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4.1: Serie de Taylor - Matemáticas


Una serie que ha encontrado antes es la serie de Taylor,

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ { infty} f ^ {(n)} (a) frac {(xa) ^ n} {n!}, label {eq: IV: taylor} ]

donde (f ^ {(n)} (x) ) es la (n ) ésima derivada de (f ). Un ejemplo es la serie de Taylor del coseno alrededor de (x = 0 ) (es decir, (a = 0 )),

[ begin {alineado} && qquad & cos (0) & = 1, nonumber cos '(x) & = - sin (x), && cos' (0) & = 0, sin número cos ^ {(2)} (x) & = - cos (x), && cos ^ {(2)} (0) & = - 1, cos ^ {(3)} (x) & = sin (x), && cos ^ {(3)} (0) & = 0, nonumber cos ^ {(4)} (x) & = cos (x), && cos ^ {(4)} (0) & = 1. end {alineado} ]

Observe que después de cuatro pasos volvemos a donde comenzamos. Por lo tanto, hemos encontrado (usando (m = 2n ) en ( ( PageIndex {1} ))))

[ cos x = sum_ {m = 0} ^ infty frac {(- 1) ^ m} {(2m)!} x ^ {2m}, ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Muestre que [ sin x = sum_ {m = 0} ^ infty frac {(- 1) ^ m} {(2m + 1)!} X ^ {2m + 1}. sin número]

Respuesta

TBA


Usamos polinomios porque se pueden calcular en una máquina solo usando la multiplicación y la suma.

Ya hemos conocido a uno Polinomio de Taylor, en la sección 3.2 cuando buscábamos aproximar una función por su tangente en el método de Newton. La idea de la serie de Taylor es que emparejaremos cada derivada de un polinomio con la derivada de la función en un punto particular (b ) (esto se llama "interpolación de Hermite" en el comercio).

Comenzaremos con el caso simple (b = 0 ). Probemos con un polinomio de grado 2 y una función arbitraria (f ). Deje [p_2 (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2, tag <5.1> ] y queremos [ begin p_2 (0) & amp = & amp f (0), p_2 ^ <& # 39> (0) & amp = & amp f ^ <& # 39> (0), < rm y> p_2 ^ <& # 39 & # 39> (0) & amp = & amp f ^ <& # 39 & # 39> (0). fin] Si dejamos (x = 0 ) en (5.1) obtenemos [a_0 = f (0). ] Vamos a diferenciar ahora (p_2 ^ <& # 39> (x) = a_1 + 2a_2 x ). Si sustituimos (x = 0 ) obtenemos [p_2 ^ <& # 39> (0) = a_1 = f ^ <& # 39> (0). ] Diferenciando por segunda vez obtenemos (p_2 ^ <& # 39 & # 39> (x) = 2a_2 ). Sustituyendo en (x = 0 ) da [p_2 ^ <& # 39 & # 39> (0) = 2a_2 = f ^ <& # 39 & # 39> (0), ] de modo que [a_2 = (0) over 2>. ] Por lo tanto, nuestro polinomio aproximado es [p_2 (x) = f (0) + f ^ <& # 39> (0) x +(0) over 2> x ^ 2. etiqueta <5.2> ]

Ejemplo 5.1 Probemos la idea en una función particular (f (x) = sqrt <1 + x> ). Entonces [ begin f (0) & amp = & amp sqrt <1> = 1 f & # 39 (x) & amp = & amp <1 over 2 sqrt <1 + x >> Rightarrow f & # 39 (0) = <1 más de 2> f & # 39 & # 39 (x) & amp = & amp - <1 over 4 ( sqrt <1 + x>) ^ 3> Rightarrow f & # 39 & # 39 (0) = - <1 over 4>. fin] Sustituyendo en (5.2) obtenemos [P_2 (x) = 1 + - x ^ 2. ]

Ahora veamos si esta es una buena aproximación. Usemos la última ecuación para aproximar ( sqrt <1.1> = 1.0488088 ) a 7 lugares decimales. Nuestra aproximación es [P_2 (0.1) = 1+ <0.1 over 2> - <(0.1) ^ 2 over 8> = 1.04875. ] Por tanto, nuestra estimación es aproximadamente (0,00005 ).

Suponga que usamos (p_2 ) para aproximar ( sqrt <1.2> = 1.0954451 ) a 7 lugares decimales. Nuestra aproximación es [P_2 (0.2) = 1+ <0.2 over 2> - <(0.2) ^ 2 over 8> = 1.095. ] Por lo tanto, nuestra estimación es aproximadamente (0,0004 ), por lo que el error ha aumentado casi 10 veces. Regresaremos a las estimaciones de error teórico para la serie de Taylor el próximo semestre.

Podemos ver arriba que cuanto mayor es el grado de aproximación polinomial, mejor se vuelve. En este enlace

puede ver ejemplos de aproximaciones de la serie de Taylor para una variedad de funciones y observar cómo mejoran a medida que aumenta el grado del polinomio.

De manera más general, podemos buscar en la serie de Taylor un punto (b ). Para calcular esto, es más conveniente utilizar una base para los polinomios. Una base es una idea que verá más en el álgebra lineal. Es un conjunto de objetos que usamos para representar nuestra información. Para el punto (b ) me gustaría que mi polinomio se escribiera en la forma [p_n (x) = a_0 + a_1 (xb) + a_2 (xb) ^ 2 + cdots + a_n (xb) ^ n = suma_^ n a_i (x-b) ^ yo. ] En un segundo quedará claro por qué es una buena idea. Encontraremos (a_i ) haciendo coincidir la (i ) ésima derivada de (p_n ) con la (i ) ésima derivada de nuestra función objetivo (f ), que estamos tratando de aproximar. Si diferenciamos (p_n ) (j ) veces obtenemos [p_n ^ <(j)> (x) = j! a_j + (j + 1)! a_(x-b) + <(j + 2)! over 2> (x-b) ^ 2 + cdots + a_n(x-b) ^. ] Si ponemos (x = b ) en esto, vemos que [p_n ^ <(j)> (b) = j! a_j. ] Como deseamos hacer (p_n ^ <(j)> (b) = f ^ <(j)> (b) ), obtenemos [a_j = (b) sobre j!>. ] Si hubiéramos usado [p_n (x) = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + cdots + a_nx ^ n, ] entonces todos los términos mayores que el (j ) th término no se habrían convertido en 0 y hubiéramos tenido un lío horrible. Por lo tanto, tenemos la siguiente definición para el Polinomio de Taylor:

En el siguiente código graficamos polinomios de Taylor de grado 0, 1, 2 y 3.

Observación. La selección de una buena base es una de las habilidades matemáticas más importantes a desarrollar. Una mala elección de la base puede hacer que el problema sea casi imposible de resolver. Una buena elección puede hacer que sea trivial.

Ejemplo 5.3 Calcule la serie de Taylor para (f (x) = <1 over 1 + x> ) en (x = 1 ). ¿Cuántos términos de la serie necesitas para obtener 2 lugares decimales de precisión para estimar (f (1.1) )?


La expansión se basa en la identidad de la escuela secundaria: $ 1-x ^ n = (1-x) (1 + x + x ^ 2 + dots + x ^) $ que se puede reescribir como $ frac 1 <1-x> = 1 + x + x ^ 2 + dots + x ^+ frac<1-x>. $ Ahora sustituya $ -x ^ 2 $ por $ x $ en esta fórmula y obtendrá exactamente la fórmula del libro.

Aparte de eso, también puede obtener el mismo resultado, no por división larga, sino por división a lo largo poderes crecientes de $ 1 $ por $ 1 + x ^ 2 $. Como ejemplo, aquí está esta división hasta ordenar $ 8 $: begin & amp & amp phantom <-> 1-x ^ 2 + x ^ 4-x ^ 6 1 + x ^ 2 & amp Bigl (& amp phantom <-> not1 & amp & amp - not1-x ^ 2 & amp & amp phantom <-1> enspace + x ^ 2 + x ^ 4 & amp & amp phantom <-1 enspace + x ^ 2> -x ^ 4- x ^ 6 & amp & amp phantom <-1 enspace + x ^ 2 -x ^ 4> + x ^ 6 + x ^ 8 & amp & amp phantom <-1 enspace + x ^ 2 -x ^ 4 + x ^ 6> + x ^ 8 end Entonces, el resto del pedido $ 8 $ es $ x ^ 8 $, y esta división significa que $ 1 = (1-x ^ 2 + x ^ 4-x ^ 6) (1 + x ^ 2) + x ^ 8 implica frac 1 <1 + x ^ 2> = 1-x ^ 2 + x ^ 4-x ^ 6 + frac<1 + x ^ 2>. $


Capítulo 4 La función exponencial

Desde los albores del comercio, los seres humanos han estado cobrando intereses por préstamos y depósitos.

Interés simple es cuando cobra intereses solo sobre la cantidad original. Entonces, en un préstamo de £ 200 al 5% de interés, pagaría solo £ 10 por año. Por lo tanto, sin reembolso, la cantidad que adeuda sería £ (200 + 10n ) después del (n ) año.

Interés compuesto es cuando la cantidad de interés del año anterior se incluye en la cantidad sobre la que paga intereses. Entonces, al final del primer año, deberías £ 210 exactamente como con un interés simple. Sin embargo, luego paga un interés del 5% sobre esto, lo que da £ 210 (1 + 0.05) = £ 220.50. En la siguiente tabla, puede ver qué tan rápido aumenta la cantidad adeuda:

Tabla 4.1: Interés compuesto.
Año Interesar
0 200
1 210 = 200(1+0.05)
2 220.50=210(1+0.05)
3 231.525=220.50(1+0.05)
4 243.101=231.525(1+0.05)

Entonces, en el (n ) ao año deberías £ (200 (1 + 0.05) ^ n ).

Suponga que el prestamista decide capitalizar los intereses mensualmente en lugar de anualmente. A una tasa de interés de (r )% anual sobre un préstamo de (L ), entonces debemos [V_ <12> = L left (1+ derecha) ^ <12>. ] ¿Esta cantidad será mayor o menor que la cantidad que obtiene al capitalizar una sola vez?

Supongamos que decidimos componer semanalmente o incluso diariamente. Entonces obtendríamos, respectivamente, [V_ <52> = L left (1+ right) ^ <52>, ] y [V_ <365> = L left (1+ derecha) ^ <365>. ]

Para investigar esto numéricamente, consideremos el caso cuando (L = 1 ) y (r = 1 ). [V_ = left (1+ <1 over n> right) ^. ]


5.2 Forma polar para números complejos

Richard Feynman, el famoso físico, llamó a la siguiente ecuación nuestra joya "y la fórmula más notable de las matemáticas".

Por lo tanto, ( exp (i theta) ) es un número complejo con una parte real ( cos theta ) y una parte imaginaria ( sin theta ). Si grafica esto, podemos ver que ( exp ( theta theta) ) es un número complejo de longitud 1 en el ángulo ( theta ) con el eje real.

Ejemplo 5.4 Escribe (z = 2 + 4i ) en la forma (z = r exp (i theta) ).

El módulo de (z ) (r = sqrt <2 ^ 2 + 4 ^ 2> = sqrt <20> ). Tenemos ( theta = < rm arg ,> z = arctan (4/2) = 1,11 ) radianes.

En este código, puede cambiar las partes real e imaginaria del número complejo de entrada y ver cuáles son el módulo y el argumento. El código está escrito de modo que (- pi & lt theta le pi ).


2 Aproximaciones polinomiales

Se utilizan muchos tipos diferentes de funciones en matemáticas y física. Mientras que algunas funciones, como

son funciones polinomiales, otros, como

Una función pag& thinsp(X) es un función polinómica de X (o en X) si se puede expresar en la forma

pag& thinsp(X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + . + anorteX & thinspnorte (7)

en otras palabras, como una suma de poderes de X, con cada potencia multiplicada por un coeficiente (a0, a1, etcétera). Los poderes de X son números enteros no negativos.

Si bien es fácil ver que expresiones como 1 + 2X &menos X 2 y menos X 3 y X 5 + (X & menos 1) 4 son polinomios en X, no siempre es tan fácil. Por ejemplo,

es en realidad un polinomio en X (de hecho & minus4 + X 2), pero puede que sea necesario pensar unos momentos para ver por qué es así.

✦ ¿Cuáles de los siguientes son polinomios en X?

(a) 1 + X + (X & menos 1) 2, (b) 1 + e X + e 2X , (c) $ dfrac <1> <1 + x + x ^ 2> $, (d) $ 1 + dfrac <1> + dfrac <1> + dfrac <1>^3$.

& # 10023 Solo (a) es un polinomio en X.

La potencia más alta de la variable en un polinomio se conoce como grado_de_un_polinomio grado del polinomio. Por ejemplo, en la expresión anterior para pag& thinsp(X) (Ecuación 7) el grado es norte (asumiendo que anorte es distinto de cero).

¿Cuáles son los grados de las funciones polinomiales? F& thinsp(X), gramo& thinsp(X) y h& thinsp(X), definido en las ecuaciones 1, 2 y 3?

$ g (x) = 1 + dfrac <2> - dfrac<8> $ (ecuación 2)

h& thinsp(X) = 1 + X (Ecuación 3)

F& thinsp(X), gramo& thinsp(X) y h& thinsp(X) son de grado 5, 2 y 1, respectivamente.

Los polinomios de orden inferior a menudo reciben nombres especiales. Los polinomios de grado cero son simplemente constantes a los polinomios de grado uno se les llama lineal los de grado dos se llaman cuadrático y los de grado tres se llaman cubic_function cubic. I

Una propiedad importante de cualquier polinomio, pag& thinsp(X), es que por cualquier valor de X, El valor de pag& thinsp(X) se puede calcular simplemente usando las operaciones aritméticas de suma (o resta) y multiplicación. Este no es el caso de muchas otras funciones (por ejemplo, tu& thinsp(X), v& thinsp(X) y w& thinsp(X), definido en las ecuaciones 4, 5 y 6)

y puede ser muy útil conocer aproximaciones polinomiales a tales funciones.

Grafica las funciones h& thinsp(X) y w& thinsp(X) (definido en las ecuaciones 3 y 6)

h& thinsp(X) = 1 + X (Ecuación 3)

en el mismo gráfico para 0 & le X & le 0.9. Compara las dos curvas. [Sugerencia: no es necesario trazar estas funciones a mano y rsquo. Si tiene acceso a una calculadora de trazado de gráficos o un programa de computadora, ¡utilícelo!]

Figura 9 Ver respuesta T2.

Las funciones h& thinsp(X) = 1 + X y w& thinsp(X) = 1 / (1 y menos X) se dibujan en la Figura 9. Podemos ver que las dos gráficas son aproximadamente iguales para valores pequeños de X, pero que la diferencia entre los dos se vuelve progresivamente mayor a medida que X aumenta.

El ejercicio que acaba de completar muestra que, por y & lsquosmall & rsquo valores de X, la función polinomial h (X) es aproximadamente lo mismo que w& thinsp(X), aquí tenemos un ejemplo de polinomio aproximación a la función 1 / (1 y menos X).

Sin embargo, podemos ver en la Figura 9 que la aproximación empeora progresivamente a medida que X aumenta hacia el valor 1.

Figura 1 Gráficos de las funciones y = X y y = pecado (X). Tenga en cuenta que a lo largo de este módulo el argumento de cualquier función trigonométrica es una variable adimensional o un ángulo en radianes en lugar de grados.

En la Figura 1 hemos trazado las gráficas de y = pecado (X) y y = X en los mismos ejes.

Como puede ver, las gráficas de las dos funciones son muy similares para valores pequeños de |& thinspX& thinsp|, yo pero como |& thinspX& thinsp| aumenta, la discrepancia empeora progresivamente, de modo que para |& thinspX& thinsp| por encima de aproximadamente 0,7 es muy notable, y por encima &Pi/ 2 (es decir, aproximadamente 1,57) los dos gráficos no muestran ninguna similitud.

Figura 2 Un simple péndulo.

Así que puede haber circunstancias en las que estaríamos justificados al aproximarnos al pecado (X) por X, pero es probable que esta aproximación sólo sea útil para valores pequeños de |& thinspX& thinsp|.

Por ejemplo, un análisis del movimiento de un péndulo simple da la ecuación (aparentemente intratable)

donde y theta& thinsp(t) es el ángulo que se muestra en la Figura 2 y &omega es una constante (llamada frecuencia angular). Para pequeñas desviaciones del péndulo de la vertical, y theta& thinsp(t) es pequeño, y estamos justificados al hacer la aproximación sin (y theta) & asymp y theta, donación

que es sencillo de resolver.

Muestra esa y theta& thinsp(t) = pecado (& omegat) es una solución de

$ dfrac[ theta (t)] = - omega ^ 2 sin [ theta (t)] $ (Ecuación 8)

Tenemos $ dfrac

sin ( omega t) = omega cos ( omega t) $ y $ dfrac
cos ( omega t) = - omega sin ( omega t) $

y por lo tanto $ dfrac theta (t) = dfrac sin ( omega t) = omega dfrac

cos ( omega t) = - omega ^ 2 sin ( omega t) = omega ^ 2 theta (t) $

que muestra que y theta& thinsp(t) = pecado (& omegat) es una solución de

Por otro lado, si intentamos y theta& thinsp(t) = pecado (& omegat) como una solución de

encontramos que el lado izquierdo es & menos&omega 2 pecado& omegat) (como antes) pero el lado derecho es ahora & menos&omega 2 pecado [pecado (& omegat)], y estas dos funciones de t ciertamente no son iguales.


Integración compleja

Antes de comenzar este tema, los estudiantes deben ser capaces de realizar la integración de funciones simples de valor real y estar familiarizados con las ideas básicas de funciones de una variable compleja. Los estudiantes también deben estar familiarizados con las integrales de línea.

La integración compleja es una extensión intuitiva de la integración real. Dado que un número complejo representa un punto en un plano mientras que un número real es un número en la línea real, el análogo de una única integral real en el dominio complejo es siempre una integral de trayectoria. Para algunas funciones y dominios especiales, la integración es independiente de la ruta, pero este no debe ser el caso en general. Dada la sensibilidad del camino tomado para una integral dada y su resultado, la parametrización es a menudo la forma más conveniente de evaluar tales integrales. Las técnicas de variables complejas se han utilizado en una amplia variedad de áreas de la ingeniería. Esto ha sido particularmente cierto en áreas como la teoría de campos electromagnéticos, la dinámica de fluidos, la aerodinámica y la elasticidad.

Una región conectada es aquella en la que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una curva que se encuentra completamente dentro de la región.

3.1.2 Región simplemente conectada

Una curva que no se cruza a sí misma se denomina curva cerrada simple. Una región en la que cada curva cerrada en ella encierra puntos de la región solamente se llama región simplemente conectada.

Una integral a lo largo de una curva cerrada simple se llama integral de contorno.

3.1.4 Teorema integral de Cauchy

Si una función f (z) es analítica y su derivada f 0 (z) es continua en

todos los puntos dentro y en una curva cerrada simple c, entonces c f (z) dz = 0:

3.1.5 Fórmula integral de Cauchy

Si f (z) es analítica dentro y en una curva cerrada c de una región R simplemente conectada y si a es cualquier punto dentro de c, entonces


la integración alrededor de c se toma en la dirección positiva.

3.1.6 Fórmula integral de Cauchy para la derivada

Si una función f (z) es analítica dentro y sobre una curva cerrada simple cy a es cualquier punto que se encuentre en ella, entonces


3.2 Ejemplos resueltos




4 Expansión de las series de Taylor y Laurent.

Una función f (z), analítica dentro de un círculo C con centro en a, se puede expandir en la serie


Sean C 1 C 2 dos círculos concéntricos jz aj = R 1 y jz aj = R 2 donde R 2 & lt R 1: Sea f (z) analítica en C 1 y C 2 y en la región anular R entre ellos. Entonces, para cualquier punto z en R,


donde las integrales se toman en sentido antihorario.

4.3 Ejemplos resueltos

1. Expanda e z en una serie de Taylor sobre z = 0



5.1.2 Ceros de una función analítica:

Si una función f (z) analítica en una región R es cero en un punto z = z 0 en R, entonces z 0 se llama cero de f (z).

Si f (z 0) = 0 y f 0 (z 0) 6 = 0 entonces z = z 0 se llama un cero simple de f (z) o un cero de primer orden.

Se dice que una función analítica f (z) tiene un cero de orden n si f (z) se puede expresar como f (z) = (zz 0) m (z) donde (z) es analítica y (z 0) 6 = 0

Un punto z = z 0 en el que una función f (z) deja de ser analítica se llama punto singular.

Una función f (z) que es analítica en cualquier lugar del plano finito se llama función completa.

5.1.7 Función meromórfica

Una función f (z) que es analítica en todas partes en el plano finito, excepto en un número finito de polos, se llama función meromórfica.

5.2 Tipos de singularidades

5.2.1. Singularidad aislada

Se dice que un punto z = z 0 es una singularidad aislada de f (z) si

1. f (z) no es analítica en z = z 0

2. Existe una vecindad de z = z 0 que no contiene ninguna otra singularidad.

5.2.2. Singularidad removible:

Si la parte principal de f (z) en la expansión de la serie de Laurent de f (z) alrededor del punto z 0 es cero, entonces el punto z = z 0 se llama singularidad removible.

Si podemos encontrar un entero positivo n tal que lím z! A (z a) n f (z) 6 = 0 entonces z = a se llama polo de orden n para f (z).

5.2.4. Singularidad esencial:

Si la parte principal de f (z) en la expansión de la serie de Laurent de f (z) alrededor del punto z 0 contiene un número infinito de términos distintos de cero, entonces el punto z = z 0 se llama singularidad esencial.

5.5.3 Ejemplos resueltos


la función f (z) no está definida en z = 0.


Dado que el límite existe y es finito, la singularidad en z = 0 es una singularidad removible.

Dado que el límite existe y es finito, la singularidad en z = 0 es una singularidad removible.


5.5.4 Problemas del tutorial



6.1.2 Ejemplos resueltos


6.1.3 Problemas del tutorial


6.2 Teorema del residuo de Cauchy

Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y en una curva cerrada simple c,

excepto por un número finito de singularidades aisladas z 1 z 2 z 3::: entonces


6.2.1 Ejemplos resueltos


6.2.2 Problemas del tutorial


7 Evaluación de integrales reales de nitas como integrales de contorno.

7.1 Integración de contorno:

La integración compleja a lo largo de la curva scro utilizada en la evaluación de la integral definida se denomina integración de contorno. Aquí vamos a ver bajo tres tipos. Ellos son

7.2.1 Ejemplos resueltos



7.2.2 Problemas del tutorial


7.3.1 Ejemplos resueltos


donde c consta del semicírculo: jzj = R y el diámetro delimitador [R R].

donde z = i 2i son polos simples que se encuentran adentro y z = I 2i son polos simples que se encuentran afuera


el semicírculo se vuelve muy grande y las partes real e imaginaria de cualquier punto que se encuentra en el semicírculo se vuelven muy grandes de modo que


donde c es la mitad superior del semicírculo T con el diámetro delimitador [R R].


el semicírculo se vuelve muy grande y las partes reales e imaginarias de cualquier punto que se encuentra en el semicírculo se vuelven muy grandes de modo que


7.4.2 Problemas del tutorial




La siguiente figura muestra una sección transversal de un cilindro (no necesariamente circular), cuyo límite es C, colocado en un flujo no viscoso constante de un fluido ideal, el flujo tiene lugar en planos paralelos al plano xy. El cilindro está fuera del plano del papel. El flujo del fluido ejerce fuerzas y momentos de giro sobre el cilindro. Sean X, Y las componentes, en las direcciones xey respectivamente, de la fuerza sobre el cilindro y sea M el momento en sentido antihorario (sobre el cilindro) con respecto al origen.



donde Re denota la parte real, es la densidad (constante) del uido y w = u + iv es el potencial complejo para el flujo, los cuales se presumen conocidos. Encontraremos X Y y M si el cilindro tiene una sección transversal circular y el límite está especificado por jzj = a: Sea el flujo una corriente uniforme con rapidez U:

Ahora, usando un resultado estándar, el potencial complejo que describe esta situación es:


Una vez más, el uso del punto clave anterior conduce a 4 a 2 U 2 i y esto tiene una parte real cero. Por tanto, M = 0 también. La implicación es que ninguna fuerza o momento neto actúa sobre el cilindro. Esto no es así en la práctica. La discrepancia surge de descuidar la viscosidad del líquido.


6.4 Trabajar con Taylor Series

En la sección anterior, definimos la serie de Taylor y mostramos cómo encontrar la serie de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo usar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencia. Primero, mostramos cómo se pueden usar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo se pueden usar series de potencias para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no se puede expresar en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos ∫ e - x 2 d x, ∫ e - x 2 d x, una integral que surge con frecuencia en la teoría de probabilidades.

La serie binomial

Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. De manera más general, para cualquier entero no negativo r, r, el coeficiente binomial de x n x n en la expansión binomial de (1 + x) r (1 + x) r viene dado por

Por ejemplo, usando esta fórmula para r = 5, r = 5, vemos que

Concluimos que los coeficientes de la serie binomial están dados por

Observamos que si r r es un número entero no negativo, entonces la (r + 1) st (r + 1) st derivada f (r + 1) f (r + 1) es la función cero, y la serie termina. Además, si r r es un número entero no negativo, entonces la Ecuación 6.8 para los coeficientes concuerda con la Ecuación 6.6 para los coeficientes, y la fórmula para la serie binomial concuerda con la Ecuación 6.7 para la expansión binomial finita. De manera más general, para denotar los coeficientes binomiales para cualquier número real r, r, definimos

Con esta notación, podemos escribir la serie binomial para (1 + x) r (1 + x) r como

Ahora necesitamos determinar el intervalo de convergencia para la ecuación 6.9 de la serie binomial. Aplicamos la prueba de razón. En consecuencia, consideramos


Demostración más simple del teorema de Taylor

Durante algún tiempo he estado navegando por Internet en busca de una prueba estética del teorema de Taylor.

Con lo que quiero decir esto: hay muchas pruebas que introducen alguna construcción arbitraria: no se menciona de dónde vino esta bestia. y, lógicamente, puede cortar línea por línea hasta que se resuelva el problema. pero este tipo de prueba es fea. una hermosa prueba debería surgir naturalmente del suelo.

He visto una prueba que afirma hacerlo a partir del teorema fundamental del cálculo. Se veía desordenado.

He visto varios intentos de utilizar la integración por partes repetidamente. Pero seguramente sería más ordenado hacer esto sin traer toda esa maquinaria adicional.

Los dos enfoques más agradables parecen implicar el uso del teorema del valor medio y el teorema de Rolle. pero no puedo encontrar una presentación lúcida de ninguno de los enfoques.

Tal vez mi cerebro sea inusualmente estúpido, y los enfoques en Wikipedia, etc.son perfectamente lo suficientemente buenos para todos los demás.

¿Alguien tiene una comprensión clara de este fenómeno? ¿O un enlace web a tal entendimiento?

* EDITAR *: Finalmente, un matemático de Cambridge me lo explicó de una manera que pude entender, y he escrito la prueba aquí. En mi opinión, es la prueba más instructiva que he encontrado, sin embargo, poniéndola como una respuesta recibida en su mayoría votos negativos. Me parece extraño que nadie más parezca estar de acuerdo. Pero debería corresponder a las mentes matemáticas más agudas elegir qué respuesta debería aceptarse. No debería depender de mí. Por lo tanto, me inclinaré ante la sabiduría de la comunidad y aceptaré la respuesta actualmente más votada. Aprendí de Machine Learning que un "Comité de Expertos" supera a cualquier experto, y ciertamente yo no soy un experto.

Encuentro la página de Wikipedia respectiva bastante informativa. ¿Puedes decir lo que obtuviste de él (o de cualquier otra fuente) hasta ahora? ¿Qué entendiste y no entendiste? ¿Dónde te quedaste atascado? Esto puede proporcionarle respuestas más adecuadas.

De hecho, me gusta el enfoque de integración por partes porque con una pequeña modificación también produce la fórmula de suma de Euler-Maclaurin. Encuentro esa estética, aunque artificialmente "cocida".

La clave de la prueba: inducción + Integración por partes.

Estoy de acuerdo con el comentario de JMCF125. Si el OP no puede enunciar específicamente lo que es insatisfactorio acerca de las pruebas estándar (idealmente con referencia directa a al menos una prueba estándar), entonces la pregunta no parece ser mucho más que el teorema de "Por favor, dame pruebas del teorema de Taylor". Encuentro uno que me gusta & quot.

La prueba más clara que se puede encontrar, en mi opinión, es la siguiente. ¡Tenga en cuenta que es solo un teorema del valor medio generalizado!

THM Sean $ f, g $ funciones definidas en un intervalo cerrado $ [a, b] $ que admiten derivadas $ n $ -ésimas finitas en $ (a, b) $ y derivadas continuas $ n-1 $ -ésimas en $ [ a, b] $. Suponga $ c en [a, b] $. Luego, para cada $ x neq c $ en $ [a, b] $, existe $ x_1 $ en el segmento que une $ c $ y $ x_1 $ tal que $ left (f (x) - sum_^ frac(c)>(x-c) ^ k right) g ^ <(n)> (x_1) = f ^ <(n)> (x_1) left (g (x) - sum_^ frac(c)>(x-c) ^ k derecha) $

PRUEBA Para simplificar, suponga $ c & ltb $ y $ x & gtc $. Mantenga $ x $ fijo y considere $ F (t) = f (t) + sum_^ frac(t)>(x-t) ^ k $ $ G (t) = g (t) + sum_^ frac(t)>(x-t) ^ k $

por cada $ t en [c, x] $. Entonces $ F, G $ son continuo en $ [c, x] $ y admitir derivada finita en $ (c, x) $. Por el teorema del valor medio podemos escribir $ F '(x_1) [G (x) -G (c)] = G' (x_1) [F (x) -F (c)] $

por $ x_1 in (c, x) $. Esto da que $ F '(x_1) [g (x) -G (c)] = G' (x_1) [f (x) -F (c)] $ ya que $ F (x) = f (x), G (x) = g (x) $. Pero vemos, al cancelar términos con signos opuestos, que $ F '(t) = frac <(x-t) ^> <(n-1)!> f ^ <(n)> (t) $ $ G '(t) = frac <(x-t) ^> <(n-1)!> g ^ <(n)> (t) $ que da la fórmula deseada cuando se conecta $ t = x_1 $.

Esto es de Análisis matemático 2e de Apostol, pp.113-114.

@RitterSport Eso es correcto. =)

& quot existe x1 en el segmento que une cy x1 tal que & quot debe leer & quothay x1 en el segmento que une cyx tal que & quot

Creo que esto requiere el teorema del valor medio de Cauchy. De lo contrario, el primer uso del MVT no sería necesariamente el resultado de la versión normalmente establecida (por supuesto, la versión extendida no es mucho más)

Aquí hay un enfoque que parece bastante natural, basado en aplicar el teorema fundamental del cálculo sucesivamente a $ f (x) $, $ f '(t_1) $, $ f' '(t_2) $, etc .: begin & amp & amp f (x) = f (a) + int_a ^ x f '(t_1) , dt_1 & amp & amp = f (a) + int_a ^ x f' (a) , dt_1 + int_a ^ x ! ! int_a ^ f '' (t_2) , dt_2 , dt_1 & amp & amp = f (a) + int_a ^ x f '(a) , dt_1 + int_a ^ x ! ! int_a ^ f '' (a) , dt_2 , dt_1 + int_a ^ x ! ! int_a ^ ! ! int_a ^ f '' '(t_3) , dt_3 , dt_2 , dt_1 end Observe que $ int_a ^ x f '(a) , dt_1 = f' (a) int_a ^ x dt_1 = f '(a) (x-a), $$ int_a ^ x ! ! int_a ^ f '' (a) , dt_2 , dt_1 = f '' (a) int_a ^ x (t_1-a) , dt_1 = f '' (a) frac <(xa) ^ 2> <2> , $$ int_a ^ x ! ! int_a ^ ! ! int_a ^ f '' '(a) , dt_3 , dt_2 , dt_1 = f' '' (a) int_a ^ x frac <(t_1-a) ^ 2> <2> , dt_1 = f '' ' (a) frac <(xa) ^ 3> <3!>, $ y en general $ int_a ^ x ! ! int_a ^ ! ldots int_a ^<>> f ^ <(n)> (a) , dt_n ldots , dt_2 , dt_1 = f ^ <(n)> (a) frac <(x-a) ^>. $

Por inducción, entonces, se prueba $ f (x) = P_n (x) + R_n (x) $ donde $ P_n $ es el polinomio de Taylor $ P_n (x) = f (a) + f '(a) (xa) + f '' (a) frac <(xa) ^ 2> <2> + ldots + f ^ <(n)> (a) frac <(xa) ^ n>, $ y el resto $ R_n (x) $ está representado por integrales anidadas como $ R_n (x) = int_a ^ x ! ! int_a ^ ! ldots int_a ^<>> f ^ <(n + 1)> (t_) , dt_ ldots , dt_2 , dt_1. PS

Podemos establecer la forma de Lagrange del resto aplicando los teoremas del valor intermedio y extremo, usando comparaciones simples como sigue. Considere el caso $ x & gta $ primero. Sea $ m $ el valor mínimo de $ f ^ <(n + 1)> $ en $ [a, x] $ y $ M $ el valor máximo. Entonces, desde $ m le f ^ <(n + 1)> (t_) le M $ para todos los $ t_$ en $ [a, x] $, después de $ n + 1 $ integraciones repetidas se encuentra $ m frac <(x-a) ^> <(n + 1)!> le R_n (x) le M frac <(x-a) ^> <(n + 1)!>. $ Pero ahora, observe que la función $ t mapsto f ^ <(n + 1)> (t) frac <(x-a) ^> <(n + 1)!> $ alcanza los valores extremos $ m frac <(x-a) ^> <(n + 1)!> quad mbox quad M frac <(x-a) ^> <(n + 1)!> $ en algunos puntos de $ [a, x] $. Según el teorema del valor intermedio, debe haber algún punto $ t $ entre estos dos puntos (entonces $ t en [a, x] $) tal que $ R_n (x) = f ^ <(n + 1)> (t ) frac <(xa) ^> <(n + 1)!>. $ Esta es la forma de Lagrange del resto. Si $ x & lta $ y $ n $ son impares, la misma prueba funciona. Si $ x & lta $ y $ n $ son pares, $ (x-a) ^& lt0 $ y la misma demostración funciona después de revertir algunas desigualdades.

Se puede motivar todo este enfoque de dos formas diferentes. Por ejemplo, se puede argumentar que $ <(x-a) ^ n> / $ se vuelve pequeño para $ n $ grandes, por lo que los residuos $ R_n (x) $ se volverán pequeños si las derivadas de $ f $ permanecen limitadas, digamos.

O, uno puede razonar libremente de la siguiente manera: $ f (x) approx f (a) $ por $ x $ cerca de $ a $. Pregunte, ¿cuál es exactamente el resto? Aplique el teorema fundamental como se indicó anteriormente, luego calcule el primer resto usando la aproximación $ f '(t_1) approx f' (a) $. Repitiendo, uno produce los polinomios de Taylor por el patrón del argumento anterior.

Esta es una gran explicación, gracias.

Con un mínimo esfuerzo puede llegar a la formulación integral del término restante, solo aplique su fórmula después de & quotand en general. & quot para resolver la integral anidada de $ R_n $. Creo que el enfoque de tu respuesta (con la formulación integral del resto) es muy bonito, entre otras cosas, porque se generaliza a todas las situaciones en las que se tiene una fórmula integral y de integración por partes. Se aplica igualmente bien a funciones complejas, vectoriales e incluso con valores espaciales de Banach, lo cual es bastante útil en la práctica.

¿Por qué $ f ^(t_) $ acotado entre $ m $ y $ M $? $ f ^$ no necesita ser continuo, ¿verdad?

Supongo que estamos asumiendo $ f ^(t) $ es continuo ya que usamos el teorema del valor intermedio.

$ f ^ <(n + 1)> $ está acotado en algún intervalo $ I $ porque según las hipótesis de Taylor, dejamos que $ f $ sea una función cuyo $ n + 1 ^ textrm$ la derivada existe en algún intervalo $ I $


STPM Más matemáticas T

Supongo que has aprendido el capitulo Secuencias y series de amplificadores en Maths T antes de llegar a este capítulo.

A definición recursiva de una secuencia especifica uno o más términos iniciales y una regla para determinar los términos subsiguientes de los que los preceden. A relaciones de recurrencia para la secuencia <>norte> es una ecuación que expresa anorte en términos de uno o más de los términos anteriores de la secuencia, a saber, a0, a1, , an-1, para todos los enteros norte con n & # 8805 n0, donde norte0 es un número entero no negativo.

Esa fue la definición formal de relaciones de recurrencia. Cuando dices que algo es recursivo, significa que hay una repetición. Entonces un relación de recurrencia es básicamente solo un ecuación que relaciona un término con el término anterior. Tomemos & # 8217s la secuencia aritmética 1, 2, 3, 4, 5, & # 8230 hasta el infinito. Por tanto, el término & # 82162 & # 8217 se deriva del término & # 82161 & # 8217, añadiéndole 1. De manera similar, existe la misma relación para todos los términos, que es sumarle 1. Denotaremos & # 82161 & # 8217 como a0, Cuál es el Término inicial. Entonces, encontramos que el término a1 que está relacionado con el término inicial por la ecuación

Entonces, después de generalizar la secuencia, podemos concluir que la secuencia aritmética se puede representar mediante las relaciones de recurrencia

donde n & # 8805 0 (entero no negativo). Usando esta ecuación, y dada la condición inicial a0, puede escribir el resto de los términos sumando lentamente todo el camino hacia arriba (imagínese si le pidiera que encontrara el término a109!). Entonces ahora sabes que una relación de recurrencia es solo una ecuación que tiene anorte y al menos otro término an-x. Ejemplos de relaciones de recurrencia son
anorte = 6a n-2
anorte = 5an + 4 - 2an + 3 + n

Decimos que una relación de recurrencia es homogéneo cuando solo contiene los términos an-x. Por ejemplo, anorte = 6an-2 es homogéneo, mientras que anorte = 5an-1 & # 8211 2an-2 + 3 no lo es, ya que 3 no es un an-x. término.

Decimos que una relación de recurrencia es lineal cuando la potencia máxima del an-x términos es 1. Por ejemplo, anorte = 6an-2es lineal, pero anorte = 6 (unan-2) 2 no lo es, ya que su potencia máxima es 2.

El orden / grado de una relación de recurrencia nos dice que la cantidad máxima de términos de distancia es el término anorte relacionado de sí mismo. Por ejemplo, anorte = 6an-1 es una relación de recurrencia de primer orden, mientras que anorte = 6an-1 + unn-3 es una relación de recurrencia de tercer orden. Cualquier relación de recurrencia con el k-la orden requiere k cantidad de condiciones iniciales a resolver. Por ejemplo, vemos que la ecuación anorte = 8an-1 + 9an-2needs 2 initial conditions, a0 y a1 to be defined.

In STPM, you will only be dealing with linear y 2nd order recurrence relations, for both homogéneo y non-homogeneous.

Now that you know what a recurrence relation is, I will guide you with some basic modelling. You need to learn how to use recurrence relations in a given situation, or question. Let me start with 2 very famous examples, the Fibonacci Numbers and the Tower of Hanoi.

RABBITS, AND THE FIBONACCI NUMBERS

Leonardo Pisano, also known as Fibonacci, came up with this problem in the 13th century. Suppose a young pair of rabbits (one male and one female) is placed on an island. A pair of rabbits does not breed until they are 2 months old. After they are 2 months old, each pair of rabbits produces another pair each month. He wanted to find a recurrence relation for the number of pairs of rabbits on the island after n months, assuming that no rabbits ever die.

Let’s try counting. In the beginning, there were only 2 rabbits. Then in the first and month, there are still 2 rabbits on the island, because they are still not old enough to breed. But in the second month, the pair of rabbits started to breed, and they produce another 2 rabbits on the island, making it 4 rabbits. In the third month, there will be 6, because the old rabbits reproduce, but not the young rabbits. Counting by pairs, we found out that the rabbits grow according to a sequence of 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … and so on. Take a look at the bunny diagram below.

Now, here is the hard part. To solve this problem, you know that there are 2 initial conditions, a0 y a1, which are both 1 (a0 is the starting, which I will call it as month 0, and a1 is for the first month). As we step into month 2, the amount of pair of rabbits will be the number of pairs of rabbits in the previous month (month 1) plus a new line of rabbit which it reproduced (which has the condition of the rabbits in month 0). The progress goes on and every time we reach a new month, we will add up the number of pairs of rabbits in the previous month with the number of pairs of rabbits in the month before the previous month. So in the end, we come up with the famous Fibonacci Sequence, which is represented by the recurrence relation
Fnorte = fn-1 + f n-2

I bet you got lost somewhere, but this is the best explanation I could come up with. You can try reading the textbooks, and you might not even understand it at all. We see that the Fibonacci sequence is a 2nd order homogeneous linear recurrence relation. This chapter really needs you to think a lot.

Do you know that Fibonacci numbers also exist in sunflower patterns, pinecones, and spiral seashells? Get to know more about Fibonacci Numbers in Nature .

THE TOWER OF HANOI

Have you played this game before?

You are given a chunk of disks of different sizes on the left. Your objective is to transfer all the disks from the left pole to the right pole, only moving one disk at one time, and not stacking a bigger disk onto a smaller disk. At every move, only one disk can be in your hand, and the disk could only be placed in any of the 3 poles. Watch this video to see how others do it:

Interesting? A myth created to accompany the puzzle tells of a tower in Hanoi where monks are transferring 64 gold disks from one peg to another, according to the rules of the puzzle. The myth says that the world will end when they finish the puzzle. Detail calculations show that if they move one disk per second, it will take them more than 500 billion years to complete!

Anyway, enough of fun stuff. Our goal here is to find a recurrence relation for the minimum amount of moves required to move n pegs from the left to the right.

Let’s start from scratch. If there was one disk, you only need one move to solve the problem. If there were 2 disks, you need to take the top disk to the middle peg, transfer the bottom disk to the 3rd peg, and transfer the top disk back on top of the bottom disk on peg 3. So if we have norte disks, we can see that we need to move n-1 disks to the middle peg, move the bottom disk to the right, and then move the n-1 disks to the last peg, on top of the bottom disk. The bottom disk only requires one move, but you need 2 moves to transfer the n-1 disks, which is once to the middle peg, then twice to the 3rd peg. So here, we can deduce that the recurrence relation can be represented by
Hnorte = 2Hn-1 + 1

donde Hnorterepresents the minimum number of moves required to transfer n pegs from the left to the right pole. The initial condition, H0 is 1 move.

I suppose you are terribly confused by now. These are only 2 examples! The hard part of this chapter is to model recurrence relations. The solving part (will be dealt in section 4.2 & 4.3) are actually much easier. Spend more time thinking and try to figure out some of my examples below.

1. A pond with a0 amount of fish will double every month. So for norte months, the number of fish can be represented by the relation anorte = 2an-1.

2. In the first month, you date 1 girl, the second month 2 girls, and the nth month you dated norte girls. So the recurrence relation anorte = n + an-1 will be the total amount of girls you have dated in the first n months. How nasty of you…

3. You have a loan of RM a0 from Along Bukit Beruntung. You now pay RM100 every month to the him, who charges you a rate of 10% increment every month. So the balance you owe the loan shark on the norteth month can be represented by the relation anorte = (1 + 0.1)an-1 – 100.

4. The cash deposit machine in CIMB bank only accepts RM1 coins (if they exist), RM1 notes and RM5 notes. If the order of the deposition matters, the number of ways you deposit RM n into the machine can be represented by the relation anorte = 2an-1 + an-5. [5th order recurrence relation!]

5. If you can climb up a flight of stairs by taking either one step or two steps at one time, the recurrence relation for the number of ways to climb norte stairs can be represented by the equation anorte = an-1 + an-2.

6. You are laying tiles on a walkway in a single line. You can only lay either red, green or blue tiles, in which no 2 red tiles are adjacent to each other, and the tiles of the same color are considered indistinguishable. The recurrence relation for the number of ways to lay out a walkway with norte tiles is anorte = 2an-1 + 2an-2. [Go think about it. This is hard…]


Ver el vídeo: Math 24 Preliminary Theory on Higher Order Linear DEs (Enero 2022).