Dado que Bahram camina a un ritmo de (2 ) pies ⁄s emph la lámpara, el valor de esta variable es (- 2 text <.> )

Ésta es la variable que debemos resolver.

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación de tasas relacionada y resolver ( lz < ell> text <.> )

Entonces, cuando Bahram está a (80 ) pies del poste de luz, acercándose a él con un ritmo de (2 ) pies ⁄s, su sombra está disminuyendo en longitud a una tasa de aproximadamente (0.3188 ) pies ⁄s.

Ejercicio 5

Realmente no necesitamos un diagrama aquí, ya que se ha dado la ecuación que relaciona las diversas cantidades. Teniendo en cuenta las diversas cantidades y tasas en el problema:

La distancia entre los centros de masa de los dos objetos en el tiempo (t text <.> )

La fuerza gravitacional entre los dos objetos en el momento (t text <.> )

La velocidad a la que cambia la distancia entre los centros de masa de los dos objetos en el tiempo (t text <.> )

La velocidad a la que cambia la fuerza gravitacional entre los dos objetos en el momento (t text <.> )

Se nos ha dado una ecuación que relaciona las cantidades y podemos usarla para encontrar la ecuación de tasas relacionada.

En el momento en consideración, podemos determinar los valores de algunas de las variables de la ecuación de tasas relacionada.

El valor de esta variable es (250 text <.> )

Esta variable no aparece en la ecuación de tasas relacionada, por lo que no es necesario calcularla.

The value of this variable is negative, since the objecta are getting closer to each other. Given their speeds at the moment under consideration, the value of (lz) is (-(0.9+0.5)=-1.4 ext<.>)

This is the variable for which we must solve.

Now we can substitute these values into the related rates equation and solve for (lz text <.> )

So at the moment when the objects are (250) km apart, the gravitational force between them is increasing at a rate of (0.2688G) newtons per hour. ((G) is measured in N km 2 ⁄kg 2 .)

Exercise 6

First we make a diagram of the situation.

Next we account for the various quantities and rates in the problem. Note that an angle and an angle rate were given in terms of degrees, but we should convert to radians because the derivatives that we are familiar with for trigonometric functions assume that radians are in use.

The angle between the pendulum and the vertical.

The distance from the pendulum weight to the table.

The rate at which the angle between the pendulum and the vertical is changing at time (t ext<.>)

The rate at which the distance from the pendulum weight to the table is changing at time (t ext<.>)

Next we find an equation that relates the quantities, and use it to find the related rates equation. Here we can use the cosine formula for an angle of a right triangle.

At the moment in questio, we can determine the values of some of the variables form the related rates equation.

The value of this variable is (frac<4> ext<.>)

This variable does not appear in the related rates equation, so there is no need to solve for it.

The value of this variable is (-25frac<180> ext<,>) or just (-frac<5><36>pi ext<.>)

This is the variable for which we must solve.

Now we can substitute these values into the related rates equation and solve for (lz text <.> )

So at the moment in question, the distance between the pendulum weight and the table is decreasing with a rate of about (5.553) in ⁄s.


New exercises and problems in MathematicsNovember 2004

Please read The Rules of the Problem Solving Competition.

New exercises for beginners

Solutions can be submitted only by students of grade 9. Maximum score for each exercise (sign "K") is 6 points.

K. 13. Determine the last two digits of the sum 7 1 +7 2 +. +7 2005 .

K. 14. There are several roads connecting three towns Downton, Upton and Middleton. The number of direct roads between any pair of towns is at least 3 and at most 10. There are 33 different paths from Downton to Upton, including roads that lead there directly as well as paths passing through Middleton. Similarly, one can go from Middleton to Upton directly or through Downton in 23 different ways. Given the information above, how many different paths are there altogether from Middleton to Downton (including direct roads as well as paths passing through Upton)? Example: In the Figure there are 2 direct roads from Downton ( A ) to Uptown ( F ) and there are 3 . 2=6 paths through Middleton ( K ), which make 8 paths altogether.

K. 15. The convex quadrilateral ABCD has an angle of 100 o at vertex A . Given that the diagonal AC divides the quadrilateral into an equilateral triangle and an isosceles triangle, calculate the measures of the interior angles of the quadrilateral.

K. 16. a ) Using each of the digits 9, 8, 7, 6 once, form two two-digit numbers such that their product is maximal. b ) Using each of the digits 9, 8, 7, 6, 5, 4 once, form three two-digit numbers such that their product is maximal. Give reasons for your answer.

K. 17. The sides of the concave quadrilateral ABCD are AB =13 cm, BC =4 cm, CD =3 cm, DA =12 cm, and its interior angle at vertex C is 270 o . Find the area of the quadrilateral.

K. 18. Determine the four distinct digits a , b , c and d , such that (displaystyle overline:overline=4), where (displaystyle overline) and (displaystyle overline) denote four-digit numbers.

K. 12. For how many positive numbers n is it true that 2004 n is a factor of 2004! ? [2004! denotes the product of integers from 1 to 1024.] (Suggested by Á. Englert, Zalaegerszeg.)

New exercises

Maximum score for each exercise (sign "C") is 5 points.

C. 780. There were three problems posed in a mathematics competition. The first problem was solved by 85 percent of the participants, the second one was solved by 80 percent and the last one by 75 percent. Prove that at least 40 percent solved all three problems.

C. 781. Find the positive primes p > q > r , such that p 2 - ( q + r ) 2 =136.

C. 782. A sailboat is travelling parallel to the shore of the lake Balaton, at a distance of 200 metres. A swimmer wants to reach the approaching sailboat by moving along a straight line. At what angle to the shore should he leave if the speed of the boat is 15 km/h, the speed of the swimmer is 2 km/h, and at start his distance from the point of the shore that is closest to the boat is 2 km? (Suggested by L. Koncz, Budapest)

C. 783. The shaded region in the figure is bounded by the arms of the 30 o angle of vertex A and a circular arc centred at the point O . Find the area of the region, given that AO = AB =1.

C. 784. In the cuboid ABCDEFGH (with vertices labelled in the conventional way), AE = 1, AD = 2, AB =3. Find the volume of the solid whose vertices are A , C , and the midpoints of the edges around the face EFGH .

New problems

The maximum scores for problems (sign "B") depend on the difficulty. It is allowed to send solutions for any number of problems, but your score will be computed from the 6 largest score in each month.

B. 3762. Two cylindrical tanks were filled with water. At 12 noon, two pumps of the same power started to pump the water, one from each tank, at a constant rate. At 2 p.m. the water levels were the same. At 5 p.m. the first tank was finished, and at 8 p.m. the second tank became empty, too. If the height of the second tank is 10 metres, how tall is the first one? ( 3 points )

B. 3763. P is a point in the interior of a convex quadrilateral ABCD . Prove that

PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 (displaystyle ge)2 t ABCD .

B. 3764. C 1 divides the side AB of an equilateral triangle ABC in a ratio 1:3. (It lies closer to A .) The points A 1 , A 2 and A 3 divide the side BC into four equal parts. Find the sum of the angles AA 1 C 1 , AA 2 C 1 and AA 3 C 1 . ( 4 points )

B. 3765. Given that the product of each pair out of 25 different positive integer not greater than 1000 is a perfect square, prove that the numbers themselves are also square numbers. ( 4 points )

B. 3766. There were four problems in a mathematics competition. The first problem was solved by 85 percent of the participants, the second one was solved by 80 percent, the third one was solved by 75 percent and the last one by 70 percent. What percentage of the participants, at least, must have solved all four problems? ( 4 points )

B. 3767. (displaystyle alpha), (displaystyle eta), (displaystyle gamma) are the angles of a triangle. Given that sin (displaystyle alpha)+sin (displaystyle eta)=(cos (displaystyle alpha)+cos (displaystyle eta))sin (displaystyle gamma), determine the angle (displaystyle gamma). ( 3 points )

B. 3768. A rectangle T 0 is cut into two non-congruent but similar rectangles T 1 and T 1 ' with a line parallel to a side. The procedure is repeated for the resulting rectangle T 1 . Then it is repeated again for one of the parts obtained, and so on. Is there a rectangle T 0 , such that the procedure can be repeated to infinity? ( 5 points )

B. 3769. Given three tangents and one focus of an ellipse, construct by ruler and compass, the other focus. ( 4 points )

B. 3770. Into how many parts do the planes of the faces of a regular octahedron divide the space? ( 5 points )

B. 3771. Let (displaystyle a_k=frac<1><inom>), (displaystyle b_k=frac<1><2^>), k = 1,2. n . Prove that

New advanced problems

Maximum score for each advanced problem (sign "A") is 5 points.

A. 356. The sequence P n ( x ) of polynomials is defined by the following recurrence: P 0 ( x )=0, P 1 ( x )=1 and P n ( x )= x . P n -1 ( x )+(1- x ) . P n -2 ( x ). What are the roots of P n ( x )?

A. 357. k 1 , k 2 , k 3 , . are disjoint circles. The radius of the circle k i is (displaystyle frac<1>) and its centre is P i . Is it possible for the sequence of points P i to be convergent?


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